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Bereichsschätzer Ein ist eine bestimmte Schätzfunktion in der mathematischen Statistik Im Gegensatz zu einem Punktschätz

Bereichsschätzer

Ein Bereichsschätzer ist eine bestimmte Schätzfunktion in der mathematischen Statistik. Im Gegensatz zu einem Punktschätzer sind Bereichsschätzer mengenwertige Abbildungen; sie ordnen jedem Ausgang eines statistischen Experimentes also eine Menge und nicht einen einzelnen Wert zu. Bei diesen Mengen handelt es sich meist um Ellipsen, Kugeln oder Intervalle. Im letzten Fall spricht man auch von einem Intervallschätzer.

Bereichsschätzer bilden die mathematische Grundlage für die Bestimmung von Konfidenzbereichen (Konfidenzschätzung). Dies sind diejenigen Mengen, bei denen eine vorgegebene Überdeckungswahrscheinlichkeit garantiert ist.

Wie bei Entscheidungsfunktionen unterscheidet man zwischen randomisierten und nichtrandomisierten Bereichsschätzern.

Nichtrandomisierte Bereichsschätzer Bearbeiten

Gegeben sei ein Messraum sowie ein statistisches Modell . Dann heißt eine Abbildung

ein (nichtrandomisierter) Bereichsschätzer, wenn für jedes die Menge

in der σ-Algebra enthalten ist. heißt der Annahmebereich von und enthält alle Elemente der Grundmenge, bei deren Eintreten der Wert überdeckt wird.

Beispiel Bearbeiten

Gegeben sei der Messraum und als statistisches Modell das Produktmodell

das den 100-fachen Münzwurf modelliert. bezeichnet hierbei die Bernoulli-Verteilung. Ein typischer Intervallschätzer wäre dann eine Abbildung, die jedem Ausgang des Experimentes ein Intervall um das arithmetische Mittel herum zuordnet. Bezeichnet man dieses mit und ist , so wäre die Funktion

ein Bereichsschätzer.

Streng genommen müsste man das Intervall noch mit schneiden, um auch für größere zu garantieren, dass es sich immer um eine Teilmenge der Grundmenge des Messraumes handelt.

Einordnung als Entscheidungsfunktionen Bearbeiten

Bereichsschätzer lassen sich im allgemeinen Rahmen eines statistischen Entscheidungsproblems als mengenwertige Entscheidungsfunktionen darstellen. Dazu wählt man als Grundmenge des Entscheidungsraumes die σ-Algebra . Die Elemente der Grundmenge des Entscheidungsraumes sind dann also Mengen. Die σ-Algebra auf der Grundmenge des Entscheidungsraumes definiert man über die von den Hilfsmengen

erzeugte σ-Algebra . Dann ist die Funktion eine -messbare Funktion und damit eine nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion.

Randomisierte Bereichsschätzer Bearbeiten

Mittels dieser Konstruktion lässt sich dann auch ein randomisierter Bereichsschätzer definieren: Es handelt sich dabei um einen Markow-Kern von nach , das heißt für gilt:

ist dann die Wahrscheinlichkeit, sich bei Eintreten von für eine Menge zu entscheiden.

Konstruktion Bearbeiten

Gängige Methoden zur Konstruktion von Bereichsschätzern sind u. a. Pivotstatistiken und approximative Pivotstatistiken.

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
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Ein Bereichsschatzer ist eine bestimmte Schatzfunktion in der mathematischen Statistik Im Gegensatz zu einem Punktschatzer sind Bereichsschatzer mengenwertige Abbildungen sie ordnen jedem Ausgang eines statistischen Experimentes also eine Menge und nicht einen einzelnen Wert zu Bei diesen Mengen handelt es sich meist um Ellipsen Kugeln oder Intervalle Im letzten Fall spricht man auch von einem Intervallschatzer Bereichsschatzer bilden die mathematische Grundlage fur die Bestimmung von Konfidenzbereichen Konfidenzschatzung Dies sind diejenigen Mengen bei denen eine vorgegebene Uberdeckungswahrscheinlichkeit garantiert ist Wie bei Entscheidungsfunktionen unterscheidet man zwischen randomisierten und nichtrandomisierten Bereichsschatzern Inhaltsverzeichnis 1 Nichtrandomisierte Bereichsschatzer 1 1 Beispiel 2 Einordnung als Entscheidungsfunktionen 2 1 Randomisierte Bereichsschatzer 3 Konstruktion 4 LiteraturNichtrandomisierte Bereichsschatzer BearbeitenGegeben sei ein Messraum M A M displaystyle M mathcal A M nbsp sowie ein statistisches Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp Dann heisst eine Abbildung C X A M displaystyle C colon X to mathcal A M nbsp ein nichtrandomisierter Bereichsschatzer wenn fur jedes m M displaystyle m in M nbsp die Menge A m x X m C x displaystyle A m x in X m in C x nbsp in der s Algebra A displaystyle mathcal A nbsp enthalten ist A m displaystyle A m nbsp heisst der Annahmebereich von m displaystyle m nbsp und enthalt alle Elemente der Grundmenge bei deren Eintreten der Wert m displaystyle m nbsp uberdeckt wird Beispiel Bearbeiten Gegeben sei der Messraum 0 1 B 0 1 displaystyle 0 1 mathcal B 0 1 nbsp und als statistisches Modell das Produktmodell 0 1 100 P 0 1 100 Ber ϑ 100 displaystyle 0 1 100 mathcal P 0 1 otimes 100 operatorname Ber vartheta otimes 100 nbsp das den 100 fachen Munzwurf modelliert Ber ϑ displaystyle operatorname Ber vartheta nbsp bezeichnet hierbei die Bernoulli Verteilung Ein typischer Intervallschatzer ware dann eine Abbildung die jedem Ausgang des Experimentes ein Intervall um das arithmetische Mittel herum zuordnet Bezeichnet man dieses mit x displaystyle bar x nbsp und ist e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp so ware die Funktion C x x e x e displaystyle C x bar x varepsilon bar x varepsilon nbsp ein Bereichsschatzer Streng genommen musste man das Intervall noch mit 0 1 displaystyle 0 1 nbsp schneiden um auch fur grossere e displaystyle varepsilon nbsp zu garantieren dass es sich immer um eine Teilmenge der Grundmenge des Messraumes handelt Einordnung als Entscheidungsfunktionen BearbeitenBereichsschatzer lassen sich im allgemeinen Rahmen eines statistischen Entscheidungsproblems als mengenwertige Entscheidungsfunktionen darstellen Dazu wahlt man als Grundmenge des Entscheidungsraumes W displaystyle Omega nbsp die s Algebra A M displaystyle mathcal A M nbsp Die Elemente der Grundmenge des Entscheidungsraumes sind dann also Mengen Die s Algebra auf der Grundmenge des Entscheidungsraumes definiert man uber die von den Hilfsmengen T m K A M m K displaystyle T m K in mathcal A M m in K nbsp erzeugte s Algebra S s T m m M displaystyle Sigma sigma T m m in M nbsp Dann ist die Funktion C displaystyle C nbsp eine A S displaystyle mathcal A Sigma nbsp messbare Funktion und damit eine nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion Randomisierte Bereichsschatzer Bearbeiten Mittels dieser Konstruktion lasst sich dann auch ein randomisierter Bereichsschatzer d displaystyle delta nbsp definieren Es handelt sich dabei um einen Markow Kern von X A displaystyle X mathcal A nbsp nach W S displaystyle Omega Sigma nbsp das heisst fur d X S 0 1 displaystyle delta colon X times Sigma to 0 1 nbsp gilt Fur jedes x X displaystyle x in X nbsp ist d x displaystyle delta x cdot nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass auf W S displaystyle Omega Sigma nbsp Fur jedes S S displaystyle S in Sigma nbsp ist d S displaystyle delta cdot S nbsp eine A displaystyle mathcal A nbsp messbare Funktion d x K displaystyle delta x K nbsp ist dann die Wahrscheinlichkeit sich bei Eintreten von x displaystyle x nbsp fur eine Menge K A M W displaystyle K in mathcal A M Omega nbsp zu entscheiden Konstruktion BearbeitenGangige Methoden zur Konstruktion von Bereichsschatzern sind u a Pivotstatistiken und approximative Pivotstatistiken Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bereichsschatzer amp oldid 235392834