Eine Pivotstatistik auch Pivot Grosse genannt kurz ein Pivot ist eine spezielle Funktion in der mathematischen Statistik Es handelt sich um Statistiken mit bestimmten Invarianzeigenschaften die zur Konstruktion von Konfidenzbereichen verwendet werden Der Name leitet sich ab vom franzosischen pivot deutsch Anker hier im Sinne von Dreh und Angelpunkt 1 und beruht auf den Invarianzeigenschaften Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Konstruktion von Konfidenzbereichen mittels Pivots 4 Beispiel zur Konstruktion von Konfidenzbereichen 5 Verwandte Konzepte 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein statistisches Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle mathcal X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp Ein Pivot ist eine Zufallsvariable T X ϑ displaystyle T X vartheta nbsp als Funktion von der Stichprobenvariable X displaystyle X nbsp und ϑ displaystyle vartheta nbsp deren Verteilung unabhangig von ϑ displaystyle vartheta nbsp ist 2 Streng formell wird eine Pivotstatistik wie folgt definiert Gegeben seien ein Entscheidungsraum G A G displaystyle Gamma mathcal mathcal A Gamma nbsp und eine zu schatzende Funktion g 8 G displaystyle g colon Theta to Gamma nbsp Meist ist G R displaystyle Gamma subset mathbb R nbsp Dann heisst eine messbare Abbildung T X G G displaystyle T colon mathcal X times Gamma to Gamma nbsp eine Pivotstatistik fur g displaystyle g nbsp wenn sie folgende Eigenschaften erfullt 3 Fur alle B A G displaystyle B in mathcal A Gamma nbsp und alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp ist die Menge x X T x g ϑ B displaystyle x in mathcal X mid T x g vartheta in B nbsp in A displaystyle mathcal A nbsp enthalten Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Q displaystyle Q nbsp auf G A G displaystyle Gamma mathcal A Gamma nbsp so dass fur alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp stets P ϑ T g ϑ 1 Q displaystyle P vartheta circ T cdot g vartheta 1 Q nbsp gilt Beispiel BearbeitenGegeben sei ein festes s 0 gt 0 displaystyle sigma 0 gt 0 nbsp und sei N m s 0 2 displaystyle mathcal N mu sigma 0 2 nbsp die Normalverteilung mit Erwartungswert m displaystyle mu nbsp und Varianz s 0 2 displaystyle sigma 0 2 nbsp Sei N n m s 0 2 displaystyle mathcal N n mu sigma 0 2 nbsp das n fache Produktmass Betrachtet wird als statistisches Modell das Produktmodell R n B R n N n m s 0 2 m R displaystyle mathbb R n mathcal B mathbb R n mathcal N n mu sigma 0 2 mu in mathbb R nbsp bei fester Varianz und unbekanntem Erwartungswert Dann ist eine Pivot Statistik gegeben durch T X m n X m s 0 displaystyle T X mu frac sqrt n overline X mu sigma 0 nbsp Hierbei ist X 1 n i 1 n X i displaystyle overline X frac 1 n sum i 1 n X i nbsp das Stichprobenmittel Dass es sich um ein Pivot handelt folgt direkt aus den Rechenregeln fur normalverteilte Zufallsvariablen siehe Invarianz der Normalverteilung gegenuber Faltung denn es ist X m N 0 s 0 2 n displaystyle overline X mu sim mathcal N 0 sigma 0 2 n nbsp Durch Normierung mit der Standardabweichung s 0 n displaystyle sigma 0 sqrt n nbsp erhalt man dass T displaystyle T nbsp immer standardnormalverteilt ist also T m N 0 1 displaystyle T cdot mu sim mathcal N 0 1 nbsp fur alle m R displaystyle mu in mathbb R nbsp Konstruktion von Konfidenzbereichen mittels Pivots BearbeitenExistiert eine Pivotstatistik T displaystyle T nbsp und ist eine Menge B A G displaystyle B in mathcal A Gamma nbsp gegeben so wird durch C B x g G T x g B displaystyle C B x gamma in Gamma mid T x gamma in B nbsp ein Bereichsschatzer definiert 3 Aufgrund der Definition des Bereichsschatzers ist dann x X g ϑ C B x x X T x g ϑ B displaystyle x in mathcal X mid g vartheta in C B x x in mathcal X mid T x g vartheta in B nbsp und somit P ϑ x X g ϑ C B x P ϑ x X T x g ϑ B Q B displaystyle P vartheta x in mathcal X mid g vartheta in C B x P vartheta x in mathcal X mid T x g vartheta in B Q B nbsp fur alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp aufgrund der Pivoteigenschaft von T displaystyle T nbsp Der Bereichsschatzer C B displaystyle C B nbsp liefert also einen Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau Q B displaystyle Q B nbsp Die Wahl der Menge B displaystyle B nbsp bestimmt somit Konfidenzniveau und Geometrie des Konfidenzbereiches Beispiel zur Konstruktion von Konfidenzbereichen BearbeitenUnter denselben Rahmenbedingungen wie im obigen Beispiel soll ein Konfidenzbereich fur den Mittelwert zum Konfidenzniveau 1 a displaystyle 1 alpha nbsp bestimmt werden Da Q N 0 1 displaystyle Q mathcal N 0 1 nbsp ist muss zuerst eine Menge B displaystyle B nbsp gewahlt werden so dass Q B N 0 1 B 1 a displaystyle Q B mathcal N 0 1 B 1 alpha nbsp Die Wahl von B displaystyle B nbsp hangt im Wesentlichen von der Anwendung ab Gangig sind einseitige Konfidenzintervalle B 1 a 1 displaystyle B 1 a 1 infty nbsp oder B 2 a 2 displaystyle B 2 infty a 2 nbsp oder zweiseitige Konfidenzintervalle B 3 a 3 a 3 displaystyle B 3 a 3 a 3 nbsp Dabei mussen a 1 a 2 a 3 displaystyle a 1 a 2 a 3 nbsp nun so gewahlt werden dass N 0 1 B i 1 a displaystyle mathcal N 0 1 B i 1 alpha nbsp fur i 1 2 3 displaystyle i 1 2 3 nbsp ist Dafur wahlt man die passenden p displaystyle p nbsp Quantile u p displaystyle u p nbsp der Standardnormalverteilung aus und erhalt a 1 u a displaystyle a 1 u alpha nbsp sowie a 2 u 1 a displaystyle a 2 u 1 alpha nbsp und a 3 u 1 a 2 displaystyle a 3 u 1 alpha 2 nbsp Damit ergibt sich fur den Bereichsschatzer mit der Menge B 1 displaystyle B 1 nbsp C B 1 X m R T X m u a m R n X m s 0 u a m R m X s 0 u 1 a n displaystyle begin aligned C B 1 X amp mu in mathbb R mid T X mu in u alpha infty amp left mu in mathbb R mid frac sqrt n overline X mu sigma 0 geq u alpha right amp left mu in mathbb R mid mu geq overline X frac sigma 0 u 1 alpha sqrt n right end aligned nbsp da aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung u 1 a u a displaystyle u 1 alpha u alpha nbsp gilt Als einseitiges Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 a displaystyle 1 alpha nbsp fur den Erwartungswert erhalt man somit C B 1 X X s 0 u 1 a n displaystyle C B 1 X left overline X frac sigma 0 u 1 alpha sqrt n infty right nbsp Durch analoges Vorgehen mit den Mengen B 2 displaystyle B 2 nbsp und B 3 displaystyle B 3 nbsp erhalt man als zweites einseitiges Konfidenzintervall C B 2 X X s 0 u 1 a n displaystyle C B 2 X left infty overline X frac sigma 0 u 1 alpha sqrt n right nbsp und als beidseitiges Konfidenzintervall C B 3 X X s 0 n u 1 a 2 X s 0 n u 1 a 2 displaystyle C B 3 X left overline X frac sigma 0 sqrt n u 1 alpha 2 overline X frac sigma 0 sqrt n u 1 alpha 2 right nbsp Verwandte Konzepte BearbeitenEng mit den Pivotstatistiken sind die approximativen Pivotstatistiken verwandt Sie dienen der Konstruktion von approximativen Konfidenzbereichen und beruhen auf Grenzwertbetrachtungen Einzelnachweise Bearbeiten Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 S 234 doi 10 1515 9783110215274 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 S 142 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 a b Ludger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 S 231 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pivotstatistik amp oldid 225670080
