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UHF Algebra UHF Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht Es handelt sich dabei um

UHF-Algebra

UHF-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von C*-Algebren, die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm-Algebren genannt werden. Die UHF-Algebren sind einfach, das heißt, sie besitzen außer 0 und sich selbst keine zweiseitigen Ideale, und sie können zur Konstruktion bestimmter Von-Neumann-Algebren herangezogen werden.

Konstruktion Bearbeiten

Es bezeichne die C*-Algebra der komplexen -Matrizen. Ist ein Teiler von , so sei derjenige *-Homomorphismus, der eine Matrix aus auf diejenige -Matrix abbildet, die aus Kopien der Ausgangsmatrix längs der Diagonalen besteht, zum Beispiel

Dieser *-Homomorphismus ist injektiv und bildet das Einselement auf das Einselement ab. Da injektive *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren automatisch isometrisch sind, kann man in diesem Sinne als Unteralgebra von auffassen, und statt schreiben wir einfach .

Ist nun eine Folge natürlicher Zahlen , so erhält man eine Kette von Inklusionen:

Auf der Vereinigung gibt es dann eine eindeutige Norm, die jede der C*-Normen von fortsetzt, und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist daher eine C*-Algebra, die man UHF-Algebra oder Glimm-Algebra vom Rang nennt.

Eigenschaften Bearbeiten

Isomorphien Bearbeiten

Die UHF-Algebren hängen natürlich von der definierenden Folge ab. Zu jeder Primzahl sei das Supremum aller , so dass ein Teiler von , wobei gegen Unendlich läuft. Dadurch wird der definierenden Folge die Folge zugeordnet, die man in Analogie zur Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen auch als schreibt und eine übernatürliche Zahl nennt, was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist; durchläuft hierbei alle Primzahlen. Es gilt

  • Zwei UHF-Algebren vom Rang bzw. sind genau dann isomorph, wenn die zugeordneten übernatürlichen Zahlen gleich sind, das heißt falls für alle Primzahlen .

Dieser Satz findet sich bereits in . Insbesondere gibt es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorphe UHF-Algebren.

UHF-Algebren als AF-Algebren Bearbeiten

Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF-Algebren spezielle AF-Algebren; letztere sind allerdings erst später eingeführt worden. Ist der Rang der UHF-Algebra, so ist das zugehörige Bratteli-Diagramm gegeben durch

Man liest unmittelbar ab, dass alle UHF-Algebren einfach sind, was sich aber auch ohne die Verwendung der Bratteli-Diagramme zeigen lässt. Als AF-Algebren werden UHF-Algebren auch durch ihre geordnete, skalierte K0-Gruppe klassifiziert, diese ist isomorph zu

mit der durch [0,1] gegebenen Skala.

Darstellungen Bearbeiten

UHF-Algebren sind antiliminal. Jede irreduzible Darstellung ist treu und ihr Bild enthält außer 0 keinen weiteren kompakten Operator. UHF-Algebren besitzen überabzählbar viele, paarweise nicht-äquivalente, irreduzible Darstellungen.

Konstruktion von Faktoren Bearbeiten

Jede UHF-Algebra besitzt einen eindeutigen Spurzustand, das heißt ein stetiges lineares Funktional mit , und für alle Elemente . Die zugehörige GNS-Konstruktion liefert eine Darstellung auf einem Hilbertraum . Man kann zeigen, dass der Bikommutant des Bildes ein Typ II1-Faktor ist.

Man nennt Faktoren hyperfinit, wenn sie als Von-Neumann-Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler Unter-von-Neumann-Algebren erzeugt werden. Daraus leitet sich der Name der UHF-Algebren ab, denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren, UHF steht für uniformly-hyperfinite.

Eine besondere Rolle spielt die CAR-Algebra, die gleich der UHF-Algebra mit der übernatürlichen Zahl ist. In werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert, deren Bilder Typ III-Faktoren als Bikommutanten haben.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 6.4.2
  2. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.4.6
  3. J. Glimm: On a certain class of operator algebras, Transactions of the Amer. Math. Soc., Band 95 (1960), Seiten 318–340
  4. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Beweis zu Korollar IV.5.8
  5. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.7
  6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Korollar 6.4.4
  7. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.7.4, Theorem 3
  8. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.15
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UHF Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht Es handelt sich dabei um eine Klasse von C Algebren die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm Algebren genannt werden Die UHF Algebren sind einfach das heisst sie besitzen ausser 0 und sich selbst keine zweiseitigen Ideale und sie konnen zur Konstruktion bestimmter Von Neumann Algebren herangezogen werden Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Eigenschaften 2 1 Isomorphien 2 2 UHF Algebren als AF Algebren 2 3 Darstellungen 3 Konstruktion von Faktoren 4 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenEs bezeichne M n displaystyle M n nbsp die C Algebra der komplexen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen Ist n displaystyle n nbsp ein Teiler von m displaystyle m nbsp so sei i M n M m displaystyle iota M n rightarrow M m nbsp derjenige Homomorphismus der eine Matrix aus M n displaystyle M n nbsp auf diejenige m m displaystyle m times m nbsp Matrix abbildet die aus m n displaystyle m n nbsp Kopien der Ausgangsmatrix langs der Diagonalen besteht zum Beispiel M 2 M 6 x 11 x 12 x 21 x 22 x 11 x 12 0 0 0 0 x 21 x 22 0 0 0 0 0 0 x 11 x 12 0 0 0 0 x 21 x 22 0 0 0 0 0 0 x 11 x 12 0 0 0 0 x 21 x 22 displaystyle M 2 rightarrow M 6 begin pmatrix x 11 amp x 12 x 21 amp x 22 end pmatrix mapsto begin pmatrix x 11 amp x 12 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 x 21 amp x 22 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp x 11 amp x 12 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp x 21 amp x 22 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp x 11 amp x 12 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp x 21 amp x 22 end pmatrix nbsp Dieser Homomorphismus ist injektiv und bildet das Einselement auf das Einselement ab Da injektive Homomorphismen zwischen C Algebren automatisch isometrisch sind kann man M n displaystyle M n nbsp in diesem Sinne als Unteralgebra von M m displaystyle M m nbsp auffassen und statt i displaystyle iota nbsp schreiben wir einfach M n M m displaystyle M n subset M m nbsp Ist nun n n k k N displaystyle vec n n k k in mathbb N nbsp eine Folge naturlicher Zahlen 2 displaystyle geq 2 nbsp so erhalt man eine Kette von Inklusionen M n 1 M n 1 n 2 M n 1 n 2 n 3 displaystyle M n 1 subset M n 1 cdot n 2 subset M n 1 cdot n 2 cdot n 3 subset ldots nbsp Auf der Vereinigung k 1 M n 1 n k displaystyle bigcup k 1 infty M n 1 cdot ldots cdot n k nbsp gibt es dann eine eindeutige Norm die jede der C Normen von M n 1 n k displaystyle M n 1 cdot ldots cdot n k nbsp fortsetzt und daher bis auf die Vollstandigkeit alle Eigenschaften einer C Norm hat Die Vervollstandigung ist daher eine C Algebra die man UHF Algebra oder Glimm Algebra vom Rang n displaystyle vec n nbsp nennt 1 Eigenschaften BearbeitenIsomorphien Bearbeiten Die UHF Algebren hangen naturlich von der definierenden Folge n n k k N displaystyle vec n n k k in mathbb N nbsp ab Zu jeder Primzahl p displaystyle p nbsp sei d n p N displaystyle delta vec n p in mathbb N cup infty nbsp das Supremum aller n N displaystyle n in mathbb N nbsp so dass p n displaystyle p n nbsp ein Teiler von n 1 n k displaystyle n 1 cdot ldots cdot n k nbsp wobei k displaystyle k nbsp gegen Unendlich lauft Dadurch wird der definierenden Folge n displaystyle vec n nbsp die Folge d n d n p p displaystyle delta vec n delta vec n p p nbsp zugeordnet die man in Analogie zur Primfaktorzerlegung naturlicher Zahlen auch als p p d n p displaystyle prod p p delta vec n p nbsp schreibt und eine ubernaturliche Zahl nennt was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist p displaystyle p nbsp durchlauft hierbei alle Primzahlen Es gilt 2 Zwei UHF Algebren vom Rang n displaystyle vec n nbsp bzw m displaystyle vec m nbsp sind genau dann isomorph wenn die zugeordneten ubernaturlichen Zahlen gleich sind das heisst falls d n p d m p displaystyle delta vec n p delta vec m p nbsp fur alle Primzahlen p displaystyle p nbsp Dieser Satz findet sich bereits in 3 Insbesondere gibt es uberabzahlbar viele paarweise nicht isomorphe UHF Algebren UHF Algebren als AF Algebren Bearbeiten Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF 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ldots cdot n k text fur ein k in mathbb N right subset mathbb Q nbsp mit der durch 0 1 gegebenen Skala 4 Darstellungen Bearbeiten UHF Algebren sind antiliminal Jede irreduzible Darstellung ist treu und ihr Bild enthalt ausser 0 keinen weiteren kompakten Operator UHF Algebren besitzen uberabzahlbar viele paarweise nicht aquivalente irreduzible Darstellungen 5 Konstruktion von Faktoren BearbeitenJede UHF Algebra A displaystyle A nbsp besitzt einen eindeutigen Spurzustand das heisst ein stetiges lineares Funktional t displaystyle tau nbsp mit t x x 0 displaystyle tau x x geq 0 nbsp t 1 1 displaystyle tau 1 1 nbsp und t x y t y x displaystyle tau xy tau yx nbsp fur alle Elemente x y A displaystyle x y in A nbsp Die zugehorige GNS Konstruktion liefert eine Darstellung p t A L H displaystyle pi tau A rightarrow L H nbsp auf einem Hilbertraum H displaystyle H nbsp Man kann zeigen dass der Bikommutant des Bildes p t A L H displaystyle pi tau A subset L H nbsp ein Typ II1 Faktor ist 6 Man nennt Faktoren hyperfinit wenn sie als Von Neumann Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich dimensionaler Unter von Neumann Algebren erzeugt werden 7 Daraus leitet sich der Name der UHF Algebren ab denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren UHF steht fur uniformly hyperfinite Eine besondere Rolle spielt die CAR Algebra die gleich der UHF Algebra mit der ubernaturlichen Zahl 2 displaystyle 2 infty nbsp ist In 8 werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert deren Bilder Typ III Faktoren als Bikommutanten haben Einzelnachweise Bearbeiten Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0125494505 Kapitel 6 4 2 Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0125494505 Theorem 6 4 6 J Glimm On a certain class of operator algebras Transactions of the Amer Math Soc Band 95 1960 Seiten 318 340 K R Davidson C Algebras by Example American Mathematical Society 1996 ISBN 0 821 80599 1 Beweis zu Korollar IV 5 8 Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0125494505 Theorem 6 5 7 Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0125494505 Korollar 6 4 4 Jacques Dixmier Von Neumann algebras North Holland Amsterdam 1981 ISBN 0 444 86308 7 III 7 4 Theorem 3 Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0125494505 Theorem 6 5 15 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title UHF Algebra amp oldid 227407356