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Verzerrung einer Schätzfunktion Die Verzerrung oder auch das Bias oder systematischer Fehler 1 einer Schätzfunktion ist

Verzerrung einer Schätzfunktion

Die Verzerrung oder auch das Bias oder systematischer Fehler einer Schätzfunktion ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, diejenige Kennzahl oder Eigenschaft einer Schätzfunktion, welche die systematische Über- oder Unterschätzung der Schätzfunktion quantifiziert.

Erwartungstreue Schätzfunktionen haben per Definition eine Verzerrung von .

Schätzer können durch Regularisierung absichtlich verzerrt werden, um eine kleinere Varianz des Schätzers zu erreichen – es handelt sich dann um Shrinkage-Schätzer.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine zu schätzende Funktion

sowie ein statistisches Modell und ein Punktschätzer

Dann heißt

die Verzerrung des Schätzers bei .

Dabei bezeichnet den Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes . Man schreibt das in und bei tiefgestellt, um hervorzuheben, dass die Größen vom wahren Wert abhängen.

Die Notation für die Verzerrung ist nicht einheitlich, in der Literatur finden sich u. a. auch , oder .

Die Verzerrung ist der Erwartungswert des Schätzfehlers.

Beispiel Bearbeiten

Gegeben seien Zufallszahlen, die gleichverteilt in einem Intervall sind. Aufgabe ist, zu schätzen. Statistisches Modell ist

wobei und die stetige Gleichverteilung auf ist.

Die zu schätzende Funktion ist , ein möglicher Schätzer wäre

da die größte ausgegebene Zufallszahl intuitiv "nah" an der unbekannten Obergrenze liegt. Dann ist

für alle . Daraus folgt

somit ist die Verzerrung

Die Verzerrung kommt hier zustande, da der Schätzer den wahren Wert stets unterschätzt, es ist .

Eigenschaften Bearbeiten

Ist die Verzerrung eines Schätzers für alle gleich Null, also

so nennt man diesen Schätzer einen erwartungstreuen Schätzer.

Der mittlere quadratische Fehler

zerfällt aufgrund des Verschiebungssatzes in Varianz und Verzerrung

Somit entspricht der mittlere quadratische Fehler bei erwartungstreuen Schätzern genau der Varianz des Schätzers.

Sowohl die Verzerrung als auch der mittlere quadratische Fehler sind wichtige Qualitätskriterien für Punktschätzer. Folglich versucht man, beide möglichst klein zu halten. Es gibt aber Fälle, in denen es zur Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers sinnvoll ist, Verzerrung zuzulassen.

So ist im Binomialmodell mit ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer gegeben durch

heißt seine Varianz (und damit auch sein mittlerer quadratischer Fehler) ist für alle kleiner als die jedes weiteren erwartungstreuen Schätzers. Der Schätzer

ist nicht erwartungstreu und folglich verzerrt, besitzt aber für Werte von nahe an einen geringeren mittleren quadratischen Fehler.

Es können also nicht immer Verzerrung und mittlerer quadratischer Fehler gleichzeitig minimiert werden, siehe auch Verzerrung-Varianz-Dilemma.

Beispiel, wenn ein verzerrter Schätzer (blau) besser sein kann als ein unverzerrter Schätzer (gelb), da der verzerrte Schätzer eine kleinere Streuung besitzt.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  • Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 207.
  2. Georgii: Stochastik. 2009, S. 209.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Verzerrung oder auch das Bias oder systematischer Fehler 1 einer Schatzfunktion ist in der Schatztheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik diejenige Kennzahl oder Eigenschaft einer Schatzfunktion welche die systematische Uber oder Unterschatzung der Schatzfunktion quantifiziert Erwartungstreue Schatzfunktionen haben per Definition eine Verzerrung von 0 textstyle 0 Schatzer konnen durch Regularisierung absichtlich verzerrt werden um eine kleinere Varianz des Schatzers zu erreichen es handelt sich dann um Shrinkage Schatzer Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei eine zu schatzende Funktion g 8 R displaystyle g colon Theta to mathbb R nbsp dd sowie ein statistisches Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp und ein Punktschatzer T X R displaystyle T colon X to mathbb R nbsp dd Dann heisst B T ϑ E ϑ T g ϑ displaystyle mathbb B T vartheta operatorname E vartheta T g vartheta nbsp die Verzerrung des Schatzers T displaystyle T nbsp bei ϑ displaystyle vartheta nbsp Dabei bezeichnet E ϑ displaystyle operatorname E vartheta nbsp den Erwartungswert bezuglich des Wahrscheinlichkeitsmasses P ϑ displaystyle P vartheta nbsp Man schreibt das ϑ displaystyle vartheta nbsp in B T ϑ displaystyle mathbb B T vartheta nbsp und bei E ϑ T displaystyle operatorname E vartheta T nbsp tiefgestellt um hervorzuheben dass die Grossen vom wahren Wert ϑ displaystyle vartheta nbsp abhangen Die Notation fur die Verzerrung ist nicht einheitlich in der Literatur finden sich u a auch b ϑ displaystyle b vartheta nbsp b ϑ T displaystyle b vartheta T nbsp oder Bias ϑ T displaystyle operatorname Bias vartheta T nbsp Die Verzerrung ist der Erwartungswert des Schatzfehlers Beispiel BearbeitenGegeben seien n displaystyle n nbsp Zufallszahlen die gleichverteilt in einem Intervall 0 ϑ displaystyle 0 vartheta nbsp sind Aufgabe ist ϑ displaystyle vartheta nbsp zu schatzen Statistisches Modell ist 0 n B 0 n U ϑ n ϑ 8 displaystyle 0 infty n mathcal B 0 infty n U vartheta n vartheta in Theta nbsp wobei 8 0 displaystyle Theta 0 infty nbsp und U ϑ displaystyle U vartheta nbsp die stetige Gleichverteilung auf 0 ϑ displaystyle 0 vartheta nbsp ist Die zu schatzende Funktion ist g ϑ ϑ displaystyle g vartheta vartheta nbsp ein moglicher Schatzer ware T X max X 1 X n displaystyle T X max X 1 dots X n nbsp da die grosste ausgegebene Zufallszahl intuitiv nah an der unbekannten Obergrenze ϑ displaystyle vartheta nbsp liegt Dann ist P ϑ T c c ϑ n displaystyle P vartheta T leq c left frac c vartheta right n nbsp fur alle c 0 ϑ displaystyle c in 0 vartheta nbsp Daraus folgt E ϑ T n n 1 ϑ displaystyle operatorname E vartheta T frac n n 1 vartheta nbsp somit ist die Verzerrung B T ϑ n n 1 ϑ ϑ ϑ n 1 displaystyle mathbb B T vartheta frac n n 1 vartheta vartheta frac vartheta n 1 nbsp Die Verzerrung kommt hier zustande da der Schatzer den wahren Wert stets unterschatzt es ist P ϑ T lt ϑ 1 displaystyle P vartheta T lt vartheta 1 nbsp Eigenschaften BearbeitenIst die Verzerrung eines Schatzers fur alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp gleich Null also E ϑ T g ϑ f u r a l l e ϑ 8 displaystyle operatorname E vartheta T g vartheta quad mathrm f ddot u r alle vartheta in Theta nbsp so nennt man diesen Schatzer einen erwartungstreuen Schatzer Der mittlere quadratische Fehler F T ϑ E ϑ T g ϑ 2 displaystyle mathbb F T vartheta operatorname E vartheta left left T g vartheta right 2 right nbsp zerfallt aufgrund des Verschiebungssatzes in Varianz und Verzerrung F T ϑ Var ϑ T B T ϑ 2 displaystyle mathbb F T vartheta operatorname Var vartheta T left mathbb B T vartheta right 2 nbsp Somit entspricht der mittlere quadratische Fehler bei erwartungstreuen Schatzern genau der Varianz des Schatzers Sowohl die Verzerrung als auch der mittlere quadratische Fehler sind wichtige Qualitatskriterien fur Punktschatzer Folglich versucht man beide moglichst klein zu halten Es gibt aber Falle in denen es zur Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers sinnvoll ist Verzerrung zuzulassen So ist im Binomialmodell X 0 n A P X P ϑ Bin n ϑ displaystyle X 0 dots n mathcal A mathcal P X P vartheta operatorname Bin n vartheta nbsp mit ϑ 0 1 displaystyle vartheta in 0 1 nbsp ein gleichmassig bester erwartungstreuer Schatzer gegeben durch T 1 x x n displaystyle T 1 x frac x n nbsp heisst seine Varianz und damit auch sein mittlerer quadratischer Fehler ist fur alle ϑ displaystyle vartheta nbsp kleiner als die jedes weiteren erwartungstreuen Schatzers Der Schatzer T 2 x 1 n 2 displaystyle T 2 frac x 1 n 2 nbsp ist nicht erwartungstreu und folglich verzerrt besitzt aber fur Werte von ϑ displaystyle vartheta nbsp nahe an 0 5 displaystyle 0 5 nbsp einen geringeren mittleren quadratischen Fehler 2 Es konnen also nicht immer Verzerrung und mittlerer quadratischer Fehler gleichzeitig minimiert werden siehe auch Verzerrung Varianz Dilemma nbsp Beispiel wenn ein verzerrter Schatzer blau besser sein kann als ein unverzerrter Schatzer gelb da der verzerrte Schatzer eine kleinere Streuung besitzt Siehe auch BearbeitenTrend Statistik Systematischer Fehler Verzerrung Varianz DilemmaWeblinks BearbeitenM S Nikulin Biased estimator In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Estimator Bias In MathWorld englisch Literatur BearbeitenHans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 doi 10 1515 9783110215274 Ludger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 Einzelnachweise Bearbeiten Georgii Stochastik 2009 S 207 Georgii Stochastik 2009 S 209 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verzerrung einer Schatzfunktion amp oldid 234347960