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Distributiver Verband Ein distributiver Verband ist eine spezielle Struktur der Mathematik Gegenüber allgemeinen Verbänd

Distributiver Verband

Ein distributiver Verband ist eine spezielle Struktur der Mathematik. Gegenüber allgemeinen Verbänden, in denen für die beiden (zweistelligen) Operationen und nur die Assoziativgesetze, die Kommutativgesetze und die Absorptionsgesetze gefordert werden, gelten in einem distributiven Verband noch zusätzlich Distributivgesetze für beide Richtungen.

Die Gültigkeit der Distributivgesetze macht Verbände interessanter. Sie lassen sich einfacher untersuchen, da auftretende Terme sich leichter umformen lassen und es in gewissem Sinne einfache Darstellungen gibt. Dabei treten distributive Verbände sehr häufig auf, auch in Bereichen außerhalb der Mathematik. Boolesche Algebren sind spezielle distributive Verbände.

Präzisierung Bearbeiten

Im Folgenden meinen wir mit dem Verband V stets den Verband .

Ein Verband heißt distributiver Verband, wenn für alle gilt:

  • .

Man kann jede der beiden Aussagen aus der anderen mit Hilfe der Verbandsaxiome ableiten. Daher genügt es, die Gültigkeit eines dieser beiden Distributivgesetze zu fordern.

Jeder distributive Verband ist modular, aber nicht umgekehrt.

Ein modularer Verband, der nicht distributiv ist, enthält immer den Verband , den Verband der Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe, als Unterverband. Dies ergibt das Kriterium:

  • Hat ein Verband weder einen Unterverband der Form noch einen der Form , dann ist er distributiv.

Beispiele Bearbeiten

Distributive Verbände kann man in vielen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik finden. Distributive Verbände sind:

Beispiele für distributive Verbände
Verband der Teilmengen von durch Teilmengenrelation geordnet
Verband der Teiler von 60, mit ggT und kgV
mit der Produkt-Ordnung
nicht-distributive Verbände
, der minimale nicht-modulare Verband
, der minimale modulare, nicht-distributive Verband: , aber

Kürzungsregel Bearbeiten

In einem distributiven Verband gilt die Kürzungsregel: Gelten für die beiden Gleichungen

  • aus und folgt .

Das Beispiel zeigt, dass diese Regel in beliebigen Verbänden nicht gilt. Sie ist in dem folgenden Sinn typisch für distributive Verbände:

  • Ist die Kürzungsregel für beliebige Wahl von in einem Verband V gültig, dann ist distributiv.

Komplemente in distributiven Verbänden Bearbeiten

Für ein gegebenes Element a eines beschränkten Verbandes nennt man ein Element b mit der Eigenschaft

  • und

ein Komplement von a.

Während es im Allgemeinen zu einem Element mehrere komplementäre Elemente geben kann, gilt:

  • wenn in einem distributiven Verband ein Komplement von a existiert, dann ist es eindeutig bestimmt.

Man bezeichnet ein eindeutig bestimmtes Komplement von mit oder (vor allem bei Anwendungen in der Logik) oder .

Ein distributiver Verband, in dem jedes Element ein (eindeutig bestimmtes) Komplement hat, heißt Boolesche Algebra.

Auch in einem nicht-distributiven Verband kann jedes Element genau ein Komplement haben. Damit man die Distributivität folgern kann, muss man mehr fordern:

  • Ein Verband ist distributiv, wenn jedes Element in jedem Intervall höchstens ein relatives Komplement besitzt.

Ist V ein distributiver Verband und haben Komplemente, dann haben auch und Komplemente und es gilt

  • und

Dies ist eine andere Formulierung der de Morganschen Regeln.

Repräsentationssatz für distributive Verbände Bearbeiten

, der Verband der Teiler von 60 (geordnet durch Teilbarkeit) und die Repräsentation durch den Mengenverband der (irreduziblen) Primzahlpotenz-Elemente

Distributive Verbände sind auch anders zu charakterisieren, denn Birkhoff (1933) und Stone (1936) haben gezeigt:

  • Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn er isomorph zu einem Mengen-Ring ist.

Hieraus folgt natürlich, dass sich jeder distributive Verband in eine Boolesche Algebra einbetten lässt.

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Jeder Unterverband eines distributiven Verbandes ist distributiv, dagegen sind Teilverbände nicht immer distributiv.

Das homomorphe Bild eines distributiven Verbandes ist distributiv.

Das direkte Produkt beliebig vieler distributiver Verbände ist distributiv.

Vollständige Distributivität Bearbeiten

vollständiger distributiver Verband, der -volldistributiv, aber nicht volldistributiv ist. Es gilt , aber

Ein Verband heißt -volldistributiv, wenn für jede Wahl von und jede Teilmenge gilt

-Volldistributivität wird dual definiert.

Der Begriff Volldistributivität ohne Zusatz wird unterschiedlich verwendet:

  • Es kann bedeuten, dass eine von diesen beiden Bedingungen erfüllt ist und im anderen Fall spricht man von dual-volldistributiv oder verwendet explizit die obige Bezeichnung.
  • Es kann bedeuten, dass beide Bedingungen erfüllt sind.
  • Es kann bedeuten, dass das folgende unendliche Distributivgesetz und die dazu duale Form gilt

Für alle drei Begriffe gilt:

Jeder volldistributive Verband ist distributiv und jeder endliche distributive Verband ist volldistributiv.

Ein vollständiger distributiver Verband braucht nicht volldistributiv sein, wie das Beispiel zeigt.

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Der Beweis ist eine Gleichungsumformung. Wir nehmen an, dass D2 gilt, und wollen D1 zeigen:
    ; Anwendung des zweiten Axioms:
    ; nach Absoptionsgesetz:
    ; Anwendung des zweiten Axioms in Klammer:
    ; nach Assoziativgesetz:
    ; die linke Seite entspricht nach dem Absorptionsgesetz :
    .
    Die Gegenrichtung folgt dual.
  2. Der Beweis (mit mehreren Zwischenschritten) findet sich z. B. in: H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 111
  3. Auch dies wird mit einer einfachen Folge von Gleichungen bewiesen, in der das Absorptionsgesetz, das Distributivgesetz und die Voraussetzungen verwendet werden: ; nach H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114
  4. Die Beweisidee ist, dass in und jeweils die Kürzungsregel nicht gilt. Vgl. H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 113f
  5. Dies folgt unmittelbar aus der Kürzungsregel
  6. G.Grätzer, Lattice Theory, 1971, S. 75
  7. So z. B. H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114
  8. Diese Form wurde aus G. Grätzer, Lattice Theory, p 118, Exercise 7 übernommen.
  9. H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 114 f.
  10. Der Verband ohne die 1 ist als Produkt von distributiv. Dass der ganze Verband vollständig und distributiv ist, sieht man leicht. Das Beispiel findet sich (mit etwas anderem Hasse-Diagramm) in H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 115

Literatur Bearbeiten

  • Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. AMS, Providence, RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
  • George Grätzer: General Lattice Theory. 2. Auflage. Birkhäuser, 1998, ISBN 978-0-8176-5239-5.
  • Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1967.
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Ein distributiver Verband ist eine spezielle Struktur der Mathematik Gegenuber allgemeinen Verbanden in denen fur die beiden zweistelligen Operationen displaystyle vee und displaystyle wedge nur die Assoziativgesetze die Kommutativgesetze und die Absorptionsgesetze gefordert werden gelten in einem distributiven Verband noch zusatzlich Distributivgesetze fur beide Richtungen Die Gultigkeit der Distributivgesetze macht Verbande interessanter Sie lassen sich einfacher untersuchen da auftretende Terme sich leichter umformen lassen und es in gewissem Sinne einfache Darstellungen gibt Dabei treten distributive Verbande sehr haufig auf auch in Bereichen ausserhalb der Mathematik Boolesche Algebren sind spezielle distributive Verbande Inhaltsverzeichnis 1 Prazisierung 2 Beispiele 3 Kurzungsregel 4 Komplemente in distributiven Verbanden 5 Reprasentationssatz fur distributive Verbande 6 Weitere Eigenschaften 7 Vollstandige Distributivitat 8 Einzelnachweise und Anmerkungen 9 LiteraturPrazisierung BearbeitenIm Folgenden meinen wir mit dem Verband V stets den Verband V displaystyle left V vee wedge right nbsp Ein Verband V displaystyle V nbsp heisst distributiver Verband wenn fur alle a b c V displaystyle a b c in V nbsp gilt a b c a b a c displaystyle a vee b wedge c a vee b wedge a vee c nbsp a b c a b a c displaystyle a wedge b vee c a wedge b vee a wedge c nbsp Man kann jede der beiden Aussagen aus der anderen mit Hilfe der Verbandsaxiome ableiten 1 Daher genugt es die Gultigkeit eines dieser beiden Distributivgesetze zu fordern Jeder distributive Verband ist modular aber nicht umgekehrt Ein modularer Verband der nicht distributiv ist enthalt immer den Verband M 3 displaystyle M 3 nbsp den Verband der Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe als Unterverband 2 Dies ergibt das Kriterium Hat ein Verband weder einen Unterverband der Form N 5 displaystyle N 5 nbsp noch einen der Form M 3 displaystyle M 3 nbsp dann ist er distributiv Beispiele BearbeitenDistributive Verbande kann man in vielen Gebieten innerhalb und ausserhalb der Mathematik finden Distributive Verbande sind jede total geordnete Menge fur jede naturliche Zahl n displaystyle n nbsp die Menge T n displaystyle T n nbsp ihrer Teiler mit der Teilbarkeit als Ordnungsrelation also ggT und kgV als Verknupfungen jeder Mengenverband mit displaystyle cap nbsp und displaystyle cup nbsp jede Boolesche Algebra die offenen Mengen eines topologischen Raumes mit displaystyle subseteq nbsp als OrdnungBeispiele fur distributive Verbande nbsp Verband der Teilmengen von x y z displaystyle x y z nbsp durch Teilmengenrelation geordnet nbsp Verband der Teiler von 60 mit ggT und kgV nbsp N 0 N 0 displaystyle mathbb N 0 times mathbb N 0 nbsp mit der Produkt Ordnung nicht distributive Verbande nbsp N 5 displaystyle N 5 nbsp der minimale nicht modulare Verband nbsp M 3 displaystyle M 3 nbsp der minimale modulare nicht distributive Verband a b c a displaystyle a wedge b vee c a nbsp aber a b a c 0 displaystyle a wedge b vee a wedge c 0 nbsp Kurzungsregel BearbeitenIn einem distributiven Verband gilt die Kurzungsregel Gelten fur a b c V displaystyle a b c in V nbsp die beiden Gleichungen aus a b a c displaystyle a wedge b a wedge c nbsp und a b a c displaystyle a vee b a vee c nbsp folgt b c displaystyle b c nbsp 3 Das Beispiel M 3 displaystyle M 3 nbsp zeigt dass diese Regel in beliebigen Verbanden nicht gilt Sie ist in dem folgenden Sinn typisch fur distributive Verbande Ist die Kurzungsregel fur beliebige Wahl von a b c displaystyle a b c nbsp in einem Verband V gultig dann ist V displaystyle V nbsp distributiv 4 Komplemente in distributiven Verbanden Bearbeiten Hauptartikel Komplement Verbandstheorie Fur ein gegebenes Element a eines beschrankten Verbandes nennt man ein Element b mit der Eigenschaft a b 0 displaystyle a wedge b 0 nbsp und a b 1 displaystyle a vee b 1 nbsp ein Komplement von a Wahrend es im Allgemeinen zu einem Element mehrere komplementare Elemente geben kann gilt wenn in einem distributiven Verband ein Komplement von a existiert dann ist es eindeutig bestimmt 5 Man bezeichnet ein eindeutig bestimmtes Komplement von a displaystyle a nbsp mit a c displaystyle a c nbsp oder a displaystyle neg a nbsp vor allem bei Anwendungen in der Logik oder a displaystyle overline a nbsp Ein distributiver Verband in dem jedes Element a displaystyle a nbsp ein eindeutig bestimmtes Komplement a displaystyle neg a nbsp hat heisst Boolesche Algebra Siehe auch Boolesche Algebra Auch in einem nicht distributiven Verband kann jedes Element genau ein Komplement haben Damit man die Distributivitat folgern kann muss man mehr fordern Ein Verband V displaystyle V nbsp ist distributiv wenn jedes Element in jedem Intervall hochstens ein relatives Komplement besitzt Ist V ein distributiver Verband und haben a b V displaystyle a b in V nbsp Komplemente dann haben auch a b displaystyle a wedge b nbsp und a b displaystyle a vee b nbsp Komplemente und es gilt a b c a c b c displaystyle a wedge b c a c vee b c nbsp und a b c a c b c displaystyle a vee b c a c wedge b c nbsp Dies ist eine andere Formulierung der de Morganschen Regeln Reprasentationssatz fur distributive Verbande Bearbeiten nbsp T 60 displaystyle T 60 nbsp der Verband der Teiler von 60 geordnet durch Teilbarkeit und die Reprasentation durch den Mengenverband der irreduziblen Primzahlpotenz ElementeDistributive Verbande sind auch anders zu charakterisieren denn Birkhoff 1933 und Stone 1936 haben gezeigt Ein Verband ist genau dann distributiv wenn er isomorph zu einem Mengen Ring ist 6 Hieraus folgt naturlich dass sich jeder distributive Verband in eine Boolesche Algebra einbetten lasst Weitere Eigenschaften BearbeitenJeder Unterverband eines distributiven Verbandes ist distributiv dagegen sind Teilverbande nicht immer distributiv Das homomorphe Bild eines distributiven Verbandes ist distributiv Das direkte Produkt beliebig vieler distributiver Verbande ist distributiv Vollstandige Distributivitat Bearbeiten nbsp vollstandiger distributiver Verband der displaystyle wedge nbsp volldistributiv aber nicht volldistributiv ist Es gilt i N B A i A 5 displaystyle bigvee i in mathbb N left B wedge A i right A 5 nbsp aber B i N A B displaystyle B wedge bigvee i in mathbb N A B nbsp Ein Verband heisst displaystyle wedge nbsp volldistributiv wenn fur jede Wahl von a V displaystyle a in V nbsp und jede Teilmenge M V displaystyle M subseteq V nbsp gilt a x M x x M a x displaystyle a wedge bigvee x in M x bigvee x in M a wedge x nbsp displaystyle vee nbsp Volldistributivitat wird dual definiert Der Begriff Volldistributivitat ohne Zusatz wird unterschiedlich verwendet Es kann bedeuten dass eine von diesen beiden Bedingungen erfullt ist und im anderen Fall spricht man von dual volldistributiv oder verwendet explizit die obige Bezeichnung 7 Es kann bedeuten dass beide Bedingungen erfullt sind Es kann bedeuten dass das folgende unendliche Distributivgesetz und die dazu duale Form giltFur alle I J V displaystyle emptyset neq I J subseteq V nbsp gilt a i j j J i I a i f i i I f I J displaystyle bigwedge left bigvee left a ij j in J right i in I right bigvee left bigwedge left a i varphi i i in I right varphi colon I to J right nbsp 8 dd Fur alle drei Begriffe gilt Jeder volldistributive Verband ist distributiv und jeder endliche distributive Verband ist volldistributiv 9 Ein vollstandiger distributiver Verband braucht nicht volldistributiv sein wie das Beispiel zeigt 10 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Der Beweis ist eine Gleichungsumformung Wir nehmen an dass D2 gilt und wollen D1 zeigen a b a c displaystyle a vee b wedge a vee c nbsp Anwendung des zweiten Axioms a b a a b c displaystyle a vee b wedge a vee a vee b wedge c nbsp nach Absoptionsgesetz a a b c displaystyle a vee a vee b wedge c nbsp Anwendung des zweiten Axioms in Klammer a a c b c displaystyle a vee a wedge c vee b wedge c nbsp nach Assoziativgesetz a a c b c displaystyle a vee a wedge c vee b wedge c nbsp die linke Seite entspricht nach dem Absorptionsgesetz a displaystyle a nbsp a b c displaystyle a vee b wedge c nbsp Die Gegenrichtung folgt dual Der Beweis mit mehreren Zwischenschritten findet sich z B in H Gericke Theorie der Verbande Mannheim 1967 S 111 Auch dies wird mit einer einfachen Folge von Gleichungen bewiesen in der das Absorptionsgesetz das Distributivgesetz und die Voraussetzungen verwendet werden b b a b b a c b a b c displaystyle b b vee a wedge b b vee a wedge c b vee a wedge b vee c nbsp a c b c displaystyle a vee c wedge b vee c nbsp a b c a c a c displaystyle a wedge b vee c a wedge c vee a c nbsp nach H Gericke Theorie der Verbande 1967 S 114 Die Beweisidee ist dass in N 5 displaystyle N 5 nbsp und M 3 displaystyle M 3 nbsp jeweils die Kurzungsregel nicht gilt Vgl H Gericke Theorie der Verbande 1967 S 113f Dies folgt unmittelbar aus der Kurzungsregel G Gratzer Lattice Theory 1971 S 75 So z B H Gericke Theorie der Verbande 1967 S 114 Diese Form wurde aus G Gratzer Lattice Theory p 118 Exercise 7 ubernommen H Gericke Theorie der Verbande Mannheim 1967 S 114 f Der Verband ohne die 1 ist als Produkt von N 0 1 displaystyle mathbb N times 0 1 nbsp distributiv Dass der ganze Verband vollstandig und distributiv ist sieht man leicht Das Beispiel findet sich mit etwas anderem Hasse Diagramm in H Gericke Theorie der Verbande Mannheim 1967 S 115Literatur BearbeitenGarrett Birkhoff Lattice Theory 3 Auflage AMS Providence RI 1973 ISBN 0 8218 1025 1 Marcel Erne Einfuhrung in die Ordnungstheorie Bibliographisches Institut Mannheim 1982 ISBN 3 411 01638 8 George Gratzer General Lattice Theory 2 Auflage Birkhauser 1998 ISBN 978 0 8176 5239 5 Hans Hermes Einfuhrung in die Verbandstheorie 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 1967 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Distributiver Verband amp oldid 183134609