Das Eisensteinkriterium oder auch Irreduzibilitatskriterium von Eisenstein dient in der Algebra zum Nachweis der Irreduzibilitat eines gegebenen Polynoms Es lassen sich damit leichter Aussagen uber die Teilbarkeit von Polynomen treffen Das Kriterium ist nach dem Mathematiker Gotthold Eisenstein benannt der dazu 1850 einen offentlichkeitswirksamen Aufsatz in Crelles Journal Band 39 verfasste 1 Schon vier Jahre zuvor war es ebenda zum ersten Mal von Theodor Schonemann veroffentlicht worden Band 32 Es wurde und wird teilweise auch nach Schonemann benannt 2 Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1 1 Verallgemeinerung 2 Bemerkungen 3 Beispiele 4 Beweis 5 Literatur 6 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei P x displaystyle P x nbsp ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten also P x a n x n a 1 x a 0 Z x displaystyle P x a n x n cdots a 1 x a 0 in mathbb Z x nbsp Wenn eine Primzahl p displaystyle p nbsp existiert die alle Koeffizienten a 0 displaystyle a 0 nbsp bis a n 1 displaystyle a n 1 nbsp teilt den Koeffizienten a 0 displaystyle a 0 nbsp jedoch nicht quadratisch und a n displaystyle a n nbsp gar nicht teilt wenn also p a i displaystyle p mid a i nbsp fur alle i lt n displaystyle i lt n nbsp und p 2 a 0 displaystyle p 2 nmid a 0 nbsp und p a n displaystyle p nmid a n nbsp gilt dann ist P x displaystyle P x nbsp in Q x displaystyle mathbb Q x nbsp irreduzibel Ist P x displaystyle P x nbsp zusatzlich noch primitiv so ist es auch irreduzibel in Z x displaystyle mathbb Z x nbsp Verallgemeinerung Bearbeiten Sind die Koeffizienten aus einem faktoriellen Ring F displaystyle F nbsp und existiert ein entsprechendes Primelement p F displaystyle p in F nbsp so ist das Polynom irreduzibel im Polynomring des Quotientenkorpers von F displaystyle F nbsp Bemerkungen BearbeitenEin Polynom fur das ein solches p displaystyle p nbsp existiert wird auch Eisenstein Polynom bezuglich p displaystyle p nbsp genannt Das Kriterium ist nur hinreichend auch wenn es nicht erfullt ist kann das Polynom irreduzibel sein Die Zerlegbarkeit eines Polynoms kann damit nicht nachgewiesen werden Fur eine Zerlegung in Z x displaystyle mathbb Z x nbsp kann man das Kriterium wie folgt benutzen Es gilt naturlich P x displaystyle P x nbsp hat Inhalt 1 und ist irreduzibel in Q x P x displaystyle mathbb Q x Rightarrow P x nbsp irreduzibel in Z x displaystyle mathbb Z x nbsp Fasst man P x 0 displaystyle P x 0 nbsp also als diophantische Gleichung fur x auf so lasst sich folgern Ist das Kriterium fur P x displaystyle P x nbsp erfullt so gibt es auch keine ganzzahlige Losung der Gleichung Allerdings folgt aus dem Gaussschen Lemma auch die Umkehrung P x displaystyle P x nbsp irreduzibel in Z x P x displaystyle mathbb Z x Rightarrow P x nbsp irreduzibel in Q x displaystyle mathbb Q x nbsp 3 Beispiele Bearbeitenx 3 6 x 2 4 x 2 displaystyle x 3 6x 2 4x 2 nbsp ist nach obigem Kriterium irreduzibel uber Q displaystyle mathbb Q nbsp wahle p 2 displaystyle p 2 nbsp Dies bedeutet dass die reelle Nullstelle des Polynoms irrational sein muss x n d displaystyle x n d nbsp ist irreduzibel in Q x displaystyle mathbb Q x nbsp wenn d displaystyle d nbsp eine Primzahl ist oder einen einfachen Primteiler hat Insbesondere kann dann d n displaystyle sqrt n d nbsp fur kein n 2 displaystyle n geq 2 nbsp rational sein x 2 4 displaystyle x 2 4 nbsp erfullt das Kriterium nicht und ist irreduzibel x 2 4 displaystyle x 2 4 nbsp erfullt das Kriterium genauso wenig ist aber zerlegbar in x 2 x 2 displaystyle x 2 x 2 nbsp 3 x 2 6 displaystyle 3x 2 6 nbsp erfullt das Kriterium mit p 2 displaystyle p 2 nbsp ist also irreduzibel in Q x displaystyle mathbb Q x nbsp Wegen 3 x 2 6 3 x 2 2 displaystyle 3x 2 6 3 x 2 2 nbsp ist das Polynom aber reduzibel in Z x displaystyle mathbb Z x nbsp denn es zerfallt dort in ein Produkt zweier Nichteinheiten Das Polynom x 2 y 2 1 Q x y displaystyle x 2 y 2 1 in mathbb Q x y nbsp kann als Element im Ring Q y x displaystyle mathbb Q y x nbsp der Polynome in x displaystyle x nbsp mit Koeffizienten im faktoriellen Ring F Q y displaystyle F mathbb Q y nbsp aufgefasst werden Es ist p y 2 1 displaystyle p y 2 1 nbsp irreduzibel in F displaystyle F nbsp also auch ein Primelement Nach dem verallgemeinerten Eisensteinkriterium ist also x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp irreduzibel in Q x y displaystyle mathbb Q x y nbsp Fur jede Primzahl a displaystyle alpha nbsp ist das Kreisteilungspolynom ϕ a x a 1 x a 2 x 1 displaystyle phi alpha x alpha 1 x alpha 2 x 1 nbsp in Z x displaystyle mathbb Z x nbsp nach dem Eisensteinkriterium irreduzibel in Q x displaystyle mathbb Q x nbsp Da das Kriterium nicht direkt anwendbar ist wird eine Variablensubstitution vorgenommen Der durchw Q I d Q displaystyle omega mathbb Q Id mathbb Q nbsp und w x x 1 displaystyle omega x x 1 nbsp dd festgelegte Automorphismus w displaystyle omega nbsp auf Q x displaystyle mathbb Q x nbsp hat die inverse Variablensubstitution w 1 displaystyle omega 1 nbsp welche durchw 1 Q I d Q displaystyle omega 1 mathbb Q Id mathbb Q nbsp und w 1 x x 1 displaystyle omega 1 x x 1 nbsp dd definiert ist Des Weiteren giltϕ a x 1 x a 1 x a 2 x 1 x 1 x a 1 displaystyle phi alpha cdot x 1 x alpha 1 x alpha 2 x 1 x 1 x alpha 1 nbsp dd Daraus folgt dassϕ a x a 1 x 1 displaystyle phi alpha frac x alpha 1 x 1 nbsp dd gilt Dabei ist die rechte Seite der Gleichung als Element aus dem Quotientenkorper von Z x displaystyle mathbb Z x nbsp anzusehen Da die Division ohne Rest aufgeht ist die rechte Seite der Gleichung aber insbesondere auch ein Element aus Z x displaystyle mathbb Z x nbsp Mit dem binomischen Lehrsatz folgt w ϕ a x 1 a 1 x 1 1 x 1 a 1 x i 0 a a i 1 a i x i 1 x i 1 a a i x i 1 1 x i 1 a a i x i x i 1 a a i x i 1 displaystyle omega phi alpha frac x 1 alpha 1 x 1 1 frac x 1 alpha 1 x frac sum i 0 alpha alpha choose i 1 alpha i x i 1 x frac sum i 1 alpha alpha choose i x i 1 1 x frac sum i 1 alpha alpha choose i x i x sum i 1 alpha alpha choose i x i 1 nbsp dd Nach dem Eisensteinkriterium ist w ϕ a displaystyle omega phi alpha nbsp irreduzibel denn es gilta a a a 2 a 1 a a i a i a i displaystyle alpha nmid alpha choose alpha qquad alpha 2 nmid alpha choose 1 qquad alpha mid alpha choose i frac alpha i alpha i nbsp fur i 1 a 1 displaystyle i 1 alpha 1 nbsp dd w 1 displaystyle omega 1 nbsp ist als Inverses des Automorphismus w displaystyle omega nbsp ebenfalls ein Automorphismus Da Automorphismen irreduzible Polynome auf irreduzible Polynome abbilden ist w 1 w ϕ a ϕ a displaystyle omega 1 omega phi alpha phi alpha nbsp irreduzibel in Q x displaystyle mathbb Q x nbsp Beweis BearbeitenDer Beweis lauft per Widerspruch Angenommen P displaystyle P nbsp ware ein Eisensteinpolynom bezuglich p displaystyle p nbsp und es gabe zwei nicht konstante Polynome Q displaystyle Q nbsp und R displaystyle R nbsp in Z x displaystyle mathbb Z x nbsp mit Q R P displaystyle Q cdot R P nbsp Da nach Voraussetzung alle a i displaystyle a i nbsp bis auf den Leitkoeffizienten a n displaystyle a n nbsp durch p displaystyle p nbsp teilbar sind gilt folgendes Modulo Argument P Q R a n x n mod p displaystyle P equiv Q cdot R equiv a n x n pmod p nbsp Damit mussen auch Q displaystyle Q nbsp und R displaystyle R nbsp Monome modulo p displaystyle p nbsp sein d h auch deren sonstige Koeffizienten sind alle durch p displaystyle p nbsp teilbar Insbesondere die konstanten Terme von Q displaystyle Q nbsp und R displaystyle R nbsp sind jeweils durch p displaystyle p nbsp teilbar Wegen Q R P displaystyle Q cdot R P nbsp folgt mit dem Cauchy Produkt dass der konstante Term a 0 displaystyle a 0 nbsp von P displaystyle P nbsp durch p 2 displaystyle p 2 nbsp teilbar ist Widerspruch dazu dass das Kriterium fur P displaystyle P nbsp erfullt ist Damit muss P displaystyle P nbsp irreduzibel in Z x displaystyle mathbb Z x nbsp sein Mit dem Lemma von Gauss folgt dass P displaystyle P nbsp auch irreduzibel im Quotientenkorper sprich in Q x displaystyle mathbb Q x nbsp ist Und das ist was zu zeigen war Betrachtet man allgemein Polynome uber einem faktoriellen Ring F displaystyle F nbsp so muss das Modulo Argument durch einen geeigneten Homomorphismus ersetzt werden der P displaystyle P nbsp auf seine entsprechende Restklasse in F p F displaystyle F pF nbsp abbildet Da F displaystyle F nbsp faktoriell ist und p displaystyle p nbsp ein Primelement lasst sich der Homomorphismus leicht finden Die Linearitat erlaubt dann analog die Folgerung dass P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp jeweils selbst auf ein Monom abgebildet werden 3 Literatur BearbeitenDavid A Cox Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schonemann discovered it first American Mathematical Monthly Band 118 2011 S 3 21 Jurgen Wolfart Einfuhrung in die Algebra und Zahlentheorie Vieweg Verlag 1996 ISBN 978 3528072865 Christian Karpfinger Kurt Meyberg Algebra Springer Spektrum 2013 ISBN 978 3 8274 3011 3 Einzelnachweise Bearbeiten Eisenstein Uber die Irreductibilitat und einige andere Eigenschaften der Gleichung von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhangt Journal fur die reine und angewandte Mathematik Band 39 1850 S 160 179 Lemmermeyer Reciprocity Laws Springer Verlag 2000 S 274 a b Jurgen Wolfart Einfuhrung in die Algebra und Zahlentheorie Vieweg Verlag 1996 Seite 143 ISBN 978 3528072865 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eisensteinkriterium amp oldid 232240492
