www.wikidata.de-de.nina.az

Satz von Kurosch Ore Der englisch Kurosh Ore theorem oder Kuroš Ore theorem ist einer der klassischen Sätze des mathemat

Satz von Kurosch-Ore

Der Satz von Kurosch-Ore (englisch Kurosh-Ore theorem oder Kuroš-Ore theorem) ist einer der klassischen Sätze des mathematischen Gebiets der Verbandstheorie. Der Satz behandelt eine Fragestellung zu irreduziblen Darstellungen von Elementen modularer Verbände und geht auf zwei Publikationen zurück, die von dem sowjetischen Mathematiker Alexander Gennadjewitsch Kurosch (im Jahre 1935) und von dem norwegischen Mathematiker Øystein Ore (im Jahre 1936) vorgelegt wurden. Er ist verwandt mit dem aus der Linearen Algebra bekannten Austauschsatz von Steinitz und eng verbunden mit dem Isomorphiesatz für modulare Verbände, auf dem der Beweis des Kurosch-Ore'schen Satzes im Wesentlichen beruht.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

wobei die beteiligten Elemente und sämtlich -irreduzibel und beide Darstellungen -irredundant sind ,
so ist
und dabei gibt es zu jedem Index einen Index mit
In gleicher Weise gilt der zugehörige duale Satz.

Verwandte Sätze Bearbeiten

Zum Satz von Kurosch-Ore gibt es noch weitere Versionen. So wird etwa in der Monographie Lattices and Ordered Algebraic Structures von Thomas Scott Blyth der Satz in einer anderen, der obigen im Wesentlichen gleichwertigen Formulierung angeboten, die folgendes besagt:

Wie Blyth zeigt, lässt sich in dieser Version der Satz von Kurosch-Ore weiter verschärfen, wenn statt eines modularen sogar ein distributiver Verband zugrunde liegt:

Der letzte Satz tritt ebenfalls in der Monographie Einführung in die Verbandstheorie von Hans Hermes auf und wird dort vom Autor als Zerlegungssatz bezeichnet.

In seiner Monographie erwähnt Hermes den Satz von Kurosch-Ore zwar nicht, er formuliert jedoch dort im Zusammenhang mit dem Isomorphiesatz für modulare Verbände einen anderen Satz, der dem Kurosch-Ore'schen Satz ähnelt und den Hermes als Kettensatz bezeichnet. Dieser Kettensatz lässt sich folgendermaßen darstellen:

Der Kettensatz wird – nach Richard Dedekind – auch als dedekindscher Kettensatz bezeichnet und gilt in gleicher Weise noch in jedem (nach oben oder nach unten) semimodularen Verband.

Hermes greift beim Beweis des Kettensatzes wiederum auf ein anderes Resultat zurück, welches er als Folgerung aus dem erwähnten Isomorphiesatz gewinnt und das er als Nachbarsatz bezeichnet. Dieser Satz macht inhaltlich die Aussage, dass in einem modularen Verband und ebenso in dem zugehörigen dualen Verband für je zwei verschiedene Elemente stets das semimodulare Gesetz erfüllt ist.

Erläuterungen und Anmerkungen Bearbeiten

  • In einem Verband ist für ein Element eine Darstellung (englisch representation) eine Gleichung der Form oder der Form mit einer natürlichen Zahl . Die nennt man dabei die Komponenten der Darstellung. Die Zahl ist die Anzahl der Komponenten. Falls notwendig spricht man genauer von einer -Darstellung bzw. einer -Darstellung.
  • Man bezeichnet eine Darstellung bzw. als -redundant (englisch join-redundant) bzw. als -redundant (englisch meet-redundant) genau dann, wenn es einen Index gibt mit bzw. mit . Andernfalls bezeichnet man eine solche Darstellung als -irredundant (englisch join-irredundant) bzw. als -irredundant (englisch meet-irredundant). Ist der Kontext klar, so sagt man einfach redundant bzw. irredundant. Eine redundante Darstellung ist also in diesem Sinne verkürzbar, während eine irredundante Darstellung unverkürzbar ist.
  • Ein Element ist -irreduzibel bzw. vereinigungsirreduzibel (englisch join-irreducible) genau dann, wenn für aus stets oder folgt. Entsprechend ist ein Element -irreduzibel bzw. durchschnittsirreduzibel (englisch meet-irreducible) genau dann, wenn für aus stets oder folgt. Ist der Kontext klar, so sagt man einfach irreduzibel. Der obige verbandstheoretische Irreduzibilitätsbegriff entspricht dem Irreduzibilitätsbegriff der Ringtheorie.
  • Jeder Verband ist zugleich eine teilweise geordnete Menge , deren Ordnungsrelation man aus den beiden Verknüpfungen und erhält, wobei man diese ihrerseits zurückgewinnt durch die paarweise Bildung von Infimum und Supremum. Damit lassen sich in Verbänden alle Begriffe verwenden, die man aus der Ordnungstheorie kennt, und nicht zuletzt auch der Begriff der Kette. Hier sagt man dann, es seien zwei verschiedene Elemente und durch eine Kette verbunden, wenn bezüglich der induzierten Ordnungsrelation ein kleinstes und ein größtes Element besitzt und diese beiden mit und übereinstimmen.
  • Eine teilweise geordnete Menge erfüllt die absteigende Kettenbedingung (englisch descending chain condition), wenn jede Kette der Form nach endlich vielen Schritten stationär wird. Eine aus unendlich vielen verschiedenen Elementen bestehende Kette der Form ist dann also unmöglich. Der dazu duale Begriff ist der der aufsteigenden Kettenbedingung (englisch ascending chain condition).
  • Laut Lew Anatoljewitsch Skornjakow ist der Verband der Unterräume eines linearen Raums (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) das wichtigste Beispiel für einen modularen Verband, während (im Allgemeinen) der Verband aller Untergruppen eine Gruppe ... kein modularer Verband sei.
  • Helmuth Gericke stellt in seiner Theorie der Verbände den Normalteilerverband einer Gruppe (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) als wichtiges Beispiel eines modularen Verbandes heraus. Den Satz von Kurosch-Ore gibt er – ohne Kurosch und Ore zu erwähnen – unter der Überschrift Der Austauschsatz in modularen Verbänden wieder.

Literatur Bearbeiten

  • Garrett Birkhoff: Lattice Theory (= American Mathematical Society Colloquium Publications. Band XXV). 3. Auflage. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1967 (MR0227053).
  • T. S. Blyth: Lattices and Ordered Algebraic Structures (= Universitext). Springer-Verlag London, Ltd., London 2005 (MR2126425).
  • Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 73). Zweite erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1967 (MR0220634).
  • Helmuth Gericke: Theorie der Verbände (= Hochschultaschenbücher. 38/38a). 2. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967 (MR0219453).
  • George Grätzer: General Lattice Theory. New appendices by the author with B. A. Davey, R. Freese, B. Ganter, M. Greferath, P. Jipsen, H. A. Priestley, H. Rose, E. T. Schmidt, S. E. Schmidt, F. Wehrung and R. Wille. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin 1998, ISBN 3-7643-5239-6 (MR1670580).
  • A. G. Kuroš: Durchschnittsdarstellungen mit irreduziblen Komponenten in Ringen und sogenannten Dualgruppen. In: Mat. Sb. Band 42, 1935, S. 613–616.
  • Ralph N. McKenzie, George F. McNulty, Walter F. Taylor: Algebras, Lattices, Varieties. Volume I (= The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series). Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Monterey, California 1987, ISBN 0-534-07651-3 (MR0883644).
  • O. Ore: On the foundation of abstract algebra. II. In: Ann. of Math. (2). Band 37, 1936, S. 265–292 (MR1503277).
  • Egon Pracht: Algebra der Verbände (= Uni-Taschenbücher. Band 958). Ferdinand Schöningh, Paderborn, München, Wien, Zürich 1980, ISBN 3-506-99236-8 (MR0637885).
  • L. A. Skornjakow: Elemente der Verbandstheorie (= Wissenschaftliche Taschenbücher, Reihe Mathematik/Physik. Band 130). Akademie Verlag, Berlin 1973, ISBN 3-7643-5239-6.
  • Gábor Szász: Einführung in die Verbandstheorie. Akadémiai Kiadó, Budapest 1962 (MR0138567).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 1967, S. 75 ff., S. 166 ff.
  2. George Grätzer: General Lattice Theory. 1998, S. 212 ff.
  3. L. A. Skornjakow: Elemente der Verbandstheorie. 1973, S. 133 ff.
  4. ↑ Ralph N. McKenzie et al.: Algebras, Lattices, Varieties. Volume I. 1987, S. 60
  5. Gábor Szász: Einführung in die Verbandstheorie. 1962, S. 109 ff., S. 166 ff.
  6. Birkhoff, op. cit., S. 75–76, S. 166
  7. Grätzer, op. cit., S. 212–213
  8. Skornjakow, op. cit., S. 133–134
  9. Szász, op. cit., S. 111
  10. T. S. Blyth: Lattices and Ordered Algebraic Structures 2005, S. 60
  11. Blyth, op. cit., S. 69–70
  12. Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 1967, S. 113
  13. ↑ Hermes, op. cit., S. 70–73
  14. Egon Pracht: Algebra der Verbände. 1980, S. 106
  15. Helmuth Gericke: Theorie der Verbände. 1967, S. 68 ff.
  16. Hermes, op. cit., S. 70
  17. Skornjakow, op. cit., S. 114
  18. Gericke, op. cit., S. 78
  19. Gericke, op. cit., S. 143–146
  20. Gericke bezeichnet in diesem Zusammenhang den Steinitz'schen Austauschsatz als Austauschsatz von GRASSMANN und STEINITZ (op. cit., S. 144).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Kurosch Ore englisch Kurosh Ore theorem oder Kuros Ore theorem ist einer der klassischen Satze des mathematischen Gebiets der Verbandstheorie Der Satz behandelt eine Fragestellung zu irreduziblen Darstellungen von Elementen modularer Verbande und geht auf zwei Publikationen zuruck die von dem sowjetischen Mathematiker Alexander Gennadjewitsch Kurosch im Jahre 1935 und von dem norwegischen Mathematiker Oystein Ore im Jahre 1936 vorgelegt wurden Er ist verwandt mit dem aus der Linearen Algebra bekannten Austauschsatz von Steinitz und eng verbunden mit dem Isomorphiesatz fur modulare Verbande auf dem der Beweis des Kurosch Ore schen Satzes im Wesentlichen beruht 1 2 3 4 5 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Verwandte Satze 3 Erlauterungen und Anmerkungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich zusammengefasst angeben wie folgt 6 7 8 4 9 In einem modularen Verband besitzt jede unverkurzbare aus irreduzibelen Komponenten bestehende Darstellung eines Elements soweit uberhaupt vorhanden stets dieselbe Anzahl von Komponenten Im Einzelnen gilt Sind ein modularer Verband V displaystyle V vee wedge nbsp sowie zwei naturliche Zahlen n 1 displaystyle n geq 1 nbsp und m 1 displaystyle m geq 1 nbsp und Elemente v x 0 x n 1 y 0 y m 1 V displaystyle v x 0 dots x n 1 y 0 dots y m 1 in V nbsp gegeben und hat v displaystyle v nbsp die beiden Darstellungenv x 0 x n 1 y 0 y m 1 displaystyle v x 0 vee dots vee x n 1 y 0 vee dots vee y m 1 nbsp dd wobei die beteiligten Elemente x i displaystyle x i nbsp und y j displaystyle y j nbsp samtlich displaystyle vee nbsp irreduzibel und beide Darstellungen displaystyle vee nbsp irredundant sind so ist n m displaystyle n m nbsp und dabei gibt es zu jedem Index i 0 n 1 displaystyle i in 0 dots n 1 nbsp einen Index j i 0 m 1 displaystyle j i in 0 dots m 1 nbsp mitv x 0 x i 1 y j i x i 1 x n 1 displaystyle v x 0 vee dots vee x i 1 vee y j i vee x i 1 vee dots vee x n 1 nbsp dd In gleicher Weise gilt der zugehorige duale Satz Verwandte Satze BearbeitenIZum Satz von Kurosch Ore gibt es noch weitere Versionen So wird etwa in der Monographie Lattices and Ordered Algebraic Structures von Thomas Scott Blyth der Satz in einer anderen der obigen im Wesentlichen gleichwertigen Formulierung angeboten die folgendes besagt 10 In einem modularen Verband der die absteigende Kettenbedingung erfullt haben alle irredundanten aus displaystyle vee nbsp irreduzibelen Komponenten bestehenden displaystyle vee nbsp Darstellungen eines Elements dieselbe Anzahl von Komponenten Wie Blyth zeigt lasst sich in dieser Version der Satz von Kurosch Ore weiter verscharfen wenn statt eines modularen sogar ein distributiver Verband zugrunde liegt 11 In einem distributiven Verband mit absteigender Kettenbedingung besitzt jedes vom Nullelement verschiedene Verbandselement eine und nur eine irredundante aus displaystyle vee nbsp irreduzibelen Komponenten bestehenden displaystyle vee nbsp Darstellung Der letzte Satz tritt ebenfalls in der Monographie Einfuhrung in die Verbandstheorie von Hans Hermes auf und wird dort vom Autor als Zerlegungssatz bezeichnet 12 IIIn seiner Monographie erwahnt Hermes den Satz von Kurosch Ore zwar nicht er formuliert jedoch dort im Zusammenhang mit dem Isomorphiesatz fur modulare Verbande einen anderen Satz der dem Kurosch Ore schen Satz ahnelt und den Hermes als Kettensatz bezeichnet 13 Dieser Kettensatz lasst sich folgendermassen darstellen 13 14 Sind in dem modularen Verband V displaystyle V vee wedge nbsp zwei Elemente v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp durch eine endliche Kette K 0 V displaystyle K 0 subseteq V leq nbsp verbunden und ist K 0 displaystyle K 0 nbsp zugleich maximal in dem durch Inklusion geordneten Mengensystem aller v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp verbindenden Ketten so ist auch jede andere v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp verbindende Kette K displaystyle K nbsp endlich und erfullt dabei hinsichtlich ihrer Machtigkeit die Ungleichung K K 0 displaystyle K leq K 0 nbsp Der Kettensatz wird nach Richard Dedekind auch als dedekindscher Kettensatz bezeichnet und gilt in gleicher Weise noch in jedem nach oben oder nach unten semimodularen Verband 15 Hermes greift beim Beweis des Kettensatzes wiederum auf ein anderes Resultat zuruck welches er als Folgerung aus dem erwahnten Isomorphiesatz gewinnt und das er als Nachbarsatz bezeichnet 16 Dieser Satz macht inhaltlich die Aussage dass in einem modularen Verband V displaystyle V vee wedge nbsp und ebenso in dem zugehorigen dualen Verband V displaystyle V wedge vee nbsp fur je zwei verschiedene Elemente v w V displaystyle v w in V nbsp stets das semimodulare Gesetz erfullt ist Erlauterungen und Anmerkungen BearbeitenIn einem Verband V displaystyle V vee wedge nbsp ist fur ein Element v V displaystyle v in V nbsp eine Darstellung englisch representation eine Gleichung der Form v v 0 v n 1 displaystyle v v 0 vee dots vee v n 1 nbsp oder der Form v v 0 v n 1 displaystyle v v 0 wedge dots wedge v n 1 nbsp mit einer naturlichen Zahl n 0 displaystyle n geq 0 nbsp Die v i displaystyle v i nbsp nennt man dabei die Komponenten der Darstellung Die Zahl n 1 displaystyle n 1 nbsp ist die Anzahl der Komponenten Falls notwendig spricht man genauer von einer displaystyle vee nbsp Darstellung bzw einer displaystyle wedge nbsp Darstellung Man bezeichnet eine Darstellung v v 0 v n 1 displaystyle v v 0 vee dots vee v n 1 nbsp bzw v v 0 v n 1 displaystyle v v 0 wedge dots wedge v n 1 nbsp als displaystyle vee nbsp redundant englisch join redundant bzw als displaystyle wedge nbsp redundant englisch meet redundant genau dann wenn es einen Index i 0 n 1 displaystyle i in 0 dots n 1 nbsp gibt mit v v 0 v i 1 v i 1 v n 1 displaystyle v v 0 vee dots vee v i 1 vee v i 1 vee dots vee v n 1 nbsp bzw mit v v 0 v i 1 v i 1 v n 1 displaystyle v v 0 wedge dots wedge v i 1 wedge v i 1 wedge dots wedge v n 1 nbsp Andernfalls bezeichnet man eine solche Darstellung als displaystyle vee nbsp irredundant englisch join irredundant bzw als displaystyle wedge nbsp irredundant englisch meet irredundant Ist der Kontext klar so sagt man einfach redundant bzw irredundant Eine redundante Darstellung ist also in diesem Sinne verkurzbar wahrend eine irredundante Darstellung unverkurzbar ist Ein Element v V displaystyle v in V nbsp ist displaystyle vee nbsp irreduzibel bzw vereinigungsirreduzibel englisch join irreducible genau dann wenn fur v 1 v 2 V displaystyle v 1 v 2 in V nbsp aus v v 1 v 2 displaystyle v v 1 vee v 2 nbsp stets v v 1 displaystyle v v 1 nbsp oder v v 2 displaystyle v v 2 nbsp folgt Entsprechend ist ein Element v V displaystyle v in V nbsp displaystyle wedge nbsp irreduzibel bzw durchschnittsirreduzibel englisch meet irreducible genau dann wenn fur v 1 v 2 V displaystyle v 1 v 2 in V nbsp aus v v 1 v 2 displaystyle v v 1 wedge v 2 nbsp stets v v 1 displaystyle v v 1 nbsp oder v v 2 displaystyle v v 2 nbsp folgt Ist der Kontext klar so sagt man einfach irreduzibel Der obige verbandstheoretische Irreduzibilitatsbegriff entspricht dem Irreduzibilitatsbegriff der Ringtheorie Jeder Verband V displaystyle V vee wedge nbsp ist zugleich eine teilweise geordnete Menge V displaystyle V leq nbsp deren Ordnungsrelation man aus den beiden Verknupfungen displaystyle vee nbsp und displaystyle wedge nbsp erhalt wobei man diese ihrerseits zuruckgewinnt durch die paarweise Bildung von Infimum und Supremum Damit lassen sich in Verbanden alle Begriffe verwenden die man aus der Ordnungstheorie kennt und nicht zuletzt auch der Begriff der Kette Hier sagt man dann es seien zwei verschiedene Elemente v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp durch eine Kette K displaystyle K nbsp verbunden wenn K displaystyle K nbsp bezuglich der induzierten Ordnungsrelation K displaystyle leq K nbsp ein kleinstes und ein grosstes Element besitzt und diese beiden mit v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp ubereinstimmen Eine teilweise geordnete Menge V displaystyle V leq nbsp erfullt die absteigende Kettenbedingung englisch descending chain condition wenn jede Kette der Form v 1 v 2 v n displaystyle v 1 geq v 2 geq dots geq v n geq dots nbsp nach endlich vielen Schritten stationar wird Eine aus unendlich vielen verschiedenen Elementen bestehende Kette der Form v 1 gt v 2 gt gt v n gt displaystyle v 1 gt v 2 gt dots gt v n gt dots nbsp ist dann also unmoglich Der dazu duale Begriff ist der der aufsteigenden Kettenbedingung englisch ascending chain condition Laut Lew Anatoljewitsch Skornjakow ist der Verband der Unterraume eines linearen Raums mit der Inklusion als Ordnungsrelation das wichtigste Beispiel fur einen modularen Verband wahrend im Allgemeinen der Verband aller Untergruppen eine Gruppe kein modularer Verband sei 17 Helmuth Gericke stellt in seiner Theorie der Verbande den Normalteilerverband einer Gruppe mit der Inklusion als Ordnungsrelation als wichtiges Beispiel eines modularen Verbandes heraus 18 Den Satz von Kurosch Ore gibt er ohne Kurosch und Ore zu erwahnen unter der Uberschrift Der Austauschsatz in modularen Verbanden wieder 19 20 Literatur BearbeitenGarrett Birkhoff Lattice Theory American Mathematical Society Colloquium Publications Band XXV 3 Auflage American Mathematical Society Providence R I 1967 MR0227053 T S Blyth Lattices and Ordered Algebraic Structures Universitext Springer Verlag London Ltd London 2005 MR2126425 Hans Hermes Einfuhrung in die Verbandstheorie Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 73 Zweite erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1967 MR0220634 Helmuth Gericke Theorie der Verbande Hochschultaschenbucher 38 38a 2 Auflage Bibliographisches Institut Mannheim 1967 MR0219453 George Gratzer General Lattice Theory New appendices by the author with B A Davey R Freese B Ganter M Greferath P Jipsen H A Priestley H Rose E T Schmidt S E Schmidt F Wehrung and R Wille 2 Auflage Birkhauser Verlag Basel Boston Berlin 1998 ISBN 3 7643 5239 6 MR1670580 A G Kuros Durchschnittsdarstellungen mit irreduziblen Komponenten in Ringen und sogenannten Dualgruppen In Mat Sb Band 42 1935 S 613 616 Ralph N McKenzie George F McNulty Walter F Taylor Algebras Lattices Varieties Volume I The Wadsworth amp Brooks Cole Mathematics Series Wadsworth amp Brooks Cole Advanced Books amp Software Monterey California 1987 ISBN 0 534 07651 3 MR0883644 O Ore On the foundation of abstract algebra II In Ann of Math 2 Band 37 1936 S 265 292 MR1503277 Egon Pracht Algebra der Verbande Uni Taschenbucher Band 958 Ferdinand Schoningh Paderborn Munchen Wien Zurich 1980 ISBN 3 506 99236 8 MR0637885 L A Skornjakow Elemente der Verbandstheorie Wissenschaftliche Taschenbucher Reihe Mathematik Physik Band 130 Akademie Verlag Berlin 1973 ISBN 3 7643 5239 6 Gabor Szasz Einfuhrung in die Verbandstheorie Akademiai Kiado Budapest 1962 MR0138567 Einzelnachweise Bearbeiten Garrett Birkhoff Lattice Theory 1967 S 75 ff S 166 ff George Gratzer General Lattice Theory 1998 S 212 ff L A Skornjakow Elemente der Verbandstheorie 1973 S 133 ff a b Ralph N McKenzie et al Algebras Lattices Varieties Volume I 1987 S 60 Gabor Szasz Einfuhrung in die Verbandstheorie 1962 S 109 ff S 166 ff Birkhoff op cit S 75 76 S 166 Gratzer op cit S 212 213 Skornjakow op cit S 133 134 Szasz op cit S 111 T S Blyth Lattices and Ordered Algebraic Structures 2005 S 60 Blyth op cit S 69 70 Hans Hermes Einfuhrung in die Verbandstheorie 1967 S 113 a b Hermes op cit S 70 73 Egon Pracht Algebra der Verbande 1980 S 106 Helmuth Gericke Theorie der Verbande 1967 S 68 ff Hermes op cit S 70 Skornjakow op cit S 114 Gericke op cit S 78 Gericke op cit S 143 146 Gericke bezeichnet in diesem Zusammenhang den Steinitz schen Austauschsatz als Austauschsatz von GRASSMANN und STEINITZ op cit S 144 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Kurosch Ore amp oldid 210547472