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Riemannsche Normalkoordinaten nach Bernhard Riemann auch Normalkoordinaten oder Exponentialkoordinaten bilden ein besond

Riemannsche Normalkoordinaten

Riemannsche Normalkoordinaten (nach Bernhard Riemann; auch Normalkoordinaten oder Exponentialkoordinaten) bilden ein besonderes Koordinatensystem, welches in der Differentialgeometrie betrachtet wird. Hier wird der Tangentialraum an als lokale Karte der Mannigfaltigkeit in einer Umgebung von verwendet. Solche Koordinaten sind einfach zu handhaben und finden daher auch Anwendung in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Definition Bearbeiten

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang und sei eine beliebige Kurve, welche die Geodätengleichung erfüllt. Mit werde der Tangentialraum am Punkt bezeichnet und für werde mit

die Exponentialabbildung bezeichnet. Durch eine Wahl einer Orthonormalbasis von erhält man einen Isomorphismus

welcher durch definiert ist. Sei weiter eine offene Umgebung von , auf welcher die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus ist, und für welche gilt. Dann erhält man eine Abbildung

Da bzw. auf den entsprechenden Definitionsbereichen einen Isomorphismus bzw. Diffeomorphismus definiert, ist auch ebenfalls diffeomorph und kann somit als Kartenabbildung angesehen werden. Die lokalen Koordinaten, welche man durch diese Karten erhält, heißen riemannsche Normalkoordinaten.

Eigenschaften Bearbeiten

Sei eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit und lege zentrierte riemannsche Normalkoordinaten in fest. Es gilt:

  • Für alle hat die Geodäte , welche in mit dem Geschwindigkeitsvektor beginnt, in riemannschen Normalkoordinaten die Darstellung

Physikalische Sicht Bearbeiten

Physikalisch betrachtet beschreiben Normalkoordinaten im Raumzeitpunkt das Ruhesystem eines frei fallenden Beobachters im Punkt . Dieser Punkt wird als Ursprung des Koordinatensystems festgelegt. Normalkoordinaten eignen sich zur Beschreibung des Äquivalenzprinzips der allgemeinen Relativitätstheorie. In Normalkoordinaten sind alle Geodäten durch den Ursprung Geraden in der vierdimensionalen Raumzeit. Damit wird verständlich, was die Äquivalenz frei fallender Beobachter mit Beobachtern in Inertialsystemen bedeutet. Da nur die Geodäten durch einen einzigen Raumzeitpunkt Geraden sind, ist das Äquivalenzprinzip nur in einem einzelnen Raumzeitpunkt genau gültig. Die krummen Geodäten, die nicht durch den Ursprung laufen, werden vom Beobachter durch Gezeitenkräfte erklärt.

In Normalkoordinaten lässt sich der metrische Tensor in einem Punkt der pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit als Reihenentwicklung in angeben. Bis zur 5. Ordnung hat man somit:

dabei sind die Komponenten der Minkowski-Metrik und die Komponenten des riemannschen Krümmungstensors, wobei die einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde. Mit zunehmendem Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung bei weicht der metrische Tensor immer mehr von der flachen Minkowski-Metrik ab, wobei der (durch ein Christoffel-Symbol gegebene) Koeffizient erster Ordnung in diesen Koordinaten gerade verschwindet, und die erste nichtverschwindende Korrektur zur flachen Minkowski-Metrik somit erst in quadratischer Ordnung auftritt und durch den Riemanntensor gegeben ist. Die Koeffizienten in den höheren Ordnungen sind durch nicht-kommutative Tensorpolynome im Riemanntensor und seinen kovarianten Ableitungen gegeben, die hier mithilfe der Semikolon-Schreibweise kompakt dargestellt werden, d. h. . Über Indizes in runden Klammern wird symmetrisiert und in senkrechten Strichen eingeschlossenen Indizes, sind von der Symmetrisierung ausgeschlossen.

Literatur Bearbeiten

  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.
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Riemannsche Normalkoordinaten nach Bernhard Riemann auch Normalkoordinaten oder Exponentialkoordinaten bilden ein besonderes Koordinatensystem welches in der Differentialgeometrie betrachtet wird Hier wird der Tangentialraum an p displaystyle p als lokale Karte der Mannigfaltigkeit in einer Umgebung von p displaystyle p verwendet Solche Koordinaten sind einfach zu handhaben und finden daher auch Anwendung in der allgemeinen Relativitatstheorie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Physikalische Sicht 4 LiteraturDefinition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang displaystyle nabla nbsp und g displaystyle gamma nbsp sei eine beliebige Kurve welche die Geodatengleichung g t g t 0 displaystyle nabla dot gamma t dot gamma t 0 nbsp erfullt Mit T p M displaystyle T p M nbsp werde der Tangentialraum am Punkt p M displaystyle p in M nbsp bezeichnet und fur E p T p M displaystyle mathcal E p subset T p M nbsp werde mit exp p E p M V exp p V g V 1 displaystyle exp p colon mathcal E p to M quad V mapsto exp p V gamma V 1 nbsp die Exponentialabbildung bezeichnet Durch eine Wahl einer Orthonormalbasis E i i displaystyle E i i nbsp von T p M displaystyle T p M nbsp erhalt man einen Isomorphismus E R n T p M displaystyle E colon mathbb R n to T p M nbsp welcher durch E x 1 x n i x i E i displaystyle textstyle E x 1 ldots x n sum i x i E i nbsp definiert ist Sei weiter U M displaystyle U subset M nbsp eine offene Umgebung von p displaystyle p nbsp auf welcher die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus ist und fur welche 0 exp p 1 U T p M displaystyle 0 in exp p 1 U subset T p M nbsp gilt Dann erhalt man eine Abbildung ϕ U R n U q E 1 exp p 1 q displaystyle phi colon U to mathbb R n quad U ni q mapsto E 1 circ exp p 1 q nbsp Da E displaystyle E nbsp bzw exp p displaystyle exp p nbsp auf den entsprechenden Definitionsbereichen einen Isomorphismus bzw Diffeomorphismus definiert ist auch ϕ displaystyle phi nbsp ebenfalls diffeomorph und kann somit als Kartenabbildung angesehen werden Die lokalen Koordinaten welche man durch diese Karten erhalt heissen riemannsche Normalkoordinaten Eigenschaften BearbeitenSei M g displaystyle M g nbsp eine riemannsche oder pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit und U x i i displaystyle U x i i nbsp lege zentrierte riemannsche Normalkoordinaten in p M displaystyle p in M nbsp fest Es gilt Fur alle V i V i i T p M displaystyle textstyle V sum i V i partial i in T p M nbsp hat die Geodate g V displaystyle gamma V nbsp welche in p displaystyle p nbsp mit dem Geschwindigkeitsvektor V displaystyle V nbsp beginnt in riemannschen Normalkoordinaten die Darstellungg V t t V 1 t V n displaystyle gamma V t tV 1 ldots tV n nbsp solange g V displaystyle gamma V nbsp in U displaystyle U nbsp bleibt Die Koordinaten von p displaystyle p nbsp sind 0 0 displaystyle 0 ldots 0 nbsp Die Komponenten der riemannschen Metrik in p displaystyle p nbsp sind g i j d i j displaystyle g ij delta ij nbsp Die Christoffelsymbole in p displaystyle p nbsp sind null Ist displaystyle nabla nbsp der Levi Civita Zusammenhang oder ein anderer metrischer Zusammenhang dann gilt x k g i j p 0 displaystyle partial x k g ij p 0 nbsp Physikalische Sicht BearbeitenPhysikalisch betrachtet beschreiben Normalkoordinaten im Raumzeitpunkt p displaystyle p nbsp das Ruhesystem eines frei fallenden Beobachters im Punkt p displaystyle p nbsp Dieser Punkt wird als Ursprung des Koordinatensystems festgelegt Normalkoordinaten eignen sich zur Beschreibung des Aquivalenzprinzips der allgemeinen Relativitatstheorie In Normalkoordinaten sind alle Geodaten durch den Ursprung Geraden in der vierdimensionalen Raumzeit Damit wird verstandlich was die Aquivalenz frei fallender Beobachter mit Beobachtern in Inertialsystemen bedeutet Da nur die Geodaten durch einen einzigen Raumzeitpunkt Geraden sind ist das Aquivalenzprinzip nur in einem einzelnen Raumzeitpunkt genau gultig Die krummen Geodaten die nicht durch den Ursprung laufen werden vom Beobachter durch Gezeitenkrafte erklart In Normalkoordinaten x a displaystyle x alpha nbsp lasst sich der metrische Tensor in einem Punkt P displaystyle P nbsp der pseudo riemannschen Mannigfaltigkeit als Reihenentwicklung in x a displaystyle x alpha nbsp angeben Bis zur 5 Ordnung hat man somit g m n x h m n 1 3 R m a 1 a 2 n x a 1 x a 2 1 6 R m a 1 a 2 n a 3 x a 1 x a 2 x a 3 1 20 R m a 1 a 2 n a 3 a 4 8 9 R m a 1 a 2 d R d a 3 a 4 n x a 1 x a 2 x a 3 x a 4 O x 5 displaystyle g mu nu x eta mu nu tfrac 1 3 R mu alpha 1 alpha 2 nu x alpha 1 x alpha 2 tfrac 1 6 R mu alpha 1 alpha 2 nu alpha 3 x alpha 1 x alpha 2 x alpha 3 tfrac 1 20 bigl R mu alpha 1 alpha 2 nu alpha 3 alpha 4 tfrac 8 9 R mu alpha 1 alpha 2 delta R delta alpha 3 alpha 4 nu bigr x alpha 1 x alpha 2 x alpha 3 x alpha 4 mathcal O x 5 nbsp dabei sind h m n displaystyle eta mu nu nbsp die Komponenten der Minkowski Metrik und R m l n r displaystyle R mu lambda nu rho nbsp die Komponenten des riemannschen Krummungstensors wobei die einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde Mit zunehmendem Abstand des Punktes x displaystyle x nbsp vom Koordinatenursprung bei x 0 displaystyle x 0 nbsp weicht der metrische Tensor immer mehr von der flachen Minkowski Metrik ab wobei der durch ein Christoffel Symbol gegebene Koeffizient erster Ordnung in diesen Koordinaten gerade verschwindet und die erste nichtverschwindende Korrektur zur flachen Minkowski Metrik somit erst in quadratischer Ordnung auftritt und durch den Riemanntensor gegeben ist Die Koeffizienten in den hoheren Ordnungen sind durch nicht kommutative Tensorpolynome im Riemanntensor und seinen kovarianten Ableitungen gegeben die hier mithilfe der Semikolon Schreibweise kompakt dargestellt werden d h R m a 1 a 2 n a 3 a 3 R m a 1 a 2 n displaystyle R mu alpha 1 alpha 2 nu alpha 3 nabla alpha 3 R mu alpha 1 alpha 2 nu nbsp Uber Indizes in runden Klammern wird symmetrisiert und in senkrechten Strichen eingeschlossenen Indizes sind von der Symmetrisierung ausgeschlossen Literatur BearbeitenJohn M Lee Riemannian Manifolds An Introduction to Curvature Springer New York 1997 ISBN 0387983228 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Riemannsche Normalkoordinaten amp oldid 189956721