Die Stichprobenvarianz ist eine Schätzfunktion und messbare Abbildung in der mathematischen Statistik. Ihre zentrale Aufgabe ist es, die unbekannte Varianz einer zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung zu schätzen. Außerhalb der Schätztheorie findet sie auch als Hilfsfunktion zur Konstruktion von Konfidenzbereichen und statistischen Tests Verwendung.
| Formelzeichen | |
|---|---|
| Mittelwert der Grundgesamtheit | |
| Varianz der Grundgesamtheit | |
| Anzahl der gegebenen Werte | |
| Zufallsvariablen (Zufallsgrößen) | |
| Stichprobe: beobachtete Werte der Zufallsvariablen | |
| Stichprobenmittel / empirischer Mittelwert von | |
| Stichprobenvarianz / empirische Varianz von | |
| Stichprobenmittel (als Funktion der Zufallsvariablen) | |
| Stichprobenvarianz (als Funktion der Zufallsvariablen) | |
| Erwartungswert: Mittelwert, der sich aus der Verteilungsfunktion von X ergibt | |
| Varianz (Stochastik): Varianz, die sich aus der Verteilungsfunktion von X ergibt |
Die Stichprobenvarianz wird in mehreren Varianten definiert, die sich leicht bezüglich ihrer Eigenschaften und somit auch ihrer Anwendungsgebiete unterscheiden. Die Unterscheidung der unterschiedlichen Bezeichnungen für die Varianten ist in der Literatur nicht immer einheitlich. Wird daher lediglich von „der“ Stichprobenvarianz gesprochen, so sollte immer überprüft werden, welche der Definitionen im entsprechenden Kontext gilt.
Stichprobenvarianz als Schätzfunktion ist zu unterscheiden von der konkreten Berechnung der Varianz einer Stichprobe: Die empirische Varianz wird ebenfalls oft als Stichprobenvarianz bezeichnet, ist aber keine Funktion, sondern ein Streumaß von mehreren numerischen (Stichproben-)Werten. Sie entspricht einem konkreten Schätzwert und ist damit eine Realisierung der Stichprobenvarianz als Schätzfunktion und Zufallsvariable.
Definition Bearbeiten
Zur Schätzung des Erwartungswertes und der Varianz einer Grundgesamtheit liegen Zufallsvariablen und sei . In der Anwendung sind die die Stichprobenvariablen. Es bezeichne
das Stichprobenmittel.
Zuerst ist der Erwartungswert zu schätzen, welcher hier in Form des Parameters vorliegt. Mit Hilfe des Kleinste-Quadrate-Kriteriums
erhält man die Schätzung des Erwartungswertes als Stichprobenmittel:
Da durch die Schätzung des Stichprobenmittels ein Freiheitsgrad verbraucht wird, ist es üblich, die empirische Varianz mit dem Faktor zu „korrigieren“. In der Literatur finden sich im Wesentlichen drei unterschiedliche Definitionen der Stichprobenvarianz. Viele Autoren nennen
die Stichprobenvarianz oder zur besseren Abgrenzung die korrigierte Stichprobenvarianz. Alternativ wird auch
als Stichprobenvarianz bezeichnet; ebenso wird auch
für eine fixe reelle Zahl Stichprobenvarianz genannt.
Verwendung Bearbeiten
Wichtiger Verwendungszweck der Stichprobenvarianz ist die Schätzung der Varianz einer unbekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Je nach Rahmenbedingungen kommen dabei die verschiedenen Definitionen zum Einsatz, da diese unterschiedliche Optimalitätskriterien erfüllen (siehe unten). Als Faustregel kann gelten:
- Sind der Erwartungswert und die Varianz des Wahrscheinlichkeitsmaßes unbekannt, so wird als Schätzfunktion verwendet.
- Ist die Varianz unbekannt und entspricht der Erwartungswert dem Wert , so wird als Schätzfunktion verwendet.
Die Schätzfunktion wird meist nicht verwendet, sie entsteht beispielsweise bei Verwendung der Momentenmethode oder der Maximum-Likelihood-Methode und erfüllt die gängigen Qualitätskriterien nicht.
Neben der Verwendung als Schätzfunktion wird die Stichprobenvarianz noch als Hilfsfunktion für die Konstruktion von Konfidenzintervallen oder statistischen Tests verwendet. Dort findet sie sich zum Beispiel als Pivotstatistik zur Konstruktion von Konfidenzintervallen im Normalverteilungsmodell oder als Teststatistik bei dem Chi-Quadrat-Test.
Eigenschaften Bearbeiten
Rahmenbedingungen Bearbeiten
Meist wird die Stichprobenvarianz unter den Annahmen verwendet, dass die Auswertungen unabhängig und identisch verteilt sind sowie entweder einen bekannten oder einen unbekannten Erwartungswert besitzen. Diese Annahmen werden durch die folgenden statistischen Modelle beschrieben:
- Ist der Erwartungswert unbekannt, so ist das statistische Modell gegeben durch das (nicht notwendigerweise parametrische) Produktmodell
- Ist der Erwartungswert bekannt und gleich , so ist das statistische Modell gegeben durch das (nicht notwendigerweise parametrische) Produktmodell
Erwartungstreue Bearbeiten
Bekannter Erwartungswert Bearbeiten
Im Falle des bekannten Erwartungswertes ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz. Das bedeutet, es gilt
Hierbei bezeichnet bzw. die Erwartungswertbildung bzw. die Varianzbildung bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes .
Die Erwartungstreue gilt, da
ist. Hierbei folgt der erste Schritt aus der Linearität des Erwartungswertes, der zweite, da nach der Voraussetzung über den bekannten Erwartungswert ist und somit nach der Definition der Varianz gilt. In den dritten Schritt geht ein, dass die alle identisch verteilt sind.
Unbekannter Erwartungswert Bearbeiten
Im Falle des unbekannten Erwartungswertes ist eine erwartungstreue Schätzfunktion für die Varianz, es gilt also
Im Gegensatz dazu ist nicht erwartungstreu, denn es gilt
Der Schätzer ist aber noch asymptotisch erwartungstreu. Dies folgt direkt aus der obigen Darstellung, denn es ist
Beachte dazu zuerst, dass aufgrund der Unabhängigkeit
gilt und aufgrund der identischen Verteilungen
Daraus folgt direkt
aufgrund von und im letzten Schritt und unter Verwendung der Linearität des Erwartungswertes.
Analog folgt, weil auch identisch verteilt sind (insbesondere also für alle ),
wieder mithilfe von und im dritten Schritt.
Mithilfe von und im zweiten Schritt sowie von im dritten Schritt ist dann
Die letzte Gleichheit folgt hier nach dem Verschiebungssatz. Daraus folgt dann
und analog
Bessel-Korrektur Bearbeiten
Direkt aus der Definition folgt der Zusammenhang
Der Faktor wird hierbei als Bessel-Korrektur (nach Friedrich Wilhelm Bessel) bezeichnet. Er kann insofern als Korrekturfaktor verstanden werden, da er so korrigiert, dass die Schätzfunktion erwartungstreu wird. Dies folgt, da wie oben gezeigt
und die Bessel-Korrektur genau der Kehrwert des Faktors ist. Die Schätzfunktion geht somit aus durch die Bessel-Korrektur hervor.
Stichprobenstandardabweichung Bearbeiten
Sind die Zufallsvariablen unabhängig und identisch verteilt, also beispielsweise eine Stichprobe, so ergibt sich die Standardabweichung der Stichprobe als Wurzel aus der Stichprobenvarianz bzw. , also
oder
mit
Diese Funktion wird Stichprobenstandardabweichung oder Stichprobenstreuung genannt; ihre Realisierungen entsprechen der empirischen Standardabweichung. Da die Erwartungstreue bei Anwendung einer nichtlinearen Funktion wie der Wurzel in den meisten Fällen verloren geht, ist die Stichprobenstandardabweichung im Gegensatz zur korrigierten Stichprobenvarianz in keinem der beiden Fälle ein erwartungstreuer Schätzer für die Standardabweichung der Grundgesamtheit.
Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit aus einer Stichprobe Bearbeiten
Die korrigierte Stichprobenvarianz ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz der Grundgesamtheit. Im Gegensatz dazu ist aber kein erwartungstreuer Schätzer für die Standardabweichung. Da die Quadratwurzel eine konkave Funktion ist, folgt aus der Jensenschen Ungleichung zusammen mit der Erwartungstreue von
Dieser Schätzer unterschätzt also in den meisten Fällen die Standardabweichung der Grundgesamtheit.
Beispiel Bearbeiten
Wählt man eine der Zahlen oder durch Wurf einer fairen Münze, also beide mit Wahrscheinlichkeit jeweils , so ist das eine Zufallsgröße mit Erwartungswert 0, Varianz und Standardabweichung . Berechnet man aus unabhängigen Würfen und die korrigierte Stichprobenvarianz
wobei
den Stichprobenmittelwert bezeichnet, so gibt es vier mögliche Versuchsausgänge, die alle jeweils Wahrscheinlichkeit haben:
Der Erwartungswert der korrigierten Stichprobenvarianz beträgt daher
Die korrigierte Stichprobenvarianz ist demnach also tatsächlich erwartungstreu. Der Erwartungswert der korrigierten Stichprobenstandardabweichung beträgt hingegen
Die korrigierte Stichprobenstandardabweichung unterschätzt also die Standardabweichung der Grundgesamtheit.
Berechnung für auflaufende Messwerte Bearbeiten
In Systemen, die kontinuierlich große Mengen an Messwerten erfassen, ist es oft unpraktisch, alle Messwerte zwischenzuspeichern, um die Standardabweichung zu berechnen.
In diesem Zusammenhang ist es günstiger, eine modifizierte Formel zu verwenden, die den kritischen Term umgeht. Dieser kann nicht für jeden Messwert sofort berechnet werden, da der Mittelwert nicht konstant ist.
Durch Anwendung des Verschiebungssatzes und der Definition des Mittelwerts gelangt man zur Darstellung
bzw.
die sich für jeden eintreffenden Messwert sofort aktualisieren lässt, wenn die Summe der Messwerte sowie die Summe ihrer Quadrate mitgeführt und fortlaufend aktualisiert werden. Diese Darstellung ist allerdings numerisch weniger stabil, insbesondere kann der Term unter der Quadratwurzel numerisch durch Rundungsfehler kleiner als 0 werden.
Durch geschicktes Umstellen lässt sich für letztere Gleichung eine Form finden, die numerisch stabiler ist und auf die Varianz und den Mittelwert des vorhergehenden sowie auf den Stichprobenwert und den Mittelwert des aktuellen Iterationsschrittes zurückgreift:
Normalverteilte Zufallsgrößen Bearbeiten
Berechnungsgrundlagen Bearbeiten
Für den Fall normalverteilter Zufallsgrößen lässt sich allerdings ein erwartungstreuer Schätzer angeben:
Dabei ist die Schätzung der Standardabweichung und die Gammafunktion. Die Formel folgt, indem man beachtet, dass eine Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden hat.
| Stichprobenumfang | Korrekturfaktor |
|---|---|
| 2 | 1,253314 |
| 5 | 1,063846 |
| 10 | 1,028109 |
| 15 | 1,018002 |
| 25 | 1,010468 |
Beispiel Bearbeiten
Es wurden bei einer Stichprobe aus einer normalverteilten Zufallsgröße die fünf Werte 3, 4, 5, 6, 7 gemessen. Man soll nun die Schätzung für die Standardabweichung errechnen.
Die Stichprobenvarianz ist:
Der Korrekturfaktor ist in diesem Fall
und die erwartungstreue Schätzung für die Standardabweichung ist damit näherungsweise
Literatur Bearbeiten
- Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
- M.S. Nikulin: Sample variance. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- Eric W. Weisstein: Sample Variance. In: MathWorld (englisch).
- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
Einzelnachweise Bearbeiten
- L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 351.
- Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 5, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
- ↑ Eric W. Weisstein: Sample Variance. In: MathWorld (englisch).
- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 3, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 208, doi:10.1515/9783110215274.
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 207, doi:10.1515/9783110215274.
- M.S. Nikulin: Sample variance. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- Eric W. Weisstein: Bessels Correction. In: MathWorld (englisch).
- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 27, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
- Eric Weisstein: Standard Deviation Distribution. In: MathWorld (englisch).