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Jährlichkeit Dieser Artikel behandelt den geowissenschaftlichen Begriff Zum Rechtsbegriff siehe Recht auch Annuität oder

Jährlichkeit

Jährlichkeit, auch Annuität, oder Frequenz, nennt man in den Geowissenschaften die Wiederkehrwahrscheinlichkeit von Naturereignissen. Gemessen wird in 1/a („pro Jahr“), oder aber in Zeiteinheiten, dann spricht man auch von Wiederkehrintervall. Relevant ist der Begriff für die Abschätzung von Extremereignissen.

Berechnung Bearbeiten

Naturereignisse werden zumeist mit einer statistischen Bewertung versehen. Berechnet wird die Jährlichkeit „aus der statistischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Analyse der in der Vergangenheit beobachteten Ereignisse, die als Zufallsereignis betrachtet werden“. Dazu wird den Messdaten eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angepasst und diese extrapoliert, um auch Ereignisse des nicht beobachteten Zeitraums abschätzen zu können.

Grundlage sind langjährig gemessene Wertereihen. Aus diesen werden die Jahreshöchstwerte ausgewählt. Im Rahmen einer statistischen Analyse wird eine Verteilungsfunktion angepasst, aus der dann für bestimmte Wahrscheinlichkeiten Quantile ermittelt werden, d. h. Gruppen bestimmter Unterschreitungswahrscheinlichkeiten.

Da die Ausgangsreihe Jahreshöchstwerte beinhaltet, werden ihre Überschreitungswahrscheinlichkeiten auch als Jährlichkeiten bezeichnet, mit der Einheit 1⁄a, also einem Maß der Frequenz.

Allgemein gilt für die Überschreitungswahrscheinlichkeit eines Normwertes (Quantil ET als Extremereignis) pro Jahr, also für die Jährlichkeit:

mit

Analog gilt für eine Eintrittswahrscheinlichkeit eines Normwertes pro Jahr:

Die zugrundegelegte Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich je nach Fachdisziplin aus Erfahrungswerten der Abschätzung, aber auch der Leistung der Modellierung der zugrundeliegenden physikalischen Prozesse (Klimamodelle, hydrologische Niederschlags- und Abflussmodellierung usw.).
Zugrunde gelegte Verteilungen sind typischerweise:

Interpretation der Berechnungsergebnisse Bearbeiten

Ein Ereignis mit der Jährlichkeit bzw. Überschreitungswahrscheinlichkeit Pü = 0,01/a hat ein Wiederkehrintervall von 100 Jahren, d. h. es wird (statistisch gesehen) einmal in 100 Jahren überschritten. In jedem einzelnen dieser Jahre kann das jeweilige Größtereignis allerdings überschritten werden (die Wahrscheinlichkeit hierfür ist in jedem einzelnen Jahr 0,01). Ein Ereignis der Jährlichkeit 0,01 wird also (statistisch) in 1000 Jahren etwa 10-mal überschritten, ohne dass zwischen diesen Überschreitungen jedoch eine Zeitspanne von 100 Jahren liegen muss.

Je länger der betrachtete Zeitraum (genaugenommen der verstrichene Anteil am statistischen Wiederkehrintervall), desto größer die Wahrscheinlichkeit, dass eine Überschreitung auftritt (stochastisches Risiko). Maßgebend ist hier der Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse:

  • Die Unterschreitungswahrscheinlichkeit für den verstrichenen Anteil am Wiederkehrintervall nimmt von Jahr zu Jahr ab:
So beträgt die Unterschreitungswahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit der Jährlichkeit (Überschreitungswahrscheinlichkeit) 0,01 bzw. dem Wiederkehrintervall T = 100 a:
  • in einem Jahr 0,99
  • für den Zeitraum von zwei Jahren 0,99 * 0,99 = 0,99²
  • für drei Jahre 0,99³ usw.
  • die Überschreitungswahrscheinlichkeit für den verstrichenen Anteil am Wiederkehrintervall nimmt von Jahr zu Jahr zu:
Beispielsweise liegt das Risiko, dass ein Hochwasser mit einem Wiederkehrintervall von 100 Jahren überschritten wird:
  • innerhalb eines Zeitraums von 25 Jahren bei
  • für den Zeitraum von 50 Jahren dagegen bei .

Einfach nur nachzuschlagen, wann die vergleichbaren Ereignisse davor und danach waren, ist nicht ausreichend, weil etwa drei „100-jährliche“ Ereignisse knapp aufeinanderfolgen können. Ob so etwas ein statistischer Zufall ist („Ausreißer“), oder ob sich die Wahrscheinlichkeiten im Vergleich zum Bezugsintervall wirklich verändert haben, oder ob die Prognosemodelle nicht stimmen, gehört zu den schwierigen Fragen, wie sie etwa im Kontext des gegenwärtig beobachteten Klimawandels zentrales Untersuchungsgebiet sind.

Typische Kriterien für Extremereignisse Bearbeiten

Je nach Ereignis verwendet man etwa:

Typische Jährlichkeiten und Wiederkehrintervalle Bearbeiten

Jährlichkeit
in 1/a		 T
in a		 Anmerkung
1 0001 „jährliches Ereignis“, regelmäßig eintretend, Bemessungstufe etwa für Normalwasser zu Hochwasser
0,1 0010 „10-jährliches Ereignis“, Bemessung von Hochwässern
0,05 0020 „20-jährliches Ereignis“, Bemessung von Hochwässern
~0,033 0030 „30-jährliches Ereignis“, Standard-Mittelungsperiode in der Meteorologie
0,02 0050 „50-jährliches Ereignis“, Bemessung von Hochwässern
0,01 0100 „Jahrhundertereignis“, allgemein üblich, entspricht etwa dem Ausdruck „seit Menschengedenken“
~0,0066 0150 Grenzwert im Hochwasserschutz, etwa Gefahrenzonenplanung Österreich
0,0033 0300 Ausnahmeereignis der Klimatologie, etwa maximal 300 Jahre reichen die schriftlichen Messreihen zurück: „seit Beginn der Wetteraufzeichnung“
0,001 1000 „Jahrtausendereignis“, aufgrund der Quellenlage schriftlicher Ereignisberichte meist im Sinne von „noch nie dagewesen“
0,0002 5000 Abschätzung anhand geologischer Befunde für Hochwässer oder Massenbewegungen für Mitteleuropa, im Sinne von „seit Ende der letzten Eiszeit“

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • H. P. Nachtnebel, C. Gamperling, K. Leroch, J. Fürst, H. Holzmann (red. Überarb.): Hydrologie. Studienblätter, Wintersemester 2003/04. Hrsg.: Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiven Wasserbau, Universität für Bodenkultur Wien. 1. Statistische Grundlagen, 2. Extremwertstatistik, 3. Korrelation und Regression, 4. Zeitreihenanalyse, 5. Regionalisierung und räumliche Interpolation.
  • Ulrich Maniak: Hydrologie und Wasserwirtschaft: Eine Einführung für Ingenieure. 7. Aufl.; Berlin, Heidelberg: Springer, 2016, ISBN 978-3-662-49086-0

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Nachtnebel: Hydrologie. 2. Extremwertstatistik, S. 2−2 (55).
  2. Nachtnebel: Hydrologie. 2.2.1 Hochwasserstatistik, S. 2−4 (57).
  3. Nachtnebel: Hydrologie. 1.8 Stetige Verteilungen in der Hydrologie, S. 1−30 (42) ff.
  4. Nachtnebel: Hydrologie. Tab 2.1 Alternative ploting positions und ihre Anwendung, S. 58.
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt den geowissenschaftlichen Begriff Zum Rechtsbegriff siehe Jahrlichkeit Recht Jahrlichkeit auch Annuitat oder Frequenz nennt man in den Geowissenschaften die Wiederkehrwahrscheinlichkeit von Naturereignissen Gemessen wird in 1 a pro Jahr oder aber in Zeiteinheiten dann spricht man auch von Wiederkehrintervall Relevant ist der Begriff fur die Abschatzung von Extremereignissen Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 2 Interpretation der Berechnungsergebnisse 3 Typische Kriterien fur Extremereignisse 4 Typische Jahrlichkeiten und Wiederkehrintervalle 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseBerechnung BearbeitenNaturereignisse werden zumeist mit einer statistischen Bewertung versehen Berechnet wird die Jahrlichkeit aus der statistischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Analyse der in der Vergangenheit beobachteten Ereignisse die als Zufallsereignis betrachtet werden 1 Dazu wird den Messdaten eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angepasst und diese extrapoliert um auch Ereignisse des nicht beobachteten Zeitraums abschatzen zu konnen Grundlage sind langjahrig gemessene Wertereihen Aus diesen werden die Jahreshochstwerte ausgewahlt Im Rahmen einer statistischen Analyse wird eine Verteilungsfunktion angepasst aus der dann fur bestimmte Wahrscheinlichkeiten Quantile ermittelt werden d h Gruppen bestimmter Unterschreitungswahrscheinlichkeiten Da die Ausgangsreihe Jahreshochstwerte beinhaltet werden ihre Uberschreitungswahrscheinlichkeiten auch als Jahrlichkeiten bezeichnet mit der Einheit 1 a also einem Mass der Frequenz Allgemein gilt fur die Uberschreitungswahrscheinlichkeit eines Normwertes Quantil ET als Extremereignis 2 pro Jahr also fur die Jahrlichkeit P E gt E T 1 T 1 F E displaystyle begin aligned P E gt E T amp 1 T amp 1 F E end aligned nbsp mit dem statistischen Wiederkehrintervall T mit der Einheit Jahr als Kehrwert der Jahrlichkeit der zugrundegelegten Wahrscheinlichkeitsfunktion F E Analog gilt fur eine Eintrittswahrscheinlichkeit eines Normwertes pro Jahr P E lt E T 1 P E E T 1 1 T F E displaystyle begin aligned P E lt E T amp 1 P E geq E T amp 1 1 T amp F E end aligned nbsp Die zugrundegelegte Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich je nach Fachdisziplin aus Erfahrungswerten der Abschatzung aber auch der Leistung der Modellierung der zugrundeliegenden physikalischen Prozesse Klimamodelle hydrologische Niederschlags und Abflussmodellierung usw Zugrunde gelegte Verteilungen sind typischerweise 3 Normalverteilung Gaussverteilung Gammaverteilungen wie die Pearson III Verteilung die Weibull Verteilung die Gumbelverteilung fur Interpolationen auf grosse T ausserst seltene Ereignisse Methoden der Ausgleichungsrechnung wie die Plotting Positions Verfahren nach Gringorten oder Nguyen 4 Interpretation der Berechnungsergebnisse BearbeitenEin Ereignis mit der Jahrlichkeit bzw Uberschreitungswahrscheinlichkeit Pu 0 01 a hat ein Wiederkehrintervall von 100 Jahren d h es wird statistisch gesehen einmal in 100 Jahren uberschritten In jedem einzelnen dieser Jahre kann das jeweilige Grosstereignis allerdings uberschritten werden die Wahrscheinlichkeit hierfur ist in jedem einzelnen Jahr 0 01 Ein Ereignis der Jahrlichkeit 0 01 wird also statistisch in 1000 Jahren etwa 10 mal uberschritten ohne dass zwischen diesen Uberschreitungen jedoch eine Zeitspanne von 100 Jahren liegen muss Je langer der betrachtete Zeitraum genaugenommen der verstrichene Anteil am statistischen Wiederkehrintervall desto grosser die Wahrscheinlichkeit dass eine Uberschreitung auftritt stochastisches Risiko Massgebend ist hier der Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung fur unabhangige Ereignisse Die Unterschreitungswahrscheinlichkeit P u P E lt E T displaystyle P u P E lt E T nbsp fur den verstrichenen Anteil am Wiederkehrintervall nimmt von Jahr zu Jahr ab P u x J a h r e P u 1 J a h r x displaystyle P u x Jahre P u 1 Jahr x nbsp dd So betragt die Unterschreitungswahrscheinlichkeit fur ein Ereignis mit der Jahrlichkeit Uberschreitungswahrscheinlichkeit 0 01 bzw dem Wiederkehrintervall T 100 a in einem Jahr 0 99 fur den Zeitraum von zwei Jahren 0 99 0 99 0 99 fur drei Jahre 0 99 usw die Uberschreitungswahrscheinlichkeit P u e P E E T displaystyle P ue P E geq E T nbsp fur den verstrichenen Anteil am Wiederkehrintervall nimmt von Jahr zu Jahr zu P u e x J a h r e 1 P u x J a h r e 1 P u 1 J a h r x displaystyle begin aligned P ue x Jahre amp 1 P u x Jahre amp 1 P u 1 Jahr x end aligned nbsp dd Beispielsweise liegt das Risiko dass ein Hochwasser mit einem Wiederkehrintervall von 100 Jahren uberschritten wird innerhalb eines Zeitraums von 25 Jahren bei 1 0 99 25 0 22 displaystyle 1 0 99 25 approx 0 22 nbsp fur den Zeitraum von 50 Jahren dagegen bei 1 0 99 50 0 40 displaystyle 1 0 99 50 approx 0 40 nbsp Einfach nur nachzuschlagen wann die vergleichbaren Ereignisse davor und danach waren ist nicht ausreichend weil etwa drei 100 jahrliche Ereignisse knapp aufeinanderfolgen konnen Ob so etwas ein statistischer Zufall ist Ausreisser oder ob sich die Wahrscheinlichkeiten im Vergleich zum Bezugsintervall wirklich verandert haben oder ob die Prognosemodelle nicht stimmen gehort zu den schwierigen Fragen wie sie etwa im Kontext des gegenwartig beobachteten Klimawandels zentrales Untersuchungsgebiet sind Typische Kriterien fur Extremereignisse BearbeitenJe nach Ereignis verwendet man etwa Abflussmenge in der Hydrologie und im Wasserbau indiziert HQ100 u a auch Pegelstande Hochwasserwarnstufen entsprechend auch fur Niedrigwasser Windgeschwindigkeit Windstarke nach Beaufort fur Sturme Saffir Simpson Hurrikan Windskala fur Hurrikane Fujita Skala fur Tornados Erdbebenskalen z B Richter oder Mercalliskala in der Erdbebenforschung Warnstufen im Katastrophenschutz bzw das Eintreten etwa von Katastrophenalarm Turiner Skala fur riskante Annaherungen erdnaher Asteroiden und Kometen in der Astrophysik Typische Jahrlichkeiten und Wiederkehrintervalle BearbeitenJahrlichkeitin 1 a Tin a Anmerkung1 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