Eine n displaystyle n eckige Doppelpyramide auch Bipyramide oder Dipyramide englisch dipyramid ist ein Polyeder das entsteht indem man eine n displaystyle n eckige Pyramide und ihr Spiegelbild an den Grundflachen verklebt Das n displaystyle n Eck das die gemeinsame Grundflache der beiden Pyramiden darstellt ist keine Seitenflache der Doppelpyramide sondern liegt im Inneren der Doppelpyramide in der Symmetrieebene zwischen den beiden n displaystyle n eckigen Pyramiden Die Doppelpyramide hat damit 2 displaystyle 2 Spitzen 2 n displaystyle 2 n Ecken und 3 n displaystyle 3 cdot n Kanten und ihre Oberflache besteht aus 2 n displaystyle 2 cdot n Dreiecken Doppelpyramide mit einem Sechseck als Grundflache Inhaltsverzeichnis 1 Besondere Doppelpyramiden 2 Regelmassige Doppelpyramide 2 1 Formeln 2 2 Spezialfalle 3 Gerade Doppelpyramide 4 Allgemeine Doppelpyramide 4 1 Volumen 5 WeblinksBesondere Doppelpyramiden BearbeitenNur drei Arten von Doppelpyramiden haben die Eigenschaft dass alle Kanten dieselbe Lange haben konnen sodass alle Seitenflachen gleichseitige Dreiecke sind die dreieckige die viereckige und die funfeckige Doppelpyramide Diese spezielle viereckige Doppelpyramide das Oktaeder zahlt zu den platonischen Korpern wahrend die dreieckige und die funfeckige Doppelpyramide zu den Johnson Korpern zahlen J12 und J13 Diese drei Doppelpyramiden sind Deltaeder Regelmassige Doppelpyramide BearbeitenVon einer regelmassigen Doppelpyramide spricht man wenn die erzeugende Pyramide regelmassig ist d h wenn deren Grundflache ein regelmassiges Vieleck ist und die Gerade durch die Doppelpyramidenspitzen die Grundflache senkrecht schneidet Eine regelmassige Doppelpyramide kann auf eine solche Weise auf die Sphare bzw eine Kugel projiziert werden dass ihre Spitzen auf zwei sich gegenuberliegende Punkte die Pole auf der Kugel abgebildet werden das regelmassige n displaystyle n nbsp Eck auf den Aquator um die Achse durch die beiden Pole und die an den Doppelpyramidenspitzen anliegenden Kanten in gleichabstandige Langenkreise durch die Pole die den Aquator jeweils senkrecht schneiden Die Seitenflachen der Doppelpyramide werden dabei auf spharische Dreiecke abgebildet Die Symmetriegruppe einer regelmassigen Doppelpyramide ist das direkte Produkt ihrer Drehgruppe mit der zweielementigen Gruppe die von der Spiegelung an der Ebene senkrecht zur Drehachse erzeugt wird Die Symmetriegruppe der regelmassigen n displaystyle n nbsp eckigen Doppelpyramide ist D n h displaystyle D nh nbsp der Ordnung 4 n displaystyle 4 cdot n nbsp ausser im Fall des Oktaeders dessen Symmetriegruppe die Oktaedergruppe O h displaystyle O h nbsp der Ordnung 48 ist Die Drehgruppe einer regelmassigen Doppelpyramide ist die Diedergruppe D n displaystyle D n nbsp der Ordnung 2 n displaystyle 2 cdot n nbsp ausser im Fall des Oktaeders dessen Drehgruppe Oktaedergruppe O displaystyle O nbsp der Ordnung 24 ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S 4 displaystyle S 4 nbsp auf der Menge der Raumdiagonalen also zur Gruppe der 4 24 displaystyle 4 24 nbsp Permutationen der vier Raumdiagonalen 3 4 5 6 7 8 9 10 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Formeln Bearbeiten Grossen einer regelmassigen Doppelpyramide regelmassiges n Eck mit Seitenlange a als Grundflache und Hohe a Allgemeiner Fall Quadratische Doppelpyramide Regelmassige Dreiecks DoppelpyramideVolumen V n a 2 h 6 cot p n displaystyle V frac n cdot a 2 cdot h 6 cdot cot left frac pi n right nbsp V 2 a 2 h 3 displaystyle V frac 2 cdot a 2 cdot h 3 nbsp V a 2 h 6 3 displaystyle V frac a 2 cdot h 6 cdot sqrt 3 nbsp Oberflacheninhalt O n a 2 4 h 2 a 2 cot 2 p n displaystyle O frac n cdot a 2 cdot sqrt 4 cdot h 2 a 2 cdot cot 2 left frac pi n right nbsp O 2 a 4 h 2 a 2 displaystyle O 2 cdot a cdot sqrt 4 cdot h 2 a 2 nbsp O 3 a 2 4 h 2 a 2 3 displaystyle O frac 3 cdot a 2 cdot sqrt 4 cdot h 2 frac a 2 3 nbsp Steilkantenlange l h 2 a 2 4 sin 2 p n 1 2 displaystyle l left h 2 frac a 2 4 cdot sin 2 left frac pi n right right frac 1 2 nbsp l h 2 a 2 2 displaystyle l sqrt h 2 frac a 2 2 nbsp l h 2 a 2 3 displaystyle l sqrt h 2 frac a 2 3 nbsp Inkugelradius r i a h 4 h 2 tan 2 p n a 2 displaystyle r i frac a cdot h sqrt 4 cdot h 2 cdot tan 2 left frac pi n right a 2 nbsp r i a h 4 h 2 a 2 displaystyle r i frac a cdot h sqrt 4 cdot h 2 a 2 nbsp r i a h 12 h 2 a 2 displaystyle r i frac a cdot h sqrt 12 cdot h 2 a 2 nbsp Innenwinkel der regelmassigen Grundflache a n 2 n 180 displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ nbsp a 90 displaystyle alpha 90 circ nbsp a 60 displaystyle alpha 60 circ nbsp Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke a 1 a 2 arctan 1 a 4 h 2 a 2 cot 2 p n displaystyle alpha 1 alpha 2 arctan left frac 1 a cdot sqrt 4 cdot h 2 a 2 cdot cot 2 left frac pi n right right nbsp a 1 a 2 arctan 1 a 4 h 2 a 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 arctan left frac 1 a cdot sqrt 4 cdot h 2 a 2 right nbsp a 1 a 2 arctan 1 a 4 h 2 a 2 3 displaystyle alpha 1 alpha 2 arctan left frac 1 a cdot sqrt 4 cdot h 2 frac a 2 3 right nbsp Winkel an der Spitze der gleichschenkligen Dreiecke a 3 2 arctan a 4 h 2 a 2 cot 2 p n displaystyle alpha 3 2 cdot arctan left frac a sqrt 4 cdot h 2 a 2 cdot cot 2 left frac pi n right right nbsp a 3 2 arctan a 4 h 2 a 2 displaystyle alpha 3 2 cdot arctan left frac a sqrt 4 cdot h 2 a 2 right nbsp a 3 2 arctan a 4 h 2 a 2 3 displaystyle alpha 3 2 cdot arctan left frac a sqrt 4 cdot h 2 frac a 2 3 right nbsp Winkel zwischen Grundflache und gleichschenkligen Dreiecken b 1 arctan 2 h tan p n a displaystyle beta 1 arctan left frac 2 cdot h cdot tan left frac pi n right a right nbsp b 1 arctan 2 h a displaystyle beta 1 arctan left frac 2 cdot h a right nbsp b 1 arctan 2 3 h a displaystyle beta 1 arctan left frac 2 cdot sqrt 3 cdot h a right nbsp Winkel zwischen den gleichschenkligen Dreiecken b 2 2 arctan 1 2 h 4 h 2 sin 2 p n a 2 tan 2 p n sin 2 p n 1 2 displaystyle beta 2 2 cdot arctan left frac 1 2 cdot h cdot left frac 4 cdot h 2 cdot sin 2 left frac pi n right a 2 tan 2 left frac pi n right sin 2 left frac pi n right right frac 1 2 right nbsp b 2 2 arctan 1 2 h 4 h 2 2 a 2 displaystyle beta 2 2 cdot arctan left frac 1 2 cdot h cdot sqrt 4 cdot h 2 2 cdot a 2 right nbsp b 2 2 arctan 1 3 h 3 h 2 a 2 displaystyle beta 2 2 cdot arctan left frac 1 3 cdot h cdot sqrt 3 cdot h 2 a 2 right nbsp Raumwinkel am Aquator W 1 8 arctan tan 2 b 1 b 2 4 tan 2 b 1 b 2 4 tan 2 b 2 4 displaystyle Omega 1 8 cdot arctan left sqrt tan left frac 2 cdot beta 1 beta 2 4 right cdot tan left frac 2 cdot beta 1 beta 2 4 right cdot tan 2 left frac beta 2 4 right right nbsp Raumwinkel in der Spitze W 2 2 p 2 n arcsin cos p n tan 2 p n tan 2 a 3 2 displaystyle Omega 2 2 cdot pi 2 cdot n cdot arcsin left cos left frac pi n right cdot sqrt tan 2 left frac pi n right tan 2 left frac alpha 3 2 right right nbsp Spezialfalle Bearbeiten Fur bestimmte Werte von n displaystyle n nbsp und h displaystyle h nbsp ergeben sich Zusammenhange mit platonischen Korpern oder Johnson Korpern Fur n 3 displaystyle n 3 nbsp und h a 3 6 displaystyle h frac a 3 cdot sqrt 6 nbsp ergibt sich die regelmassige Dreiecks Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken der Johnson Korper J12 Sie besteht aus zwei regelmassigen Tetraedern Fur n 4 displaystyle n 4 nbsp und h a 2 2 displaystyle h frac a 2 cdot sqrt 2 nbsp ergibt sich die quadratische Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken namlich das Oktaeder Fur n 5 displaystyle n 5 nbsp und h a 10 50 10 5 displaystyle h frac a 10 cdot sqrt 50 10 cdot sqrt 5 nbsp ergibt sich die regelmassige Funfecks Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken der Johnson Korper J13 Die beiden Halften sind regelmassige Pyramiden die Teile des Ikosaeders sind Gerade Doppelpyramide BearbeitenIst die Pyramide die eine Doppelpyramide erzeugt gerade so spricht man von einer geraden Doppelpyramide Der duale Korper einer geraden Doppelpyramide ist ein gerades Prisma und umgekehrt nbsp Der Wurfel als Dual des Oktaeders nbsp Das Oktaeder als Dual des WurfelsAllgemeine Doppelpyramide BearbeitenVolumen Bearbeiten nbsp Blaw Knox Sendemast in Lakihegy Ungarn in Form einer DoppelpyramideDas Volumen einer Doppelpyramide ist V 2 3 G h displaystyle V tfrac 2 3 cdot G cdot h nbsp wobei G displaystyle G nbsp den Flacheninhalt der Grundflache der erzeugenden Pyramide bezeichnet und h displaystyle h nbsp die Hohe einer Spitze uber dieser Grundflache Diese Formel gilt unabhangig davon ob es sich um eine gerade Doppelpyramide handelt oder nicht solange die Hohe h displaystyle h nbsp als der orthogonale Abstand einer Spitze zur Ebene in der die Grundflache liegt bestimmt wird Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Bipyramiden Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Dipyramid In MathWorld englisch Bipyramiden auf mathematische basteleien de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Doppelpyramide amp oldid 238790801
