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Wignerfunktion Die Wigner Quasi Wahrscheinlichkeitsverteilung wurde 1932 von Eugene Wigner eingeführt um Quantenkorrektu

Wignerfunktion

Die Wignerfunktion (Wigner-Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung) wurde 1932 von Eugene Wigner eingeführt, um Quantenkorrekturen der klassischen Statistischen Mechanik zu untersuchen. Das Ziel bestand darin, die Wellenfunktion der Schrödingergleichung durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum zu ersetzen. Eine solche Verteilung wurde unabhängig 1931 von Hermann Weyl als Dichtematrix in der Darstellungstheorie gefunden. Ein weiteres Mal wurde sie durch J. Ville 1948 als quadratische (als Funktion des Signals) Darstellung der örtlichen Zeit-Frequenz Energie eines Signals entdeckt. Diese Verteilung ist auch unter den Namen „Wignerfunktion“, „Wigner-Weyl-Transformation“ oder „Wigner-Ville-Verteilung“ bekannt. Sie findet Anwendung in der Statistischen Mechanik, Quantenchemie, Quantenoptik, klassischen Optik und der Signalanalyse, sowie in einer Reihe von Gebieten der Elektrotechnik, Seismologie, Biologie und Motorendesign.

Wignerfunktionen von Fock-Zuständen mit 0 (a), 1 (b) und 5 (c) Photonen.

Ein klassisches Teilchen besitzt eine definierte Lage und einen definierten Impuls und kann daher durch einen Punkt im Phasenraum dargestellt werden. Für ein Ensemble von Teilchen lässt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren, die die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der sich ein Teilchen an einem bestimmten Ort im Phasenraum befindet. Dies ist jedoch nicht für ein Quantenteilchen möglich, welches der Unschärferelation genügen muss. Stattdessen lässt sich eine Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren, die notwendigerweise nicht alle Eigenschaften einer gewöhnlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweist. Die Wignerverteilung kann zum Beispiel für nicht-klassische Zustände negative Werte annehmen und kann daher verwendet werden, um solche Zustände zu identifizieren.

Die Wignerverteilung wird definiert als:

mit der Wellenfunktion und dem Ort, , sowie Impuls, . Letztere können aber auch ein beliebiges Paar konjugierter Variablen sein (z. B. Real- und Imaginärteil des elektrischen Feldes oder Frequenz und Dauer eines Signals). Die Verteilung ist symmetrisch in und :

wobei die Fouriertransformierte von ist.

Für einen gemischten Zustand:

wobei die Dichtematrix bezeichnet.

Mathematische Eigenschaften Bearbeiten

1. ist reell.

2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von und ergeben sich aus:

  • . Wenn sich das System durch einen reinen Zustand beschreiben lässt, folgt .
  • . Wenn sich das System durch einen reinen Zustand beschreiben lässt, folgt .
  • .
  • Die Spur von ist gewöhnlich gleich 1.
  • Aus 1. und 2. folgt, dass an einigen Stellen negativ ist, falls es sich nicht um einen kohärenten Zustand (oder eine Mischung kohärenter Zustände) oder nicht um einen gequetschten Vakuumzustand handelt.

3. besitzt die folgenden Symmetrien:

  • Zeitumkehr: .
  • Raumspiegelung: .

4. ist Galilei-invariant:

5. Die Bewegungsgleichung eines Punktes im Phasenraum ist ohne Kräfte klassisch:

  • .

6. Die Überlappung zweier Zustände berechnet sich als:

  • .

7. Operatoren und Erwartungswerte (Mittelwerte) werden folgendermaßen berechnet:

  • .
  • .

8. Damit physikalische (positive) Dichtematrizen beschreibt, muss gelten:

wobei ein reiner Zustand ist.

Anwendung außerhalb der Quantenmechanik Bearbeiten

  • In der Modellierung optischer Systeme wie Teleskope oder Glasfasern in Geräten zur Telekommunikation füllt die Wignerfunktion die Lücke zwischen dem einfachen Ray tracing und der vollständigen Wellenanalyse des Systems. Dabei wird in der Näherung kleiner Winkel (paraxial) durch ersetzt. In diesem Zusammenhang ist die Wignerfunktion die beste Näherung zu einer Beschreibung des Systems mit Hilfe von Strahlen mit dem Ort und Winkel unter Einschluss von Interferenzeffekten. Falls diese negative Werte an irgendeinem Punkt annimmt, lässt sich das System nicht mit der einfachen Raytracing-Methode beschreiben.
  • In der Signalanalyse wird ein zeitabhängiges elektrisches Signal, mechanische Vibrationen oder Schallwellen durch die Wignerfunktion dargestellt. Dabei wird durch die Zeit und durch die Kreisfrequenz ersetzt. Hierbei bezeichnet die gewöhnliche Frequenz.
  • Auf dem Gebiet der ultraschnellen Optik werden kurze Laserpulse durch die Wignerfunktion mittels der gleichen Substitution von Frequenz und Zeit charakterisiert. Bestimmte Pulseigenschaften wie ein Chirp (Änderung der Frequenz mit der Zeit) lassen sich durch die Wignerfunktion darstellen.
  • In der Quantenoptik werden und durch und Quadraturen ersetzt, welche den Real- und Imaginärteil des elektrischen Feldes bezeichnen (siehe kohärenter Zustand).

Messung Bearbeiten

Weitere Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilungen Bearbeiten

Die Wignerverteilung war die erste Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung, aber viele weitere mit verschiedenen Vorteilen folgten, darunter:

  • Glauber P Darstellung,
  • Husimi Q Darstellung.

Historische Anmerkung Bearbeiten

Wie in der Einleitung angeführt, wurde die Wignerfunktion viele Male unabhängig in verschiedenen Zusammenhängen gefunden. Tatsächlich scheint es so, dass Wigner nicht wusste, dass diese Funktion selbst innerhalb der Quantentheorie zuvor von Heisenberg und Dirac eingeführt worden war. Diese sahen jedoch nicht deren Bedeutung und glaubten, dass diese Funktion lediglich eine Näherung der exakten quantenmechanischen Beschreibung des Systems war. Im Übrigen wurde Dirac später der Schwager von Wigner (siehe Literatur).

Literatur Bearbeiten

  • E.P. Wigner: On the quantum correction for thermodynamic equilibrium. In: Phys. Rev. Band 40, Juni 1932, S. 749–759.
  • H. Weyl: Quantenmechanik und Gruppentheorie. In: Z. Phys. Band 46, Juni 1927, S. 1–46.
  • H. Weyl: Gruppentheorie und Quantenmechanik. S. Hirzel, Leipzig 1928.
  • H. Weyl: The Theory of Groups and Quantum Mechanics. Dover, New York 1931.
  • J. Ville: Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique. In: Cables et Transmission. Band 2, Nr. 1, 1948, S. 61–74.
  • W. Heisenberg: Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen. In: Physik. Zeitschr. Band 32, 1931, S. 737–740.
  • P.A.M. Dirac: Note on exchange phenomena in the Thomas atom. In: Proc. Camb. Phil. Soc. Band 26, 1930, S. 376–395.
  • C. Zachos, D. Fairlie, T. Curtright: Quantum Mechanics in Phase Space. World Scientific, Singapore 2005, S. 737–740.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Wignerfunktion Wigner Quasi Wahrscheinlichkeitsverteilung wurde 1932 von Eugene Wigner eingefuhrt um Quantenkorrekturen der klassischen Statistischen Mechanik zu untersuchen Das Ziel bestand darin die Wellenfunktion der Schrodingergleichung durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum zu ersetzen Eine solche Verteilung wurde unabhangig 1931 von Hermann Weyl als Dichtematrix in der Darstellungstheorie gefunden Ein weiteres Mal wurde sie durch J Ville 1948 als quadratische als Funktion des Signals Darstellung der ortlichen Zeit Frequenz Energie eines Signals entdeckt Diese Verteilung ist auch unter den Namen Wignerfunktion Wigner Weyl Transformation oder Wigner Ville Verteilung bekannt Sie findet Anwendung in der Statistischen Mechanik Quantenchemie Quantenoptik klassischen Optik und der Signalanalyse sowie in einer Reihe von Gebieten der Elektrotechnik Seismologie Biologie und Motorendesign Wignerfunktionen von Fock Zustanden mit 0 a 1 b und 5 c Photonen Ein klassisches Teilchen besitzt eine definierte Lage und einen definierten Impuls und kann daher durch einen Punkt im Phasenraum dargestellt werden Fur ein Ensemble von Teilchen lasst sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren die die Wahrscheinlichkeit angibt mit der sich ein Teilchen an einem bestimmten Ort im Phasenraum befindet Dies ist jedoch nicht fur ein Quantenteilchen moglich welches der Unscharferelation genugen muss Stattdessen lasst sich eine Quasi Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren die notwendigerweise nicht alle Eigenschaften einer gewohnlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweist Die Wignerverteilung kann zum Beispiel fur nicht klassische Zustande negative Werte annehmen und kann daher verwendet werden um solche Zustande zu identifizieren Die Wignerverteilung P x p displaystyle P x p wird definiert als P x p 1 p ℏ d y ps x y ps x y e 2 i p y ℏ displaystyle P x p frac 1 pi hbar int infty infty dy psi x y psi x y e 2ipy hbar mit der Wellenfunktion ps displaystyle psi und dem Ort x displaystyle x sowie Impuls p displaystyle p Letztere konnen aber auch ein beliebiges Paar konjugierter Variablen sein z B Real und Imaginarteil des elektrischen Feldes oder Frequenz und Dauer eines Signals Die Verteilung ist symmetrisch in x displaystyle x und p displaystyle p P x p 1 p ℏ d q ϕ p q ϕ p q e 2 i x q ℏ displaystyle P x p frac 1 pi hbar int infty infty dq phi p q phi p q e 2ixq hbar wobei ϕ displaystyle phi die Fouriertransformierte von ps displaystyle psi ist Fur einen gemischten Zustand P x p 1 p ℏ d y x y r x y e 2 i p y ℏ displaystyle P x p frac 1 pi hbar int infty infty dy langle x y hat rho x y rangle e 2ipy hbar wobei r displaystyle hat rho die Dichtematrix bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Eigenschaften 2 Anwendung ausserhalb der Quantenmechanik 3 Messung 4 Weitere Quasi Wahrscheinlichkeitsverteilungen 5 Historische Anmerkung 6 Literatur 7 WeblinksMathematische Eigenschaften Bearbeiten1 P x p displaystyle P x p nbsp ist reell 2 Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von x displaystyle x nbsp und p displaystyle p nbsp ergeben sich aus d p P x p x r x displaystyle int infty infty dp P x p langle x hat rho x rangle nbsp Wenn sich das System durch einen reinen Zustand beschreiben lasst folgt d p P x p ps x 2 displaystyle int infty infty dp P x p psi x 2 nbsp d x P x p p r p displaystyle int infty infty dx P x p langle p hat rho p rangle nbsp Wenn sich das System durch einen reinen Zustand beschreiben lasst folgt d x P x p ϕ p 2 displaystyle int infty infty dx P x p phi p 2 nbsp d x d p P x p Spur r displaystyle int infty infty dx int infty infty dp P x p operatorname Spur hat rho nbsp Die Spur von r displaystyle hat rho nbsp ist gewohnlich gleich 1 Aus 1 und 2 folgt dass P x p displaystyle P x p nbsp an einigen Stellen negativ ist falls es sich nicht um einen koharenten Zustand oder eine Mischung koharenter Zustande oder nicht um einen gequetschten Vakuumzustand handelt 3 P x p displaystyle P x p nbsp besitzt die folgenden Symmetrien Zeitumkehr ps x ps x P x p P x p displaystyle psi x rightarrow psi x Rightarrow P x p rightarrow P x p nbsp Raumspiegelung ps x ps x P x p P x p displaystyle psi x rightarrow psi x Rightarrow P x p rightarrow P x p nbsp 4 P x p displaystyle P x p nbsp ist Galilei invariant ps x ps x y P x p P x y p displaystyle psi x rightarrow psi x y Rightarrow P x p rightarrow P x y p nbsp Sie ist nicht invariant unter der Lorentztransformation 5 Die Bewegungsgleichung eines Punktes im Phasenraum ist ohne Krafte klassisch P x p t p m P x p x displaystyle frac partial P x p partial t frac p m frac partial P x p partial x nbsp 6 Die Uberlappung zweier Zustande berechnet sich als ps 8 2 2 p ℏ d x d p P ps x p P 8 x p displaystyle langle psi theta rangle 2 2 pi hbar int infty infty dx int infty infty dp P psi x p P theta x p nbsp 7 Operatoren und Erwartungswerte Mittelwerte werden folgendermassen berechnet A x p d y x y 2 A x y 2 e i p y ℏ displaystyle A x p int infty infty dy langle x y 2 hat A x y 2 rangle e ipy hbar nbsp ps A ps T r r A d x d p P x p A x p displaystyle langle psi hat A psi rangle Tr hat rho hat A int infty infty dx int infty infty dpP x p A x p nbsp 8 Damit P x p displaystyle P x p nbsp physikalische positive Dichtematrizen beschreibt muss gelten d x d p P x p P 8 x p 0 displaystyle int infty infty dx int infty infty dp P x p P theta x p geq 0 nbsp wobei 8 displaystyle theta rangle nbsp ein reiner Zustand ist Anwendung ausserhalb der Quantenmechanik BearbeitenIn der Modellierung optischer Systeme wie Teleskope oder Glasfasern in Geraten zur Telekommunikation fullt die Wignerfunktion die Lucke zwischen dem einfachen Ray tracing und der vollstandigen Wellenanalyse des Systems Dabei wird in der Naherung kleiner Winkel paraxial p ℏ displaystyle p hbar nbsp durch k k sin 8 k 8 displaystyle k k sin theta approx k theta nbsp ersetzt In diesem Zusammenhang ist die Wignerfunktion die beste Naherung zu einer Beschreibung des Systems mit Hilfe von Strahlen mit dem Ort x displaystyle x nbsp und Winkel 8 displaystyle theta nbsp unter Einschluss von Interferenzeffekten Falls diese negative Werte an irgendeinem Punkt annimmt lasst sich das System nicht mit der einfachen Raytracing Methode beschreiben In der Signalanalyse wird ein zeitabhangiges elektrisches Signal mechanische Vibrationen oder Schallwellen durch die Wignerfunktion dargestellt Dabei wird x displaystyle x nbsp durch die Zeit und p ℏ displaystyle p hbar nbsp durch die Kreisfrequenz w 2 p f displaystyle omega 2 pi f nbsp ersetzt Hierbei bezeichnet f displaystyle f nbsp die gewohnliche Frequenz Auf dem Gebiet der ultraschnellen Optik werden kurze Laserpulse durch die Wignerfunktion mittels der gleichen Substitution von Frequenz und Zeit charakterisiert Bestimmte Pulseigenschaften wie ein Chirp Anderung der Frequenz mit der Zeit lassen sich durch die Wignerfunktion darstellen In der Quantenoptik werden x displaystyle x nbsp und p ℏ displaystyle p hbar nbsp durch X displaystyle X nbsp und P displaystyle P nbsp Quadraturen ersetzt welche den Real und Imaginarteil des elektrischen Feldes bezeichnen siehe koharenter Zustand Messung BearbeitenTomographie Homodyne Detektion FROG Frequency resolved optical gatingWeitere Quasi Wahrscheinlichkeitsverteilungen BearbeitenDie Wignerverteilung war die erste Quasi Wahrscheinlichkeitsverteilung aber viele weitere mit verschiedenen Vorteilen folgten darunter Glauber P Darstellung Husimi Q Darstellung Historische Anmerkung BearbeitenWie in der Einleitung angefuhrt wurde die Wignerfunktion viele Male unabhangig in verschiedenen Zusammenhangen gefunden Tatsachlich scheint es so dass Wigner nicht wusste dass diese Funktion selbst innerhalb der Quantentheorie zuvor von Heisenberg und Dirac eingefuhrt worden war Diese sahen jedoch nicht deren Bedeutung und glaubten dass diese Funktion lediglich eine Naherung der exakten quantenmechanischen Beschreibung des Systems war Im Ubrigen wurde Dirac spater der Schwager von Wigner siehe Literatur Literatur BearbeitenE P Wigner On the quantum correction for thermodynamic equilibrium In Phys Rev Band 40 Juni 1932 S 749 759 H Weyl Quantenmechanik und Gruppentheorie In Z Phys Band 46 Juni 1927 S 1 46 H Weyl Gruppentheorie und Quantenmechanik S Hirzel Leipzig 1928 H Weyl The Theory of Groups and Quantum Mechanics Dover New York 1931 J Ville Theorie et Applications de la Notion de Signal Analytique In Cables et Transmission Band 2 Nr 1 1948 S 61 74 W Heisenberg Uber die inkoharente Streuung von Rontgenstrahlen In Physik Zeitschr Band 32 1931 S 737 740 P A M Dirac Note on exchange phenomena in the Thomas atom In Proc Camb Phil Soc Band 26 1930 S 376 395 C Zachos D Fairlie T Curtright Quantum Mechanics in Phase Space World Scientific Singapore 2005 S 737 740 Weblinks BearbeitenA gallery of Wigner functions at Department of Physics and Astronomy University of Calgary A Gallery of Quantum States Wigner Verteilung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wignerfunktion amp oldid 203790331