Asymptotische Erwartungstreue Die asymptotische Erwartungstreue 1 auch asymptotische Unverfälschtheit 2 oder asymptotisc

Asymptotische Erwartungstreue

Die asymptotische Erwartungstreue, auch asymptotische Unverfälschtheit oder asymptotische Unverzerrtheit genannt, ist eine Eigenschaft eines Punktschätzers in der mathematischen Statistik. Anschaulich sind asymptotisch erwartungstreue Schätzer solche, die für endliche Stichproben nicht erwartungstreu sind, also eine systematische Verzerrung aufweisen. Diese verschwindet aber im Grenzwert bei immer größer werdenden Stichprobenumfängen.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell , welches das unendliche Wiederholen eines Experimentes formalisiert. Des Weiteren sei eine Folge von Punktschätzern

gegeben und eine zu schätzende Funktion

Dann heißt die Folge asymptotisch erwartungstreu, wenn

Dabei bezeichnet den Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes .

Beispiel Bearbeiten

Ein typischer asymptotisch erwartungstreuer Schätzer entsteht im Normalverteilungsmodell, wenn man bei unbekanntem Erwartungswert die Varianz mittels der Maximum-Likelihood-Methode schätzt.

Das statistische Modell ist gegeben durch

für , der Maximum-Likelihood-Schätzer für eine Stichprobe der Größe durch

die (unkorrigierte) Stichprobenvarianz. Die zu schätzende Funktion ist

Bezeichne der Einfachheit halber die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung der statistischen Modells. Dann ist nach dieser Rechnung

Der Schätzer ist also nicht Erwartungstreu. Insbesondere gilt für die Verzerrung

Der Schätzer ist aber asymptotisch Erwartungstreu, denn es ist

Allgemeinere Formulierungen Bearbeiten

Es existieren noch allgemeinere Formulierungen als die oben angegebene. Dabei werden die Voraussetzungen, dass es sich um eine Wiederholung des immer selben Experiments handelt (unendliches Produktmodell) fallen gelassen.

Formal wird dann ein Wahrscheinlichkeitsraum für definiert sowie eine Folge von Zufallsvariablen auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.

Eine Folge von Punktschätzern heißt dann asymptotisch erwartungstreu für die Funktion , wenn

für alle .

Weblinks Bearbeiten

O.V. Shalaevskii: Asymptotically-unbiased estimator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

Literatur Bearbeiten

Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

Georgii: Stochastik. 2009, S. 200.
Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 351.
Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 105.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 04:34 am

Die asymptotische Erwartungstreue 1 auch asymptotische Unverfalschtheit 2 oder asymptotische Unverzerrtheit 3 genannt ist eine Eigenschaft eines Punktschatzers in der mathematischen Statistik Anschaulich sind asymptotisch erwartungstreue Schatzer solche die fur endliche Stichproben nicht erwartungstreu sind also eine systematische Verzerrung aufweisen Diese verschwindet aber im Grenzwert bei immer grosser werdenden Stichprobenumfangen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Allgemeinere Formulierungen 4 Weblinks 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein statistisches Modell X N A N P ϑ N ϑ 8 displaystyle X mathbb N mathcal A mathbb N P vartheta mathbb N vartheta in Theta nbsp welches das unendliche Wiederholen eines Experimentes formalisiert Des Weiteren sei eine Folge von Punktschatzern T n X n R displaystyle T n colon X n to mathbb R nbsp gegeben und eine zu schatzende Funktion g 8 R displaystyle g colon Theta to mathbb R nbsp Dann heisst die Folge T n displaystyle T n nbsp asymptotisch erwartungstreu wenn lim n E ϑ T n g ϑ displaystyle lim n to infty operatorname E vartheta T n g vartheta nbsp fur alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp Dabei bezeichnet E ϑ displaystyle operatorname E vartheta nbsp den Erwartungswert bezuglich des Wahrscheinlichkeitsmasses P ϑ N displaystyle P vartheta mathbb N nbsp Beispiel BearbeitenEin typischer asymptotisch erwartungstreuer Schatzer entsteht im Normalverteilungsmodell wenn man bei unbekanntem Erwartungswert die Varianz mittels der Maximum Likelihood Methode schatzt Das statistische Modell ist gegeben durch R N B R N N m s 2 N displaystyle mathbb R mathbb N mathcal B mathbb R mathbb N mathcal N mu sigma 2 otimes mathbb N nbsp fur m s 2 R 0 displaystyle mu sigma 2 in mathbb R times 0 infty nbsp der Maximum Likelihood Schatzer fur eine Stichprobe der Grosse n displaystyle n nbsp durch T n X 1 n i 1 n X i 1 n j 1 n X j 2 displaystyle T n X frac 1 n sum i 1 n left X i tfrac 1 n sum j 1 n X j right 2 nbsp die unkorrigierte Stichprobenvarianz Die zu schatzende Funktion ist g s s 2 displaystyle g sigma sigma 2 nbsp Bezeichne der Einfachheit halber P m s 2 N m s 2 N displaystyle P mu sigma 2 mathcal N mu sigma 2 otimes mathbb N nbsp die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung der statistischen Modells Dann ist nach dieser Rechnung E P m s 2 T n n 1 n s 2 displaystyle operatorname E P mu sigma 2 T n frac n 1 n sigma 2 nbsp Der Schatzer ist also nicht Erwartungstreu Insbesondere gilt fur die Verzerrung Bias T n s s 2 n displaystyle operatorname Bias T n sigma frac sigma 2 n nbsp Der Schatzer ist aber asymptotisch Erwartungstreu denn es ist lim n E P m s 2 T n s 2 g s displaystyle lim n to infty operatorname E P mu sigma 2 T n sigma 2 g sigma nbsp Allgemeinere Formulierungen BearbeitenEs existieren noch allgemeinere Formulierungen als die oben angegebene Dabei werden die Voraussetzungen dass es sich um eine Wiederholung des immer selben Experiments handelt unendliches Produktmodell fallen gelassen Formal wird dann ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P ϑ displaystyle Omega mathcal A P vartheta nbsp fur ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp definiert sowie eine Folge von Zufallsvariablen X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum Eine Folge von Punktschatzern T n T n X 1 X 2 X n displaystyle T n T n X 1 X 2 dots X n nbsp heisst dann asymptotisch erwartungstreu fur die Funktion g displaystyle g nbsp wenn lim n E ϑ T n X 1 X 2 X n g ϑ displaystyle lim n to infty operatorname E vartheta bigl T n X 1 X 2 dots X n bigr g vartheta nbsp fur alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp Weblinks BearbeitenO V Shalaevskii Asymptotically unbiased estimator In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 doi 10 1515 9783110215274 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 Einzelnachweise Bearbeiten Georgii Stochastik 2009 S 200 Ruschendorf Mathematische Statistik 2014 S 351 Czado Schmidt Mathematische Statistik 2011 S 105 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Asymptotische Erwartungstreue amp oldid 190588886