Die Hyperexponentialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Anschaulich gesprochen ist sie eine Uberlagerung mehrerer Exponentialverteilungen Die durchgezogene blaue Linie zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Hyperexponentialverteilung am Beispiel p1 0 9 p2 0 1 l1 1 und l2 20 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Einordnung und Bemerkungen 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 Fussnoten und EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSeien Y i displaystyle Y i nbsp mit i 1 N displaystyle i 1 dotsc N nbsp unabhangige exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Raten l i displaystyle lambda i nbsp und seien p i displaystyle p i nbsp Wahrscheinlichkeiten deren Summe 1 ergibt Dann heisst die Zufallsvariable X displaystyle X nbsp hyperexponentialverteilt wenn sie folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt 1 f X x i 1 N p i f Y i x i 1 N p i l i e l i x x 0 0 x lt 0 displaystyle f X x sum i 1 N p i f Y i x begin cases sum limits i 1 N p i lambda i e lambda i x amp x geq 0 0 amp x lt 0 end cases nbsp Einordnung und Bemerkungen BearbeitenBei einer Exponentialverteilung ist der Variationskoeffizient Standardabweichung geteilt durch Erwartungswert gleich 1 Die Bezeichnung hyper exponential ruhrt daher dass der Variationskoeffizient hier grosser als 1 ist sofern verschiedene l i displaystyle lambda i nbsp auftreten Im Unterschied dazu ist er bei der Hypoexponentialverteilung kleiner als 1 Wahrend die Exponentialverteilung das stetige Analogon zur geometrischen Verteilung ist ist die Hyperexponentialverteilung kein Analogon zur hypergeometrischen Verteilung Die Hyperexponentialverteilung ist ein Beispiel fur eine Mischverteilung Als Anwendungsbeispiel kann die Auslastung eines Internetanschlusses dienen uber welchen entweder mit Wahrscheinlichkeit p displaystyle p nbsp und Rate l 1 displaystyle lambda 1 nbsp Internettelefonie oder mit Wahrscheinlichkeit q displaystyle q nbsp und Rate l 2 displaystyle lambda 2 nbsp Dateiubertragungen laufen wobei p q 1 displaystyle p q 1 nbsp Die Gesamtauslastung ist dann hyperexponentialverteilt Eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung inklusive endlastiger Verteilungen kann durch eine Hyperexponentialverteilung angenahert werden indem rekursiv verschiedene Zeitskalen l i displaystyle lambda i nbsp mittels der sogenannten Prony Methode angefittet werden 2 Eigenschaften BearbeitenAus der Linearitat des Integrals ergibt sich E X x f x d x i 1 N p i 0 x l i e l i x d x i 1 N p i l i displaystyle operatorname E X int infty infty xf x dx sum i 1 N p i int 0 infty x lambda i e lambda i x dx sum i 1 N frac p i lambda i nbsp und E X 2 x 2 f x d x i 1 N p i 0 x 2 l i e l i x d x i 1 N 2 l i 2 p i displaystyle operatorname E left X 2 right int infty infty x 2 f x dx sum i 1 N p i int 0 infty x 2 lambda i e lambda i x dx sum i 1 N frac 2 lambda i 2 p i nbsp Mit Hilfe des Verschiebungssatzes ergibt sich daraus die Varianz 3 Var X E X 2 E X 2 i 1 N 2 l i 2 p i i 1 N p i l i 2 i 1 N p i l i 2 i 1 N j 1 N p i p j 1 l i 1 l j 2 displaystyle operatorname Var X operatorname E left X 2 right operatorname E left X right 2 sum i 1 N frac 2 lambda i 2 p i left sum i 1 N frac p i lambda i right 2 left sum i 1 N frac p i lambda i right 2 sum i 1 N sum j 1 N p i p j left frac 1 lambda i frac 1 lambda j right 2 nbsp Sofern nicht alle l i displaystyle lambda i nbsp gleich gross sind ist die Standardabweichung grosser als der Erwartungswert Die momenterzeugende Funktion ist E e t X e t x f x d x i 1 N p i 0 e t x l i e l i x d x i 1 N l i l i t p i displaystyle operatorname E left e tX right int infty infty e tx f x dx sum i 1 N p i int 0 infty e tx lambda i e lambda i x dx sum i 1 N frac lambda i lambda i t p i nbsp Siehe auch BearbeitenPhasenverteilungFussnoten und Einzelnachweise Bearbeiten L N Singh G R Dattatreya Estimation of the Hyperexponential Density with Applications in Sensor Networks In International Journal of Distributed Sensor Networks 3 Jahrgang Nr 3 2007 S 311 doi 10 1080 15501320701259925 A Feldmann W Whitt Fitting mixtures of exponentials to long tail distributions to analyze network performance models In Performance Evaluation 31 Jahrgang Nr 3 4 1998 S 245 doi 10 1016 S0166 5316 97 00003 5 columbia edu PDF H T Papadopolous C Heavey J Browne Queueing Theory in Manufacturing Systems Analysis and Design Springer 1993 ISBN 978 0 412 38720 3 S 35 google com Diskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hyperexponentialverteilung amp oldid 161047154
