Harish Chandra Integral Das ist ein Integralbegriff der seinen Ursprung im Studium der harmonischen Analysis über Lie Gr

Harish-Chandra-Integral

Das Harish-Chandra-Integral ist ein Integralbegriff, der seinen Ursprung im Studium der harmonischen Analysis über Lie-Gruppen hatte. Das Integral und die dazugehörige Formel finden heute in vielen Gebieten Anwendung wie zum Beispiel der Darstellungstheorie, der Theorie der Zufallsmatrizen, der stochastischen Analysis oder der Quantenfeldtheorie. Eine spezielle Rolle spielt das unitäre Integral, genannt Harish-Chandra-Itzykson-Zuber-Integral.

Die Integrale sind nach dem indischen Mathematiker Harish-Chandra benannt, der sie 1957 veröffentlichte, das HCIZ-Integral nach den französischen Physikern Claude Itzykson und Jean-Bernard Zuber.

Definition Bearbeiten

Ein Harish-Chandra-Integral ist die Funktion

wobei eine kompakte Lie-Gruppe ist, ist das Haarsche Wahrscheinlichkeitsmaß, liegen in der Cartan-Unteralgebra (oder in der Komplexifizierung ), ist die adjungierte Darstellung und das -invariante Skalarprodukt.

Harish-Chandra-Formel Bearbeiten

Sei zusammenhängend und halbeinfach, bezeichne das positive Wurzelsystem von . Dann gilt

mit der Weyl-Gruppe , der Diskriminante , der Signatur und einer Konstanten .

Harish-Chandra-Itzykson-Zuber-Integralformel Bearbeiten

Die Harish-Chandra–Itzykson–Zuber-Integralformel (HCIZ-Integralformel) lautet

wobei die -unitäre Gruppe ist und das haarsche Wahrscheinlichkeitsmaß. sind -hermitische Matrizen und bezeichnet die Vandermonde-Determinante, bezeichnen die Eigenwerte der Matrix (resp. für die Matrix ).

Einzelnachweise Bearbeiten

Harish-Chandra: Differential Operators on a Semisimple Lie Algebra. In: The Johns Hopkins University Press (Hrsg.): American Journal of Mathematics. Nr. 79, 1957, S. 87–120, doi:10.2307/2372387.
Colin McSwiggen: The Harish-Chandra integral: An introduction with examples. In: arXiv:1009.0150. arxiv:1806.11155.
Terence Tao: The Harish-Chandra-Itzykson-Zuber integral formula. Abgerufen am 20. Juni 2021.

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 17:24 pm

Das Harish Chandra Integral ist ein Integralbegriff der seinen Ursprung im Studium der harmonischen Analysis uber Lie Gruppen hatte 1 Das Integral und die dazugehorige Formel finden heute in vielen Gebieten Anwendung wie zum Beispiel der Darstellungstheorie der Theorie der Zufallsmatrizen der stochastischen Analysis oder der Quantenfeldtheorie Eine spezielle Rolle spielt das unitare Integral genannt Harish Chandra Itzykson Zuber Integral Die Integrale sind nach dem indischen Mathematiker Harish Chandra benannt der sie 1957 veroffentlichte das HCIZ Integral nach den franzosischen Physikern Claude Itzykson und Jean Bernard Zuber 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Harish Chandra Formel 3 Harish Chandra Itzykson Zuber Integralformel 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Harish Chandra Integral ist die Funktion H x y G e Ad g x y d g displaystyle H x y int G e langle operatorname Ad g x y rangle mathrm d g nbsp wobei G displaystyle G nbsp eine kompakte Lie Gruppe ist d g displaystyle mathrm d g nbsp ist das Haarsche Wahrscheinlichkeitsmass x y t g Lie G displaystyle x y in mathfrak t subset mathfrak g operatorname Lie G nbsp liegen in der Cartan Unteralgebra oder in der Komplexifizierung t g C displaystyle mathfrak t subset mathfrak g mathbb C nbsp Ad displaystyle operatorname Ad nbsp ist die adjungierte Darstellung und displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp das Ad displaystyle operatorname Ad nbsp invariante Skalarprodukt Harish Chandra Formel BearbeitenSei G displaystyle G nbsp zusammenhangend und halbeinfach R displaystyle R nbsp bezeichne das positive Wurzelsystem von g displaystyle mathfrak g nbsp Dann gilt D g x D g y G e Ad g x y d g D g D g W w W e w e w x y displaystyle Delta mathfrak g x Delta mathfrak g y int G e langle operatorname Ad g x y rangle mathrm d g frac Delta mathfrak g Delta mathfrak g W sum limits w in W varepsilon w e langle w x y rangle nbsp mit der Weyl Gruppe W displaystyle W nbsp der Diskriminante D g x a R a x displaystyle textstyle Delta mathfrak g x prod alpha in R langle alpha x rangle nbsp der Signatur e w 1 w displaystyle varepsilon w 1 w nbsp und einer Konstanten D g D g displaystyle Delta mathfrak g Delta mathfrak g nbsp Harish Chandra Itzykson Zuber Integralformel BearbeitenDie Harish Chandra Itzykson Zuber Integralformel HCIZ Integralformel lautet U n e tr A U B U d U p 1 n 1 p det e a i b j i j 1 n D A D B displaystyle int operatorname U n e operatorname tr AUBU mathrm d U left prod limits p 1 n 1 p right frac operatorname det e a i b j i j 1 n Delta A Delta B nbsp wobei U n displaystyle operatorname U n nbsp die n n displaystyle n times n nbsp unitare Gruppe ist und d U displaystyle mathrm d U nbsp das haarsche Wahrscheinlichkeitsmass A B displaystyle A B nbsp sind n n displaystyle n times n nbsp hermitische Matrizen und D A i lt j a j a i displaystyle Delta A prod limits i lt j a j a i nbsp bezeichnet die Vandermonde Determinante a 1 a n displaystyle a 1 leq dots leq a n nbsp bezeichnen die Eigenwerte der Matrix A displaystyle A nbsp resp b 1 b n displaystyle b 1 leq dots leq b n nbsp fur die Matrix B displaystyle B nbsp 3 Einzelnachweise Bearbeiten Harish Chandra Differential Operators on a Semisimple Lie Algebra In The Johns Hopkins University Press Hrsg American Journal of Mathematics Nr 79 1957 S 87 120 doi 10 2307 2372387 Colin McSwiggen The Harish Chandra integral An introduction with examples In arXiv 1009 0150 arxiv 1806 11155 Terence Tao The Harish Chandra Itzykson Zuber integral formula Abgerufen am 20 Juni 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Harish Chandra Integral amp oldid 218696414