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Vandermonde Matrix Unter einer nach A T Vandermonde versteht man in der Mathematik eine Matrix die eine im Folgenden bes

Vandermonde-Matrix

Unter einer Vandermonde-Matrix (nach A.-T. Vandermonde) versteht man in der Mathematik eine Matrix, die eine im Folgenden beschriebene spezielle Form hat.

Für ein -Tupel reeller Zahlen oder allgemeiner von Elementen in einem Körper ist die Vandermonde-Matrix definiert durch:

Die Determinante wird auch Vandermonde-Determinante genannt, sie hat den Wert

Insbesondere ist die Vandermonde-Matrix genau dann regulär, wenn die paarweise verschieden sind.

Anwendung: Polynominterpolation Bearbeiten

Die Vandermonde-Matrix spielt bei der Interpolation von Funktionen eine wichtige Rolle: Wenn an den Stützstellen die Funktionswerte durch ein Polynom vom Grad (oder kleiner) interpoliert werden sollen, dann führt der Ansatz

auf das lineare Gleichungssystem

mit einer Vandermonde-Matrix als Koeffizientenmatrix. Aus der oben genannten Eigenschaft der Vandermonde-Determinante folgt daher insbesondere, dass das Interpolationsproblem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn alle Stützstellen paarweise verschieden sind.

In der Standardbasis der Polynome ist die Matrix allerdings sehr schlecht konditioniert und die Auflösung mit Standardmethoden mit einer Laufzeit in recht teuer, weswegen man andere Darstellungen für die Polynome wählt. Näheres bei Polynominterpolation und unten.

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Für paarweise verschiedene Stützstellen diagonalisiert die Vandermonde-Matrix aus dem obigen Gleichungssystem die Begleitmatrix des Polynoms

es gilt:

Für große Anzahlen kann man das Gleichungssystem oben auch über den folgenden Zusammenhang lösen, durch den die Inverse der Vandermonde-Matrix eng mit ihrer Transponierten verbunden ist. Mit den eingeführten Polynomkoeffizienten bildet man die Hankel-Matrix

und die Diagonalmatrix . Wenn alle Stützstellen paarweise verschieden sind, ist regulär. Damit gilt

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Christoph Ableitinger, Angela Herrmann: Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra. Ein Arbeits- und Übungsbuch. 1. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1724-2, S. 113–116.

Weblinks Bearbeiten

Weisstein, Eric W.: Vandermonde Matrix. In: MathWorld (englisch).

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Veröffentlichungsdatum:
Unter einer Vandermonde Matrix nach A T Vandermonde versteht man in der Mathematik eine Matrix die eine im Folgenden beschriebene spezielle Form hat Fur ein n displaystyle n Tupel x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n reeller Zahlen oder allgemeiner von Elementen in einem Korper ist die Vandermonde Matrix definiert durch V x 1 x 2 x n 1 x 1 x 1 2 x 1 n 1 1 x 2 x 2 2 x 2 n 1 1 x 3 x 3 2 x 3 n 1 1 x n x n 2 x n n 1 displaystyle V x 1 x 2 ldots x n begin pmatrix 1 amp x 1 amp x 1 2 amp cdots amp x 1 n 1 1 amp x 2 amp x 2 2 amp cdots amp x 2 n 1 1 amp x 3 amp x 3 2 amp cdots amp x 3 n 1 vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots 1 amp x n amp x n 2 amp cdots amp x n n 1 end pmatrix Die Determinante wird auch Vandermonde Determinante genannt sie hat den Wert det V x 1 x 2 x n 1 i lt j n x j x i displaystyle det V x 1 x 2 ldots x n prod 1 leq i lt j leq n x j x i 1 Insbesondere ist die Vandermonde Matrix genau dann regular wenn die x i displaystyle x i paarweise verschieden sind Inhaltsverzeichnis 1 Anwendung Polynominterpolation 2 Weitere Eigenschaften 3 Literatur 4 Einzelnachweise 5 WeblinksAnwendung Polynominterpolation BearbeitenDie Vandermonde Matrix spielt bei der Interpolation von Funktionen eine wichtige Rolle Wenn an den Stutzstellen x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n nbsp die Funktionswerte f 1 f 2 f n displaystyle f 1 f 2 ldots f n nbsp durch ein Polynom p displaystyle p nbsp vom Grad n 1 displaystyle n 1 nbsp oder kleiner interpoliert werden sollen dann fuhrt der Ansatz p x a 0 a 1 x 1 a 2 x 2 a n 1 x n 1 displaystyle p x a 0 a 1 x 1 a 2 x 2 cdots a n 1 x n 1 nbsp auf das lineare Gleichungssystem 1 x 1 x 1 2 x 1 n 1 1 x 2 x 2 2 x 2 n 1 1 x 3 x 3 2 x 3 n 1 1 x n x n 2 x n n 1 a 0 a k a n 1 f 1 f i f n displaystyle begin pmatrix 1 amp x 1 amp x 1 2 amp cdots amp x 1 n 1 1 amp x 2 amp x 2 2 amp cdots amp x 2 n 1 1 amp x 3 amp x 3 2 amp cdots amp x 3 n 1 vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots 1 amp x n amp x n 2 amp cdots amp x n n 1 end pmatrix cdot begin pmatrix a 0 vdots a k vdots a n 1 end pmatrix begin pmatrix f 1 vdots f i vdots f n end pmatrix nbsp mit einer Vandermonde Matrix als Koeffizientenmatrix Aus der oben genannten Eigenschaft der Vandermonde Determinante folgt daher insbesondere dass das Interpolationsproblem genau dann eindeutig losbar ist wenn alle Stutzstellen paarweise verschieden sind In der Standardbasis der Polynome ist die Matrix allerdings sehr schlecht konditioniert und die Auflosung mit Standardmethoden mit einer Laufzeit in O n 3 displaystyle O n 3 nbsp recht teuer weswegen man andere Darstellungen fur die Polynome wahlt Naheres bei Polynominterpolation und unten Weitere Eigenschaften BearbeitenFur paarweise verschiedene Stutzstellen diagonalisiert die Vandermonde Matrix V displaystyle V nbsp aus dem obigen Gleichungssystem die Begleitmatrix C displaystyle C nbsp des Polynoms p x i 1 n x x i b 0 b 1 x b n 1 x n 1 x n displaystyle p x prod i 1 n x x i b 0 b 1 x ldots b n 1 x n 1 x n nbsp es gilt V C V 1 d i a g x 1 x 2 x n displaystyle VCV 1 rm diag x 1 x 2 dots x n nbsp Fur grosse Anzahlen n displaystyle n nbsp kann man das Gleichungssystem oben auch uber den folgenden Zusammenhang losen durch den die Inverse der Vandermonde Matrix eng mit ihrer Transponierten verbunden ist Mit den eingefuhrten Polynomkoeffizienten bildet man die Hankel Matrix H b 1 b 2 b n 1 1 b 2 b 3 1 0 b n 1 1 0 1 0 0 displaystyle H begin pmatrix b 1 amp b 2 amp cdots amp b n 1 amp 1 b 2 amp b 3 amp cdots amp 1 amp 0 vdots amp amp cdot b n 1 amp 1 amp amp 0 1 amp 0 amp amp amp 0 end pmatrix nbsp und die Diagonalmatrix D diag p x i displaystyle D operatorname diag p x i nbsp Wenn alle Stutzstellen paarweise verschieden sind ist D displaystyle D nbsp regular Damit gilt V H V T D V 1 H V T D 1 displaystyle VHV T D quad V 1 HV T D 1 nbsp Literatur BearbeitenUwe Luther Karla Rost Matrix exponentials and inversion of confluent Vandermonde matrices In Electronic Transactions on Numerical Analysis Bd 18 2004 ISSN 1068 9613 S 91 100 Martin Hermann Numerische Mathematik Band 2 Analytische Probleme 4 uberarbeitete und erweiterte Auflage Walter de Gruyter Verlag Berlin und Boston 2020 ISBN 978 3 11 065765 4 Einzelnachweise Bearbeiten Christoph Ableitinger Angela Herrmann Lernen aus Musterlosungen zur Analysis und Linearen Algebra Ein Arbeits und Ubungsbuch 1 Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2011 ISBN 978 3 8348 1724 2 S 113 116 Weblinks BearbeitenWeisstein Eric W Vandermonde Matrix In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vandermonde Matrix amp oldid 238344229