Die Begleitmatrix ist eine spezielle Matrix die einem normierten Polynom zugeordnet werden kann Somit ist eine Begleitmatrix ein Objekt aus der linearen Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Anwendung 4 Einzelnachweise 5 LiteraturDefinition BearbeitenDie Begleitmatrix eines normierten Polynoms n displaystyle n nbsp ten Grades f x x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 displaystyle f x x n a n 1 x n 1 dots a 1 x a 0 nbsp uber einem Korper ist die quadratische n n displaystyle n times n nbsp Matrix 1 A f 0 0 0 a 0 1 0 0 a 1 0 1 a 2 0 0 0 1 a n 1 displaystyle A f begin pmatrix 0 amp 0 amp dots amp 0 amp a 0 1 amp 0 amp dots amp 0 amp a 1 0 amp 1 amp ddots amp vdots amp a 2 vdots amp ddots amp ddots amp 0 amp vdots 0 amp dots amp 0 amp 1 amp a n 1 end pmatrix nbsp Manchmal wird auch die transponierte Matrix von A f displaystyle A f nbsp verwendet was aber nichts Wesentliches andert Man nennt diese spezielle Form der Matrix dann auch Kardinalform Eigenschaften BearbeitenDas charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von A f displaystyle A f nbsp ist gerade f displaystyle f nbsp Andererseits ist eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp ahnlich zu der Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms von A displaystyle A nbsp genau dann wenn das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von A displaystyle A nbsp identisch sind 2 Hat das Polynom f displaystyle f nbsp genau n displaystyle n nbsp verschiedene Nullstellen l 1 l n displaystyle lambda 1 dots lambda n nbsp dann ist A f displaystyle A f nbsp diagonalisierbar V A f V 1 d i a g l 1 l n displaystyle VA f V 1 mathrm diag lambda 1 dots lambda n nbsp fur die Vandermonde Matrix V V l 1 l n displaystyle V V lambda 1 dots lambda n nbsp Hiervon gilt sogar die Umkehrung das heisst eine Begleitmatrix A f displaystyle A f nbsp ist genau dann diagonalisierbar wenn f displaystyle f nbsp genau g r a d f displaystyle mathrm grad f nbsp verschiedene Nullstellen hat Ein endlich dimensionaler Vektorraum ist genau dann zyklisch durch einen Endomorphismus erzeugt wenn eine Basis des Vektorraums existiert bezuglich der die Darstellende Matrix des Endomorphismus die Form einer Begleitmatrix hat 3 Im Falle der ebenfalls gebrauchlichen Definition des charakteristische Polynom als x A det A f l E n displaystyle chi A operatorname det A f lambda E n nbsp ist das Solche von A f displaystyle A f nbsp durch 1 n f displaystyle 1 n f nbsp gegeben Der Beweis erfolgt durch Laplace Entwicklung nach der letzten Spalte wobei sich das Ergebnis von der Normierten Definition des charakteristischen Polynoms nach der Multilinearitat der Determinante um den Faktor 1 n displaystyle 1 n nbsp unterscheidet Sei B A f l E n displaystyle B A f lambda E n nbsp Dann gilt x A det B i 1 n 1 n i b i n det B i n displaystyle chi A operatorname det B sum i 1 n 1 n i b in cdot operatorname det acute B in nbsp Fur alle i 1 n displaystyle i in 1 n nbsp ist B i n displaystyle acute B in nbsp in Blockgestalt alsoB i n C i 0 0 D i displaystyle acute B in begin pmatrix C i amp 0 0 amp D i end pmatrix nbsp mit C i l 0 1 l 0 1 l Mat i 1 K displaystyle C i begin pmatrix lambda amp amp amp 0 1 amp lambda amp amp amp ddots amp ddots amp 0 amp amp 1 amp lambda end pmatrix in operatorname Mat i 1 K nbsp D i 1 l 0 1 l 0 1 Mat n i K displaystyle D i begin pmatrix 1 amp lambda amp amp 0 amp 1 amp ddots amp amp amp ddots amp lambda 0 amp amp amp 1 end pmatrix in operatorname Mat n i K nbsp Mit dem Satz uber Determinanten von Blockmatrizen und Diagonalmatrizen folgt det B i n det C i det D i l i 1 displaystyle operatorname det acute B in operatorname det C i cdot operatorname det D i lambda i 1 nbsp Also gilt x A i 1 n 1 n i b i n det B i n i 1 n 1 1 n i a i 1 l i 1 1 2 n a n 1 l l n 1 i 1 n 1 n a i 1 l i 1 1 n l n 1 n i 1 n 1 a i l i l n 1 n f displaystyle begin aligned chi A amp sum i 1 n 1 n i b in cdot operatorname det acute B in amp left sum i 1 n 1 1 n i a i 1 cdot lambda i 1 right 1 2n a n 1 lambda cdot lambda n 1 amp left sum i 1 n 1 n a i 1 cdot lambda i 1 right 1 n cdot lambda n amp 1 n left left sum i 1 n 1 a i lambda i right lambda n right amp 1 n cdot f end aligned nbsp Anwendung BearbeitenBegleitmatrizen treten in der Normalformtheorie auf Die Existenz der Frobenius Normalform besagt dass jede Matrix ahnlich zu einer Blockdiagonalmatrix ist deren Blocke Begleitmatrizen sind Einzelnachweise Bearbeiten Hans Joachim Kowalsky Gerhard O Michler Lineare Algebra de Gruyter Berlin 2003 ISBN 3 11 017963 6 S 349 Roger A Horn Charles R Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press 1990 ISBN 978 0 521 38632 6 S 147 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Kenneth Hoffman Ray A Kunze Linear algebra 2 ed Auflage Prentice Hall Englewood Cliffs N J 1971 ISBN 978 0 13 536797 1 Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Lineare Algebra 5 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 55259 5 Kapitel 6 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Begleitmatrix amp oldid 237989808
