www.wikidata.de-de.nina.az
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Zum in der Werkstoffkunde bekannten Smith Diagramm siehe Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith Das Smith Diagramm englisch Smith chart ist ein grafisches Hilfsmittel der komplexen Wechselstromrechnung mit dem Berechnungen von elektrischen Impedanzen auf eine geometrische Konstruktion zuruckgefuhrt werden konnen Es wurde erstmals im Jahre 1939 von Phillip Smith vorgestellt 1 2 Leeres Smith Diagramm in hoher AuflosungDas ursprungliche Ziel des Smith Diagramms die komplexen numerischen Berechnungen die handisch getatigt werden mussten durch eine grafische Ermittlung der Werte zu ersetzen und so zu vereinfachen ist durch die breite Verfugbarkeit von Taschenrechnern welche auch mit komplexen Zahlen rechnen konnen und Computern mit entsprechenden Softwarepaketen weggefallen Geblieben ist als primare Anwendung die grafische Reprasentation von Impedanzverlaufen in technischen Dokumenten und Datenblattern Smith Diagramme auf Papier zur grafischen Ermittlung werden daher primar im Bereich der Ausbildung und Lehre und zur Dokumentation verwendet Messgerate wie Netzwerkanalysatoren konnen gemessene Daten meist auch in Form von Smith Diagrammen direkt anzeigen Inhaltsverzeichnis 1 Aufbau 2 Arbeiten mit dem Smith Diagramm 3 Beispiel 3 1 3D Smith Diagramm 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseAufbau Bearbeiten nbsp Konforme Abbildung der Impedanzebene z Ebene in die Reflexionsfaktorebene r Ebene welche innerhalb des Einheitskreises das Smith Diagramm bildetDas Diagramm ist kreisformig und mit einem komplexen Koordinatensystem versehen Es beruht auf der konformen Abbildung r z z 1 z 1 displaystyle r z frac z 1 z 1 nbsp der komplexen Impedanzebene auf die ebenfalls komplexe Reflexionsfaktorebene die sich aus der Definition des Reflexionsfaktors G ergibt Der Reflexionsfaktor wird je nach Nomenklatur und in Anlehnung an die Reflexionsfaktorebene auch mit dem Symbol r displaystyle r nbsp bezeichnet Bei dieser Abbildung wird die rechte Halbimpedanzebene auf das Innere des Einheitskreises in der Reflexionsfaktorebene abgebildet Das Innere des Einheitskreises in der Reflexionsfaktorebene entspricht genau dem Bereich des Smith Diagramms Die linke Halfte der Impedanzebene sie entspricht in der Reflexionsfaktorebene dem Bereich ausserhalb des Smith Diagramms ist dabei ohne Bedeutung da sie Impedanzen mit einem negativen Realwert entspricht welche bei passiven Bauteilen nicht auftreten In der Mathematik ist diese Transformation einer Ebene in eine andere auch als Mobiustransformation bekannt Sie gehorcht der allgemeinen Form f z a z b c z d displaystyle f z frac az b cz d nbsp Die Abbildung besitzt die besondere Eigenschaft dass das Bild einer Zahl z in der Impedanzebene beispielsweise z 2 j displaystyle z 2 mathrm j nbsp und ihres Kehrwertes 1 z 1 2 j 0 4 0 2 j displaystyle 1 z 1 2 mathrm j 0 4 0 2 mathrm j nbsp punktsymmetrisch um den Ursprung in der Reflexionsfaktorebene liegen Das Smith Diagramm kann somit sowohl als Impedanz als auch Admittanz Diagramm benutzt werden In der Elektrotechnik wird fur die imaginare Einheit das Symbol j displaystyle mathrm j nbsp verwendet um Verwechslungen mit dem zeitabhangigen Strom zu vermeiden fur den der Buchstabe i displaystyle i nbsp steht Bei der Berechnung einer Parallelschaltung ergibt sich der Kehrwert der Gesamtimpedanz als Summe der Kehrwerte der Teilimpedanzen Diese Kehrwertbildung wird im Smith Diagramm also geometrisch durch eine Spiegelung am Mittelpunkt ersetzt Im Smith Diagramm wird immer mit normierten Grossen gearbeitet Daraus ergibt sich der Vorteil dass man unabhangig von Grossen wie der tatsachlichen Frequenz Wellenlange oder Impedanz ist In der Leitungstheorie z B bei Impedanzanpassungsproblemen lassen sich Reflexionsfaktor G und Stehwellenverhaltnis SWR einfach aus dem Smith Diagramm ohne komplexe Rechnung bestimmen Dazu misst man die Lange der Verbindungslinie zwischen dem Ursprung und dem Schnittpunkt der beiden Kreise der normierten Impedanz Die Phase des Reflexionsfaktors kann auf der Verlangerung der Linie auf der ausseren Skala des Smith Diagramms abgelesen werden Das SWR lasst sich indirekt uber den Reflexionsfaktor bestimmen kann jedoch auch direkt aus dem Smith Diagramm abgelesen werden als Schnittpunkt der reellen Achse rechts vom Kreismittelpunkt mit dem Kreis der durch den Betrag des Reflexionsfaktors gegeben ist Mochte man nun den Reflexionsfaktor G an einer beliebigen Stelle auf einer Leitung berechnen so entspricht das einer Drehung des Reflexionsfaktors um die normierte Leitungslange am Leitungsende auf dem Reflexionsfaktor Kreis entweder hin zum Generator also im Uhrzeigersinn oder hin zur Last also im Gegenuhrzeigersinn Das Smith Diagramm wird auch als grafisches Hilfsmittel in der Leitungstheorie zur Impedanzanpassung verwendet Dabei unterscheidet es sich lediglich durch die Interpretation der Achsen bzw die Achsenbeschriftung von den hier gezeigten Darstellungen In folgender Abbildung sind die grundlegenden Zusammenhange an zwei Smith Diagrammen am Beispiel der Leitungstheorie grafisch dargestellt Dabei ist ersichtlich dass das Smith Diagramm in der oberen Halfte induktive und in der unteren Halfte kapazitive Impedanzwerte abbildet nbsp An einer Leitung mit der Impedanz Z0 mit einem Leitungsabschluss ZL ist im linken Teilbild die auf die Leitungsimpedanz normierte Impedanz z eingezeichnet z 0 stellt den Kurzschlussfall dar im Leerlauf ist z unendlich dies entspricht dem Punkt ganz rechts Die Realteile der normierten Impedanz stellen blau dargestellte Kreise dar die Imaginarteile darauf normal stehende grun eingezeichnete Kurven Im rechten Teilbild ist dazu der Reflexionsfaktor G abgebildet Arbeiten mit dem Smith Diagramm BearbeitenNormierung Alle Elemente werden normiert d h Impedanzen werden durch ihre charakteristische Impedanz Z 0 displaystyle Z 0 nbsp dividiert Admittanzen mit Z 0 displaystyle Z 0 nbsp multipliziert und anschliessend in das Smith Diagramm eingetragen In Serie geschaltete Impedanzen konnen direkt addiert werden Parallel geschaltete Impedanzen mussen zuerst auf Admittanz Form gebracht werden d h um den Mittelpunkt gespiegelt werden Alternativ konnen zwei Smith Diagramme ubereinander verwendet werden wobei ein Smith Diagramm um 180 gedreht ist Damit konnen Spiegelungen um den Mittelpunkt als Ubergang von einem Diagramm auf das andere realisiert werden Stichleitung Die Stichleitung ist in eine Ersatzimpedanz umzurechnen und je nach Anordnung wie eine serielle oder parallele Impedanz zu addieren Bewegung auf der Leitung Impedanz Diagramm oder Admittanz Diagramm um die entsprechende Leitungslange zum Generator im Uhrzeigersinn oder zur Last im Gegenuhrzeigersinn drehen SWR Das SWR erhalt man indem man den Punkt am gesuchten Ort im Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt auf die reelle Achse dreht und den entsprechenden Wert abliest Kurzschluss der Punkt ganz links im Diagramm Leerlauf der Punkt ganz rechts im Diagramm Beispiel BearbeitenEin ohmscher Widerstand R 150 W und ein Kondensator C 10 mF sind in Reihe geschaltet parallel dazu liegt eine Spule L 0 5 H Die Schaltung ist an einen Generator angeschlossen dessen Frequenz f 79 6 Hz betragt Die Kreisfrequenz ist dann w 2pf 500 s 1 Fur den komplexen Widerstand die Impedanz des Kondensators folgt X C 1 j w C j 1 w C 200 j W displaystyle X mathrm C frac 1 mathrm j omega C mathrm j frac 1 omega C 200 mathrm j Omega nbsp fur die Impedanz der Spule errechnet man X L j w L 250 j W displaystyle X mathrm L mathrm j omega L 250 mathrm j Omega nbsp Bei der Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator werden die Werte einfach addiert und ergeben X 1 150 W 200 j W displaystyle X 1 150 Omega 200 mathrm j Omega nbsp Um die Werte ins Smith Diagramm eintragen zu konnen in dem sich grosse Zahlen nicht mehr darstellen lassen normiert man mit einem geeigneten Bezugswiderstand z B Z0 100 W indem man alle Werte durch ihn dividiert Dann wird X 1 1 5 2 j displaystyle X 1 1 5 2 mathrm j nbsp Widerstand und Kondensator und X 2 2 5 j displaystyle X 2 2 5 mathrm j nbsp Spule nbsp Diese beiden Impedanzen sind parallel geschaltet Fur die Gesamtimpedanz X ist also 1 X 1 X 1 1 X 2 displaystyle frac 1 X frac 1 X 1 frac 1 X 2 nbsp Diese Kehrwerte werden im Smith Diagramm durch Spiegelung am Kreismittelpunkt gewonnen nbsp Sie betragen 1 X 1 0 24 0 32 j und 1 X 2 0 4 j displaystyle frac 1 X 1 0 24 0 32 mathrm j quad text und quad frac 1 X 2 0 4 mathrm j nbsp Die Addition der beiden Kehrwerte erfolgt rechnerisch oder im Smith Diagramm durch Abzahlen am Koordinatengitter nbsp Man erhalt 1 X 0 24 0 08 j displaystyle frac 1 X 0 24 0 08 mathrm j nbsp Um die Gesamtimpedanz X zu bestimmen ist davon wieder der Kehrwert zu bilden Man spiegelt also den soeben erhaltenen Punkt am Kreismittelpunkt wider nbsp Als Ergebnis findet man X 3 75 1 25 j displaystyle X 3 75 1 25 mathrm j nbsp Da man zuvor durch 100 W dividiert hat muss man nun wieder damit multiplizieren Endgultig betragt die Impedanz der Gesamtschaltung somit X 375 W 125 j W displaystyle X 375 mathrm Omega 125 mathrm j mathrm Omega nbsp Sie kann daher ersatzweise durch eine Reihenschaltung aus einem Widerstand von 375 W und einer Spule von 125j W dargestellt werden bei w 500 s 1 entspricht das einer Induktivitat von 0 25 H 3D Smith Diagramm Bearbeiten nbsp Darstellung eines 3D Smith DiagrammEs gibt auch verallgemeinerte dreidimensionale Smith Diagramme die aktive und passive Netzwerke gemeinsam auf die riemannsche Zahlenkugel projizieren 3 Literatur BearbeitenChris Bowik John Blyer Cheryl Ajluni RF Circuit Design 2 Auflage Newnes 2008 ISBN 978 0 7506 8518 4 Joachim Muller Smith Diagramm Einfuhrung und Praxisleitfaden beam Verlag Marburg 2009 ISBN 978 3 88976 155 2 P H Smith Electronic applications of the Smith chart McGraw Hill 1969 ISBN 978 0 07 058930 8 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Smith charts Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Smith Chart Tool zur Impedanzanpassung lauft im Browser Interaktives Tool zur wechselseitigen Abbildung zwischen Impedanz und Reflexionsfaktorebene In GeoGebra Abgerufen am 26 Dezember 2021 Smith Diagramm als PDF Druckvorlage A4 und US Letter Kurzanleitung zum Smith Diagramm PDF 226 KB Java Programm zur Darstellung von Smith Diagrammen Open Source lauffahig unter Linux MacOS und WindowsEinzelnachweise Bearbeiten P H Smith Transmission Line Calculator Electronics Vol 12 No 1 pp 29 31 January 1939 P H Smith An Improved Transmission Line Calculator Electronics Vol 17 No 1 pp 130 133 318 325 January 1944 Andrei Muller Pablo Soto D Dascalu D Neculoiu V E Boria A 3D Smith chart based on the Riemann sphere for Active and Passive Microwave Circuits Microwave and Wireless Components Letters OnlineNormdaten Sachbegriff GND 7715904 4 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Smith Diagramm amp oldid 235089700