Der Spinor Helizitats Formalismus auch Weyl van der Waerden Formalismus nach Hermann Weyl und Bartel Leendert van der Waerden ist eine alternative mathematische Formulierung von Quantenfeldtheorien die auf der Verwendung von Spinoren und Invarianten der speziellen linearen Gruppe statt der Verwendung von Vierervektoren und Invarianten der Lorentzgruppe basiert Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1 Gruppentheorie der Lorentzgruppe 1 2 Notation 2 Physikalische Implikation 2 1 Fermionen 2 2 Vektorbosonen 3 Helizitatsoperator 4 Literatur 5 EinzelnachweiseGrundlagen BearbeitenGruppentheorie der Lorentzgruppe Bearbeiten Hauptartikel Darstellungstheorie der Lorentz Gruppe In 3 1 Raumzeit Dimensionen ist die reelle Lorentzgruppe S O 1 3 R displaystyle SO 1 3 mathbb R nbsp isomorph zur komplexen speziellen linearen Gruppe in zwei Dimensionen S L 2 C displaystyle SL 2 mathbb C nbsp Dies fuhrt dazu dass jedem Gruppenelement der Lorentzgruppe ein Element der komplexen speziellen linearen Gruppe zugeordnet werden kann und jedem Vektor in der reellen vierdimensionalen Raumzeit R 1 3 displaystyle mathbb R 1 3 nbsp auf der die Lorentzgruppe operiert eine Matrix im Raum der komplexen 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen M 2 C displaystyle M 2 mathbb C nbsp auf der die spezielle lineare Gruppe operiert Dieser Ubergang erfolgt durch die vier Pauli Matrizen s m displaystyle sigma mu nbsp Sei k m displaystyle k mu nbsp ein Vierervektor dann gilt k a a s m a a k m k 0 k 3 k 1 i k 2 k 1 i k 2 k 0 k 3 displaystyle k a dot a sigma mu a dot a k mu begin pmatrix k 0 k 3 amp k 1 mathrm i k 2 k 1 mathrm i k 2 amp k 0 k 3 end pmatrix nbsp Die griechischen Indizes m displaystyle mu nbsp bezeichnen Lorentzindizes die von 0 bis 3 laufen wahrend die lateinischen Indizes a a displaystyle a dot a nbsp Spinorindizes heissen und von 1 bis 2 laufen Die Rucktransformation vom M 2 C displaystyle M 2 mathbb C nbsp in den R 1 3 displaystyle mathbb R 1 3 nbsp funktioniert via k m 1 2 s a a m k a a displaystyle k mu frac 1 2 bar sigma dot a a mu k a dot a nbsp Die lorentzinvariante Grosse k p displaystyle k cdot p nbsp ubersetzt sich via k m p m 1 2 e b a e a b k a a p b b displaystyle k mu p mu frac 1 2 varepsilon ba varepsilon dot a dot b k a dot a p b dot b nbsp mit dem total antisymmetrischen Levi Civita Symbol e displaystyle varepsilon nbsp Insbesondere gilt k m k m det k a a displaystyle k mu k mu det k a dot a nbsp Die Gruppenoperation eines Elements der Lorentzgruppe k n k n L m n k m displaystyle k nu to k nu Lambda mu nu k mu nbsp mit einer Lorentzmatrix L displaystyle Lambda nbsp ubersetzt sich als k a a k a a z b a k b b z b a displaystyle k a dot a to k a dot a zeta b a k b dot b tilde zeta dot b dot a nbsp mit z z z S L 2 C displaystyle zeta tilde zeta zeta dagger in SL 2 mathbb C nbsp Die Matrizen z displaystyle zeta nbsp sind dabei fur Drehungen um eine Achse i displaystyle i nbsp mit dem Winkel a displaystyle alpha nbsp z R i 8 exp i a 2 s i displaystyle zeta R i theta exp mathrm i tfrac alpha 2 sigma i nbsp und fur Lorentz Boosts entlang einer Achse i displaystyle i nbsp mit der Rapiditat 8 displaystyle theta nbsp z B i 8 exp 8 2 s i displaystyle zeta B i theta exp mathrm tfrac theta 2 sigma i nbsp wobei exp displaystyle exp nbsp das Matrixexponential bezeichnet 1 Dies kann auf die komplexe Lorentzgruppe S O 1 3 C displaystyle SO 1 3 mathbb C nbsp die auf C 1 3 displaystyle mathbb C 1 3 nbsp operiert verallgemeinert werden Dann gilt der Isomorphismus S O 1 3 C S L 2 C S L 2 C displaystyle SO 1 3 mathbb C cong SL 2 mathrm C times SL 2 mathrm C nbsp und z displaystyle tilde zeta nbsp muss nicht zwangslaufig gleich z displaystyle zeta dagger nbsp sein und es muss nicht k k displaystyle kappa tilde kappa dagger nbsp gelten Notation Bearbeiten Aus k k det k displaystyle k cdot k det k nbsp folgt dass ein lichtartiger Vektor k m displaystyle k mu nbsp sich in eine Matrix ohne vollen Rang ubersetzt Da die Dimension von k displaystyle k nbsp zwei ist folgt rg k 1 displaystyle operatorname rg k 1 nbsp sofern k 0 displaystyle k neq 0 nbsp ist Daher kann k displaystyle k nbsp als dyadisches Produkt geschrieben werden k a a k a k a displaystyle k a dot a kappa a tilde kappa dot a nbsp Sowohl k displaystyle kappa nbsp als auch k displaystyle tilde kappa nbsp sind zweidimensionale Objekte genannt Spinoren Der Spinor k displaystyle kappa nbsp heisst holomorpher Spinor der Spinor k displaystyle tilde kappa nbsp antiholomorpher Spinor Eine explizite Darstellung dieser Spinoren lautet 2 k a 1 k 0 k 3 k 0 k 3 k 1 i k 2 k a 1 k 0 k 3 k 0 k 3 k 1 i k 2 displaystyle kappa a frac 1 sqrt k 0 k 3 begin pmatrix k 0 k 3 k 1 mathrm i k 2 end pmatrix qquad tilde kappa dot a frac 1 sqrt k 0 k 3 begin pmatrix k 0 k 3 amp k 1 mathrm i k 2 end pmatrix nbsp Insbesondere konnen die Spinoren um einen Faktor t displaystyle t nbsp respektive t 1 displaystyle t 1 nbsp reskaliert werden ohne dass dies die Matrix k a a displaystyle k a dot a nbsp andern wurde Es ist ersichtlich dass die beiden Spinoren adjungiert sind sofern der Vektor k m displaystyle k mu nbsp reell ist Im Folgenden sei angenommen dass alle auftretenden Vektoren lichtartig sind Ein Skalarprodukt von zwei Vierervektoren kann daher als k p k a e a b p b k a e a b p b k p p k displaystyle k cdot p kappa a varepsilon ab pi b tilde kappa dot a varepsilon dot a dot b tilde pi dot b equiv langle kappa pi rangle pi kappa nbsp geschrieben werden Die Levi Civita Symbole ubernehmen in diesem Sinn die Rolle der Metrik in der S L 2 C displaystyle SL 2 mathbb C nbsp Es gilt k b e a b k a displaystyle kappa b varepsilon ab kappa a nbsp und k b e a b k a displaystyle tilde kappa dot b varepsilon dot a dot b tilde kappa dot a nbsp Analog zur Bra Ket Notation lautet die Notation fur die Spinoren k a k k a k k a k k a k displaystyle kappa a kappa rangle quad kappa a langle kappa quad tilde kappa dot a kappa quad tilde kappa dot a kappa nbsp Insbesondere ist aufgrund der Antisymmetrie des Levi Civita Symbols k k k k 0 displaystyle langle kappa kappa rangle kappa kappa 0 nbsp Ein raum oder zeitartiger Vektor kann stets mittels k k k 2 2 k p p displaystyle k k flat frac k 2 2k cdot p p nbsp in zwei lichtartige Vektoren dekomponiert werden In diesem Beispiel heisst p displaystyle p nbsp Hilfsvektor Physikalische Implikation BearbeitenFermionen Bearbeiten Mithilfe des Spinor Helizitats Formalismus ist die Losung der Dirac Gleichung trivial Die Dirac Gleichung lautet i g m m m ps 0 displaystyle mathrm i gamma mu partial mu m psi 0 nbsp Dabei ist p m displaystyle p mu nbsp der Impuls des Teilchens und g displaystyle gamma nbsp die Dirac Matrizen Der Ansatz ps u exp i p x displaystyle psi u exp mathrm i px nbsp bzw ps v exp i p x displaystyle psi v exp mathrm i px nbsp fuhrt zu g m p m m u 0 displaystyle gamma mu p mu m u 0 nbsp und g m p m m v 0 displaystyle gamma mu p mu m v 0 nbsp fur Teilchen beziehungsweise Antiteilchen In Weyl Darstellung gilt g m 0 s m s m 0 displaystyle gamma mu begin pmatrix 0 amp sigma mu bar sigma mu amp 0 end pmatrix nbsp Auf der Massenschale ist ferner p 2 m 2 displaystyle p 2 m 2 nbsp raumartig und muss daher dekomponiert werden sodass die Dirac Gleichung im Spinor Helizitats Formalismus m p p m 2 p m m p m m p p m 2 p m m p m m m u u 0 displaystyle begin pmatrix mp m amp pi rangle pi frac m 2 langle pi mu rangle mu pi mu rangle mu pi langle pi frac m 2 langle pi mu rangle mu pi mu langle mu amp mp m end pmatrix begin pmatrix u rangle u end pmatrix 0 nbsp mit einem Hilfs vektor m m displaystyle mu rangle mu nbsp lautet Es folgt ps p m p m m displaystyle psi rangle big rangle equiv begin pmatrix pi rangle mp frac m pi mu mu end pmatrix nbsp und ps m p m m p displaystyle psi big equiv begin pmatrix pm frac m langle pi mu rangle mu rangle pi end pmatrix nbsp als Losungen des Eigenwertproblems 3 Die Dirac Spinoren sind so normiert sodass ps ps 2 m displaystyle bar psi psi 2m nbsp gilt Im massiven Fall sind die Spinoren insbesondere von der Wahl des Hilfsvektors abhangig im masselosen Fall nicht Vektorbosonen Bearbeiten Die Maxwell Gleichungen p m ϵ m 0 displaystyle p mu epsilon mu 0 nbsp mit dem Polarisationsvektor ϵ displaystyle epsilon nbsp besitzt die beiden Losungen ϵ 2 p m p m displaystyle epsilon sqrt 2 frac pi rangle mu pi mu nbsp und ϵ 2 m p p m displaystyle epsilon sqrt 2 frac mu rangle pi langle pi mu rangle nbsp wobei p 2 0 displaystyle p 2 0 nbsp gilt Die Normierung wurde so gewahlt dass die beiden Losungen orthonormal sind Das und der Losungen steht fur die Helizitat des Polarisationsvektors 4 Die Proca Gleichung fur massive Vektorbosonen hat die zusatzliche Losung ϵ 1 m p p m 2 p m m p m m displaystyle epsilon frac 1 m left pi rangle pi frac m 2 langle pi mu rangle mu pi mu rangle mu right nbsp die der longitudinalen Polarisationsmode entspricht Helizitatsoperator BearbeitenIm Spinor Helizitats Formalismus kann fur masselose Teilchen sehr einfach ein Helizitatsoperator definiert werden h 1 2 i 1 n p i p i p i p i displaystyle h frac 1 2 sum i 1 n left pi i rangle frac partial partial pi i rangle pi i frac partial partial pi i right nbsp Die Summe lauft uber alle beteiligten Impulse p i p i p i displaystyle p i pi i rangle pi i nbsp Der Helizitatsoperator zahlt also fur jedes p displaystyle pi nbsp hinzu und zieht fur jedes p displaystyle pi rangle nbsp ab Man kann nun sehr einfach sehen dass fur die Polarisationsvektoren gilt h ϵ ϵ displaystyle h epsilon epsilon nbsp und h ϵ ϵ displaystyle h epsilon epsilon nbsp Literatur BearbeitenJohannes M Henn Jan C Plefka Scattering Amplitudes in Gauge Theories Springer Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 54021 9 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Eduardo Conde und Andrea Marzolla Lorentz Constraints on Massive Three Point Amplitudes Januar 2016 arxiv 1601 08113 Matthew D Schwartz Quantum Field Theory and the Standard Model Cambridge University Press Cambridge 2014 ISBN 978 1 107 03473 0 S 537 englisch Timothy Cohen Henriette Elvang und Michael Kiermaier On shell constructibility of tree amplitudes in general field theories Oktober 2010 arxiv 1010 0257 Henriette Elvang Yu tin Huang Scattering Amplitudes arxiv 1308 1697v2 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spinor Helizitats Formalismus amp oldid 210991396
