Der Satz von Kato Rellich ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Funktionalanalysis Benannt wurde er nach dem japanischen Mathematiker Tosio Kato und dem deutschen Mathematiker Franz Rellich Inhaltsverzeichnis 1 Notation und Terminologie 2 Formulierung des Satzes 3 Beweis des Satzes 4 Anwendungen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseNotation und Terminologie BearbeitenIm Folgenden bezeichne H displaystyle H nbsp einen komplexen Hilbertraum mit Skalarprodukt displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp und zugehoriger Norm displaystyle Vert cdot Vert sqrt langle cdot cdot rangle nbsp Ein dicht definierter linearer Operator ist eine lineare Abbildung A D A H displaystyle A colon mathcal D A to H nbsp wobei D A H displaystyle mathcal D A subset H nbsp einen dichten Untervektorraum von H displaystyle H nbsp bezeichne Derartige Operatoren konnen beschrankt oder unbeschrankt sein daruber wird hier keine Annahme getroffen Man bezeichnet einen dicht definierten linearen Operator A D A H displaystyle A colon mathcal D A to H nbsp als symmetrisch falls Ax y x Ay displaystyle langle Ax y rangle langle x Ay rangle nbsp fur alle x y D A displaystyle x y in mathcal D A nbsp gilt Zu einem dicht definierten linearen Operator A D A H displaystyle A colon mathcal D A to H nbsp lasst sich der adjungierte Operator wie folgt definieren Man definiert den Raum D A H displaystyle mathcal D A ast subset H nbsp als die Menge aller x D A displaystyle x in mathcal D A nbsp fur die gilt dass das lineare Funktional Lx D A H displaystyle L x mathcal D A to H nbsp welches durch Lx y x Ay displaystyle L x y langle x Ay rangle nbsp fur y D A displaystyle y in mathcal D A nbsp definiert ist stetig ist Da der Definitionsbereich D A displaystyle mathcal D A nbsp dicht definiert ist besitzt dieses Funktional eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf H displaystyle H nbsp Daher existiert nach dem Darstellungssatz von Frechet Riesz ein eindeutig bestimmtes Element z H displaystyle z in H nbsp mit der Eigenschaft Lx y z y displaystyle L x y langle z y rangle nbsp Man setzt nun A x z displaystyle A ast x z nbsp und erhalt dadurch einen Operator A D A H displaystyle A ast mathcal D A ast to H nbsp mit der Eigenschaft A x y x Ay displaystyle langle A ast x y rangle langle x Ay rangle nbsp fur alle x D A displaystyle x in mathcal D A ast nbsp und alle y D A displaystyle y in mathcal D A nbsp Man nennt einen dicht definierten linearen A D A H displaystyle A mathcal D A to H nbsp selbstadjungiert falls D A D A displaystyle mathcal D A ast mathcal D A nbsp und A displaystyle A nbsp symmetrisch ist Formulierung des Satzes BearbeitenUm den Satz zu formulieren wird der Begriff eines relativ beschrankten Operators benotigt Seien A D A H displaystyle A colon mathcal D A to H nbsp und B D B H displaystyle B colon mathcal D B to H nbsp zwei dicht definierte lineare Operatoren Man bezeichnet B displaystyle B nbsp als relativ beschrankt bezuglich A displaystyle A nbsp oder kurz A displaystyle A nbsp beschrankt falls D A D B displaystyle mathcal D A subset mathcal D B nbsp gilt und zwei positive reelle Zahlen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp existieren so dass die folgende Ungleichung fur alle x D A displaystyle x in mathcal D A nbsp erfullt ist Bx a Ax b x displaystyle Vert Bx Vert leq a Vert Ax Vert b Vert x Vert nbsp Das Infimum aller Zahlen a displaystyle a nbsp fur die ein b displaystyle b nbsp existiert sodass die obige Ungleichung fur alle x D A displaystyle x in mathcal D A nbsp erfullt ist wird als relative Schranke von B displaystyle B nbsp bezuglich A displaystyle A nbsp bezeichnet Satz von Kato Rellich Es sei A D A H displaystyle A colon mathcal D A to H nbsp ein selbstadjungierter Operator und B D B H displaystyle B colon mathcal D B to H nbsp ein symmetrischer Operator Ist der Operator B displaystyle B nbsp relativ beschrankt bezuglich A displaystyle A nbsp mit einer relativen Schranke lt 1 displaystyle lt 1 nbsp dann ist der Operator A B D A H displaystyle A B colon mathcal D A to H nbsp selbstadjungiert Beweis des Satzes BearbeitenDer Operator A B D A H displaystyle A B colon mathcal D A to H nbsp ist offensichtlich wohldefiniert da D A D B displaystyle mathcal D A subset mathcal D B nbsp Des Weiteren ist er nach Voraussetzung symmetrisch Ein symmetrischer Operator T D T H displaystyle T colon mathcal D T to H nbsp ist genau dann selbstadjungiert wenn ein m gt 0 displaystyle mu gt 0 nbsp existiert sodass Bild T im H displaystyle mathrm Bild T pm i mu H nbsp wobei Bild T displaystyle mathrm Bild T nbsp das Bild von T displaystyle T nbsp bezeichnet 1 Daher reicht es zu zeigen dass ein m gt 0 displaystyle mu gt 0 nbsp existiert sodass Bild A B im H displaystyle mathrm Bild A B pm i mu H nbsp gilt Sei m R displaystyle mu in mathbb R nbsp Die Beweisidee des Satzes von Kato Rellich ist nun den Operator A B im displaystyle A B i mu nbsp als A B im 1 B A im 1 A im displaystyle A B i mu 1 B A i mu 1 A i mu nbsp zu schreiben Das ist moglich da nach Voraussetzung A D A H displaystyle A colon mathcal D A to H nbsp selbstadjungiert ist und daher A im 1 displaystyle A i mu 1 nbsp existiert Da weiters Bild A im H displaystyle mathrm Bild A i mu H nbsp genugt es zu zeigen dass 1 B A im 1 displaystyle 1 B A i mu 1 nbsp einen beschrankten inversen Operator hat Nach Voraussetzung gilt fur alle x H displaystyle x in H nbsp die Ungleichung B A im 1x a A A im 1x b A im 1x displaystyle Vert B A i mu 1 x Vert leq a Vert A A i mu 1 x Vert b Vert A i mu 1 x Vert nbsp Des Weiteren gilt fur alle y D A displaystyle y in mathcal D A nbsp die Gleichheit A im y 2 Ay 2 m2 y 2 displaystyle Vert A i mu y Vert 2 Vert Ay Vert 2 mu 2 Vert y Vert 2 nbsp und daher mit y A im 1x displaystyle y A i mu 1 x nbsp A A im 1x x displaystyle Vert A A i mu 1 x Vert leq Vert x Vert nbsp und A im 1x 1 m x displaystyle Vert A i mu 1 x Vert leq frac 1 vert mu vert Vert x Vert nbsp Kombiniert man die soeben genannten Ungleichungen findet man dass fur alle x H displaystyle x in H nbsp die Abschatzung B A im 1x a b m x displaystyle Vert B A i mu 1 x Vert leq bigg a frac b vert mu vert bigg Vert x Vert nbsp gilt Da a lt 1 displaystyle a lt 1 nbsp ist es moglich m displaystyle mu nbsp gross genug zu wahlen sodass a b m lt 1 displaystyle bigg a frac b vert mu vert bigg lt 1 nbsp gilt womit die Ungleichung B A im 1x lt 1 displaystyle Vert B A i mu 1 x Vert lt 1 nbsp fur alle x H displaystyle x in H nbsp gezeigt ist Es folgt dass 1 B A im 1 displaystyle 1 B A i mu 1 nbsp invertierbar ist mit einem beschrankten inversen Operator siehe Neumann Reihe Damit ist Bild A B im H displaystyle mathrm Bild A B i mu H nbsp gezeigt Anwendungen BearbeitenAnwendung findet der Satz von Kato Rellich zum Beispiel in der Quantenmechanik Sei V V1 V2 displaystyle V V 1 V 2 nbsp mit V1 L2 R3 displaystyle V 1 in L 2 mathbb R 3 nbsp und V2 L R3 displaystyle V 2 in L infty mathbb R 3 nbsp Dann lasst sich mithilfe des Satzes von Kato Rellich zeigen dass der Hamiltonoperator H D V displaystyle H Delta V nbsp mit dem Laplace Operator D displaystyle Delta nbsp selbstadjungiert ist wenn man als Definitionsbereich den Sobolev Raum H2 R3 displaystyle H 2 mathbb R 3 nbsp wahlt Literatur BearbeitenLeon Armenovich Takhtadzhi an Quantum Mechanics for Mathematicians Graduate Studies in Mathematics Volume 95 American Mathematical Soc Providence Rhode Island 2008 Gerald Teschl Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrodinger Operators Graduate Studies in Mathematics Volume 99 American Mathematical Soc Providence Rhode Island 2009 Einzelnachweise Bearbeiten Dirk Werner Funktionalanalysis 7 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2011 S 349 Satz VII 2 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Kato Rellich amp oldid 207807041
