Der Hamel Oseen sche oder Lamb Oseen sche Wirbel von Carl Wilhelm Oseen Georg Hamel Horace Lamb im Folgenden einfach Oseen scher Wirbel ist ein mathematisches Modell einer Wirbelstromung eines linear viskosen inkompressiblen Fluids Das Geschwindigkeitsfeld von Stromungen solcher Fluide wird in der Stromungsmechanik mit den Navier Stokes Gleichungen beschrieben die vom Oseen schen Wirbel exakt erfullt werden Das Fluid stromt rein kreisformig jedoch zeitabhangig instationar um das Wirbelzentrum Die Viskositat zehrt die kinetische Energie des Wirbels vor allem in der sich ausbreitenden Zentralregion des Wirbels mit der Zeit auf und die Stromungsgeschwindigkeit nimmt monoton mit der Zeit ab Zu Beginn der Bewegung oder im Grenzfall verschwindender Viskositat ist der Wirbel ein Potentialwirbel Ansonsten ist das Geschwindigkeitsprofil des Oseen schen Wirbels beschrankt und entspricht im Wirbelzentrum sowie im Aussenbereich einem Rankine Wirbel Inhaltsverzeichnis 1 Umfangsgeschwindigkeit 2 Wirbelstarke 3 Druck 4 Kinetische Energie 5 Zirkulation 6 Schubverzerrungsgeschwindigkeit 7 Zeitverlaufe 8 Navier Stokes Gleichungen 9 Siehe auch 10 Fussnoten 11 Einzelnachweise 12 Literatur 13 WeblinksUmfangsgeschwindigkeit Bearbeiten nbsp Umfangsgeschwindigkeiten beim Oseen schen Wirbel zu verschiedenen Zeiten nbsp Umfangsgeschwindigkeit beim Oseen schen Wirbel im Vergleich mit der starren Rotation und dem PotentialwirbelIm Oseen schen Wirbel bewegen sich die Fluidelemente in der Wirbelebene kreisformig um das Wirbelzentrum Die beiden Abbildungen rechts geben einen Eindruck der Geschwindigkeitsverteilung als Funktion des Abstandes vom Zentrum Das obere Bild zeigt die Geschwindigkeitsverteilung zu verschiedenen Zeiten als Funktion des Radius G 0 2 p n 1 4 displaystyle Gamma 0 2 pi nu 1 4 nbsp s u Die schwarz gepunktete Kurve vmax verbindet die Punkte mit maximaler Umfangsgeschwindigkeit die den Kernradius markieren Die Umfangsgeschwindigkeit nimmt zeitlich besonders innerhalb des doppelten Kernradius ab Vor allem innerhalb dieser Kernregion die sich mit der Zeit ausdehnt wird kinetische Energie dissipiert Ausserhalb des Kernradius geht der Oseen sche Wirbel in den stationaren Potentialwirbel reibungsfreier Fluide uber schwarze Kurve im Bild wo keine Dissipation stattfindet Bei doppeltem Kernradius ist die Geschwindigkeitsabweichung vom Potentialwirbel bereits auf 2 geschrumpft Fur die mathematische Beschreibung des Oseen schen Wirbels wird ein Zylinderkoordinatensystem benutzt Die Stromung ist dann nur von der radialen Koordinate r und der Zeit t abhangig und besitzt die Umfangsgeschwindigkeit v f G 0 2 p r 1 e r 2 4 n t G 0 4 p n t 1 e q 2 q mit q r r 0 r 0 2 n t displaystyle v varphi frac Gamma 0 2 pi r left 1 e frac r 2 4 nu t right frac Gamma 0 4 pi sqrt nu t frac 1 e q 2 q quad text mit quad q frac r r 0 r 0 2 sqrt nu t nbsp Der Materialparameter n ist die kinematische Viskositat Dimension L2T 1 Luft 14 mm s Wasser 1 mm s G 0 displaystyle Gamma 0 nbsp ein mit derselben Dimension versehener Parameter der die Stromungsgeschwindigkeit kontrolliert der Nenner r 0 displaystyle r 0 nbsp ist der Kernradius des Rankine Wirbels der sich zu einer gegebenen Zeit t an den Oseen schen Wirbel anschmiegt und ex bezeichnet die e Funktion Die Geschwindigkeitsverteilungen der starren Rotation des Potentialwirbels was beides zusammen den Rankine Wirbel ergibt und des Oseen schen Wirbels sind in der unteren Abbildung rechts fur den Fall r 0 G 0 2 p 1 displaystyle r 0 frac Gamma 0 2 pi 1 nbsp dargestellt Der Kernradius eines Wirbels ist derjenige Radius bei dem das Geschwindigkeitsmaximum auftritt Im Geschwindigkeitsmaximum muss zu einer bestimmten Zeit t die Ableitung q 1 e q 2 q 2 q 2 e q 2 e q 2 1 q 2 displaystyle frac partial partial q frac 1 e q 2 q frac 2q 2 e q 2 e q 2 1 q 2 nbsp verschwinden was bei q 1 121 displaystyle q 1 121 nbsp naherungsweise der Fall ist Die maximale Geschwindigkeit v f max 0 051 G 0 n t 0 102 G 0 r 0 displaystyle v varphi max 0 051 frac Gamma 0 sqrt nu t 0 102 frac Gamma 0 r 0 nbsp tritt im Radius r k 1 121 r 0 2 242 n t displaystyle r k 1 121r 0 2 242 sqrt nu t nbsp auf Dies ist der Kernradius des Oseen schen Wirbels Die Grenzwerte lim q 0 1 e q 2 q 0 und lim q 0 2 q 2 e q 2 e q 2 1 q 2 1 displaystyle lim q to 0 frac 1 e q 2 q 0 quad text und quad lim q to 0 frac 2q 2 e q 2 e q 2 1 q 2 1 nbsp existieren und daher nimmt zu einer bestimmten Zeit im Zentrum des Wirbels v f displaystyle v varphi nbsp linear mit dem Radius zu v f r r 0 v f q q 0 d q d r G 0 4 p n t 1 r 0 G 0 8 p n t v f s G 0 8 p n t r G 0 2 p r 0 2 r displaystyle left frac partial v varphi partial r right r 0 left frac partial v varphi partial q right q 0 frac mathrm d q mathrm d r frac Gamma 0 4 pi sqrt nu t frac 1 r 0 frac Gamma 0 8 pi nu t quad Rightarrow quad v varphi s frac Gamma 0 8 pi nu t r frac Gamma 0 2 pi r 0 2 r nbsp Die Geschwindigkeitsverteilung v f s displaystyle v varphi s nbsp entspricht einer starren Rotation In einem grosseren Abstand vom Zentrum r r 0 displaystyle r gg r 0 nbsp ist die Umfangsgeschwindigkeit etwa die des Potentialwirbels v f p G 0 2 p r displaystyle v varphi p frac Gamma 0 2 pi r nbsp An der Stelle r r 0 displaystyle r r 0 nbsp sind die Umfangsgeschwindigkeiten der starren Rotation und des Potentialwirbels gleich und diese Stelle ist wie oben gesagt der Kernradius des Rankine Wirbels Unter Berucksichtigung der Einheiten ergibt sich bei einem Kernradius r k 0 16 m displaystyle r k 0 16 mathrm m nbsp und einer Zirkulation G 0 1 4 m 2 s displaystyle Gamma 0 1 4 frac mathrm m 2 mathrm s nbsp eine maximale Umfangsgeschwindigkeit v f max 1 m s displaystyle v varphi max 1 frac mathrm m mathrm s nbsp so dass die Fluidelemente das Zentrum einmal pro Sekunde umrunden Im Abstand von 50 Zentimetern ware die Umfangsgeschwindigkeit bereits auf v f v f p 0 5 m 0 46 m s displaystyle v varphi approx v varphi p 0 5 mathrm m 0 46 frac mathrm m mathrm s nbsp abgesunken so dass Fluidelemente in diesem Abstand das Zentrum nur alle sieben Sekunden einmal umrunden Wirbelstarke Bearbeiten nbsp Wirbelstarke uber den Radius zu verschiedenen Zeiten die Wirbelstarke des zur Zeit t 1 gehorenden Rankine Wirbels ist schwarz gezeichnet Die Wirbelstarke in einer ebenen Stromung ist das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit der Fluidelemente um sich selbst Bei einer ebenen Stromung hat die Wirbelstarke nur eine Komponente senkrecht zur Ebene und somit kann sie als Skalarfeld behandelt werden Beim Oseen schen Wirbel lautet die Wirbelstarke w G 0 4 p n t e r 2 4 n t G 0 p r 0 2 e r 2 r 0 2 displaystyle omega frac Gamma 0 4 pi nu t e frac r 2 4 nu t frac Gamma 0 pi r 0 2 e frac r 2 r 0 2 nbsp Dies ergibt sich aus der Geschwindigkeit v v f e f displaystyle vec v v varphi hat e varphi nbsp und deren Rotation in Zylinderkoordinaten rot v f r t e f 1 r r r v f e z v f r v f r e z w e z w G 0 2 p r 2 1 e r 2 4 n t G 0 2 p r 2 1 e r 2 4 n t G 0 2 p r 2 r 4 n t e r 2 4 n t G 0 4 p n t e r 2 4 n t displaystyle begin aligned operatorname rot v varphi r t hat e varphi amp frac 1 r frac partial partial r left r v varphi right hat e z left frac v varphi r frac partial v varphi partial r right hat e z omega hat e z rightarrow omega amp frac Gamma 0 2 pi r 2 left 1 e frac r 2 4 nu t right frac Gamma 0 2 pi r 2 left 1 e frac r 2 4 nu t right frac Gamma 0 2 pi r frac 2r 4 nu t e frac r 2 4 nu t frac Gamma 0 4 pi nu t e frac r 2 4 nu t end aligned nbsp Fur n t 0 displaystyle nu t rightarrow 0 nbsp geht die Wirbelstarke in das Dirac Delta uber was zu einem Potentialwirbel passt L 1 Die Ableitung der Wirbelstarke nach dem Radius berechnet sich zu w r G 0 r 8 p n 2 t 2 e r 2 4 n t displaystyle frac partial omega partial r frac Gamma 0 r 8 pi nu 2 t 2 e frac r 2 4 nu t nbsp Bei r 0 displaystyle r 0 nbsp verschwindet diese Ableitung und die Wirbelstarke ist gleich der doppelten Drehgeschwindigkeit v f r r 0 displaystyle partial v varphi partial r r 0 nbsp im Zentrum Im Zentrum findet also eine starre Rotation statt Fur r displaystyle r to infty nbsp geht die Wirbelstarke gegen null weswegen sich auch hier der Potential und Rankine Wirbel an den Oseen schen Wirbel anschmiegen Druck Bearbeiten nbsp Druckverteilung im Oseen schen Wirbel bei p 0 displaystyle p infty 0 nbsp Der Druckgradient in einem kreisformig stromenden Wirbel gleicht gerade die Zentrifugalkraft aus so dass die Fluidelemente im Kreis stromen was sich in Zylinderkoordinaten aus den Navier Stokes Gleichungen ergibt siehe unten und im Oseen schen Wirbel auf die Bedingung p r r v f 2 r r G 0 2 4 p 2 1 r 3 1 e r 2 4 n t 2 displaystyle frac partial p partial r rho frac v varphi 2 r frac rho Gamma 0 2 4 pi 2 frac 1 r 3 left 1 e frac r 2 4 nu t right 2 nbsp hinaus lauft Unter Verwendung der Integralexponentialfunktion Ei mit den Eigenschaften E i x x e s s d s d E i x e x x d x d E i x d x e x x displaystyle mathrm Ei x int infty x frac e s s mathrm d s quad Rightarrow quad mathrm d mathrm Ei x frac e x x mathrm d x quad Leftrightarrow quad frac mathrm d mathrm Ei x mathrm d x frac e x x nbsp kann die obige Ableitung geschlossen integriert werden mit dem Ergebnis p p z 4 n t r 2 1 e r 2 4 n t 2 2 E i r 2 4 n t 2 E i 2 r 2 4 n t p mit p z r G 0 2 32 p 2 n t displaystyle p p z left frac 4 nu t r 2 left 1 e frac r 2 4 nu t right 2 2 mathrm Ei left frac r 2 4 nu t right 2 mathrm Ei left 2 frac r 2 4 nu t right right p infty quad text mit quad p z frac rho Gamma 0 2 32 pi 2 nu t nbsp Die Integrationskonstante p displaystyle p infty nbsp ist der Druck im unendlich fernen Aussenbereich Im Zentrum herrscht der Druck p r 0 p 2 ln 2 p z displaystyle p r 0 p infty 2 ln 2 p z nbsp Beweis Mit den Abkurzungen r 0 2 4 n t displaystyle r 0 2 4 nu t nbsp undq r 2 4 n t r 2 r 0 2 q 2 r r 0 2 q 2 q 2 r 0 2 r 3 displaystyle q frac r 2 4 nu t frac r 2 r 0 2 rightarrow q frac 2r r 0 2 rightarrow frac q 2q 2 frac r 0 2 r 3 nbsp schreibt sich der Druck alsp 2 p z 1 2 q 1 e q 2 E i q E i 2 q p 2 p z displaystyle frac p 2p z frac 1 2q left 1 e q right 2 mathrm Ei left q right mathrm Ei left 2q right frac p infty 2p z nbsp Es berechnet sich1 2 p z p r q 2 q 2 1 e q 2 1 q 1 e q q e q e q q q e 2 q 2 q 2 q 0 r 0 2 r 3 1 e r 2 r 0 2 2 p r 2 p z r 0 2 r 3 1 e r 2 r 0 2 2 r G 0 2 4 p 2 r 3 1 e r 2 4 n t 2 displaystyle begin aligned frac 1 2p z frac partial p partial r amp frac q 2q 2 left 1 e q right 2 underbrace frac 1 q left 1 e q right q e q frac e q q cdot q frac e 2q 2q cdot 2q 0 frac r 0 2 r 3 left 1 e frac r 2 r 0 2 right 2 rightarrow frac partial p partial r amp 2p z frac r 0 2 r 3 left 1 e frac r 2 r 0 2 right 2 frac rho Gamma 0 2 4 pi 2 r 3 left 1 e frac r 2 4 nu t right 2 end aligned nbsp Fur kleine Argumente x 1 displaystyle x ll 1 nbsp ergibt sich der Wert der Integralexponentialfunktion mit ihrer Reihenentwicklung zuE i x g ln x k 1 x k k k g ln x O x displaystyle mathrm Ei x gamma ln x sum k 1 infty frac x k k cdot k gamma ln x mathcal O x nbsp worin O x displaystyle mathcal O x nbsp das Landau Symbol fur Werte ist die bei x 1 displaystyle x ll 1 nbsp nicht wesentlich schneller als x wachsen und gegenuber einer Konstanten z B der Euler Mascheroni Konstante g 0 577 2 displaystyle gamma approx 0 5772 nbsp vernachlassigt werden konnen So berechnet sich lim q 0 E i q E i 2 q lim q 0 g ln q g ln 2 q O q lim q 0 ln q ln 2 ln q ln 2 displaystyle begin aligned lim q to 0 mathrm Ei q mathrm Ei 2q amp lim q to 0 gamma ln q gamma ln 2q mathcal O q amp lim q to 0 ln q ln 2 ln q ln 2 end aligned nbsp Mit dem Grenzwert lim q 0 1 e q 2 q 0 displaystyle lim q to 0 1 e q 2 q 0 nbsp folgt der Druckp r 0 p 2 ln 2 p z displaystyle p r 0 p infty 2 ln 2 p z nbsp im Zentrum Das Bild zeigt die Druckverteilung bei einem verschwindenden Aussendruck Der Faktor 4 n t r 2 p z displaystyle frac 4 nu t r 2 p z nbsp ist der Druck im Potentialwirbel der sich an den Oseen schen Wirbel anschmiegt blaue Kurve v f p G 2 p r p p r r v f p 2 r r G 2 4 p 2 r 3 p p p r G 2 8 p 2 r 2 4 n t r 2 p z p z r 0 2 r 2 displaystyle v varphi p frac Gamma 2 pi r quad rightarrow quad frac partial p p partial r rho frac v varphi p 2 r frac rho Gamma 2 4 pi 2 r 3 quad rightarrow quad p p p infty frac rho Gamma 2 8 pi 2 r 2 frac 4 nu t r 2 p z p z frac r 0 2 r 2 nbsp Wieder deutet der Druck im Zentrum auf eine starre Rotation hin denn bei dieser ist die Umfangsgeschwindigkeit v f s displaystyle v varphi s nbsp proportional zum Radius v f s G 0 2 p r 0 2 r p s r r v f s 2 r r G 0 2 4 p 2 r 0 4 r p s p 0 r G 0 2 8 p 2 r 0 2 r 2 r 0 2 p z r 2 r 0 2 displaystyle v varphi s frac Gamma 0 2 pi r 0 2 r quad rightarrow quad frac partial p s partial r rho frac v varphi s 2 r frac rho Gamma 0 2 4 pi 2 r 0 4 r quad rightarrow quad p s p 0 frac rho Gamma 0 2 8 pi 2 r 0 2 frac r 2 r 0 2 p z frac r 2 r 0 2 nbsp weswegen der Druckverlauf dann uber dem Radius parabelformig ist rote Kurve im Bild Kinetische Energie Bearbeiten nbsp Kinetische Energie des Fluids als Funktion der Vielfachheit des KernradiusDie kinetische Energie des Fluids innerhalb eines vielfachen des Kernradius des Rankine Wirbels ist weder vom Kernradius noch von der Zeit abhangig solange die Vielfachheit beibehalten wird E k n r 0 0 n r 0 r 2 v f 2 2 p r d r r G 0 2 8 p ln n 2 2 2 E i n 2 E i 2 n 2 g displaystyle E text k nr 0 int 0 nr 0 frac rho 2 v varphi 2 2 pi r mathrm d r frac rho Gamma 0 2 8 pi left ln left frac n 2 2 right 2 mathrm Ei n 2 mathrm Ei 2n 2 gamma right nbsp Der Wert in den eckigen Klammern ist mit der Euler Mascheroni Konstante g 0 577 2 displaystyle gamma approx 0 5772 nbsp nur eine Funktion des Faktors n siehe die Abbildung rechts Die kinetische Energie des Fluids innerhalb des sich ausweitenden Radius n r 0 2 n n t displaystyle nr 0 2n sqrt nu t nbsp ist bei festgehaltenem Verhaltnis n mithin uber die Zeit konstant Umgekehrt heisst das Die kinetische Energie der in einem Zeitintervall von einem Kreis mit n fachem Kernradius neu eingenommenen Fluidelemente wird in diesem Zeitintervall innerhalb des Kreises dissipiert Beweis Mit der Umfangsgeschwindigkeit v f G 0 2 p r 1 e r 2 4 n t displaystyle v varphi frac Gamma 0 2 pi r left 1 e frac r 2 4 nu t right nbsp ergibt sich die kinetische Energie des Fluids innerhalb eines Vielfachen des Rankine Kernradius zu E k n r 0 0 n r 0 r 2 v f 2 2 p r d r r G 0 2 4 p 0 n r 0 1 r 1 e r 2 r 0 2 2 d r r G 0 2 4 p ln r r 0 E i r 2 r 0 2 1 2 E i 2 r 2 r 0 2 0 n r 0 displaystyle E text k nr 0 int 0 nr 0 frac rho 2 v varphi 2 2 pi r mathrm d r frac rho Gamma 0 2 4 pi int 0 nr 0 frac 1 r left 1 e frac r 2 r 0 2 right 2 mathrm d r frac rho Gamma 0 2 4 pi left ln left frac r r 0 right mathrm Ei left frac r 2 r 0 2 right frac 1 2 mathrm Ei left 2 frac r 2 r 0 2 right right 0 nr 0 nbsp denn die Funktionf r ln r r 0 E i r 2 r 0 2 1 2 E i 2 r 2 r 0 2 displaystyle f r ln left frac r r 0 right mathrm Ei left frac r 2 r 0 2 right frac 1 2 mathrm Ei left 2 frac r 2 r 0 2 right nbsp ist tatsachlich die gesuchte Stammfunktion d d r f r r 0 r 1 r 0 e r 2 r 0 2 r 2 r 0 2 2 r r 0 2 1 2 e 2 r 2 r 0 2 2 r 2 r 0 2 4 r r 0 2 1 r 1 e r 2 r 0 2 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d r f r frac r 0 r frac 1 r 0 frac e frac r 2 r 0 2 frac r 2 r 0 2 cdot left 2 frac r r 0 2 right frac 1 2 frac e 2 frac r 2 r 0 2 2 frac r 2 r 0 2 cdot left 4 frac r r 0 2 right frac 1 r left 1 e frac r 2 r 0 2 right 2 nbsp An der unteren Grenze ergibt sich fur die benotigten kleinen quadratischen Argumente der Wert der Integralexponentialfunktion mit ihrer Reihenentwicklung zuE i x g ln x k 1 x k k k g ln x O x displaystyle mathrm Ei x gamma ln x sum k 1 infty frac x k k cdot k gamma ln x mathcal O x nbsp worin O x displaystyle mathcal O x nbsp das Landau Symbol fur Werte ist die bei x 1 displaystyle x ll 1 nbsp nicht wesentlich schneller als x wachsen und gegenuber einer Konstanten z B der Euler Mascheroni Konstante g 0 577 2 displaystyle gamma approx 0 5772 nbsp vernachlassigt werden konnen Somit ergibt sich lim r 0 f r lim r 0 ln r r 0 E i r 2 r 0 2 1 2 E i 2 r 2 r 0 2 lim r 0 ln r r 0 g ln r 2 r 0 2 1 2 g 1 2 ln 2 r 2 r 0 2 O r 2 1 2 ln 2 g lim r 0 ln r r 0 2 ln r r 0 ln r r 0 0 f 0 1 2 ln 2 g displaystyle begin aligned lim r to 0 f r amp lim r to 0 left ln left frac r r 0 right mathrm Ei left frac r 2 r 0 2 right frac 1 2 mathrm Ei left 2 frac r 2 r 0 2 right right amp lim r to 0 left ln left frac r r 0 right gamma ln left frac r 2 r 0 2 right frac 1 2 gamma frac 1 2 ln left 2 frac r 2 r 0 2 right mathcal O r 2 right amp frac 1 2 ln 2 gamma lim r to 0 bigg underbrace ln left frac r r 0 right 2 ln left frac r r 0 right ln left frac r r 0 right 0 bigg Rightarrow f 0 amp frac 1 2 ln 2 gamma end aligned nbsp Der Wert der Stammfunktion bei r n r 0 displaystyle r nr 0 nbsp ist wegen f n r 0 ln n E i n 2 1 2 E i 2 n 2 displaystyle f nr 0 ln n mathrm Ei n 2 frac 1 2 mathrm Ei 2n 2 nbsp nur eine Funktion des Faktors n Mit diesen Ergebnissen berechnet sich die kinetische Energie wie angekundigt zuE k r G 0 2 4 p f r 0 n r 0 r G 0 2 4 p f n r 0 f 0 r G 0 2 8 p ln n 2 2 2 E i n 2 E i 2 n 2 g displaystyle E text k frac rho Gamma 0 2 4 pi f r 0 nr 0 frac rho Gamma 0 2 4 pi f nr 0 f 0 frac rho Gamma 0 2 8 pi left ln left frac n 2 2 right 2 mathrm Ei n 2 mathrm Ei 2n 2 gamma right nbsp Zirkulation Bearbeiten nbsp Zirkulation im Oseen schen WirbelEin Mass fur die Drehgeschwindigkeit in einem Fluid ist die Zirkulation die das Kurvenintegral der Geschwindigkeit entlang eines geschlossenen Weges ist Entlang eines Kreises K mit Radius r berechnet sich G K v d r 0 2 p v f r d f 2 p r v f G 0 1 e r 2 4 n t displaystyle Gamma oint K vec v cdot mathrm d vec r int 0 2 pi v varphi r mathrm d varphi 2 pi rv varphi Gamma 0 left 1 e frac r 2 4 nu t right nbsp Der Funktionsverlauf ist im Bild rechts dargestellt r 0 2 n t displaystyle r 0 2 sqrt nu t nbsp In weiter Ferne vom Wirbelzentrum r r 0 displaystyle r r 0 to infty nbsp nahert sich die Zirkulation dem Parameter G0 an der die uber den Radius konstante Zirkulation des Potentialwirbels ist blaue Linie der sich an den Oseen schen Wirbel aussen anschmiegt Im Abstand des doppelten Kernradius weicht die Zirkulation nur noch um 2 vom Parameter G 0 displaystyle Gamma 0 nbsp ab Die Zeitabhangigkeit der Zirkulation widerspricht dem Kelvin schen Wirbelsatz fur reibungsfreie Fluide und dieser Widerspruch lost sich mit n 0 displaystyle nu to 0 nbsp auf Im Zentrum ist die Geschwindigkeit proportional zum Radius und dann lautet die Zirkulation v f s G 0 8 p n t r G s 0 2 p v f s r d f 2 p G 0 8 p n t r 2 G 0 r 2 r 0 2 displaystyle v varphi s frac Gamma 0 8 pi nu t r quad rightarrow quad Gamma s int 0 2 pi v varphi s r mathrm d varphi 2 pi frac Gamma 0 8 pi nu t r 2 Gamma 0 frac r 2 r 0 2 nbsp Sie ist im Bild rot gezeichnet Zur Zeit t 0 startet der Wirbel mit der Zirkulation G0 die in einem vorgegebenen Abstand mit fortschreitender Zeit gegen null geht weil die Viskositat vor allem im Wirbelkern die kinetische Energie aufzehrt und sich der Kernradius r0 mit der Zeit ausdehnt Bei festgehaltenem Verhaltnis n r r 0 displaystyle n r r 0 nbsp ist die Zirkulation uber die Zeit konstant oder anders ausgedruckt weiten sich die Kreise bei festgehaltener Zirkulation wie der Kernradius mit der Zeit aus Schubverzerrungsgeschwindigkeit Bearbeiten nbsp Umfangs und Verzerrungsgeschwindigkeit im Oseen schen WirbelDie Schubverzerrungsgeschwindigkeit im Fluid ergibt sich gemass g r f 2 e r d e f displaystyle dot gamma r varphi 2 hat e r cdot mathbf d cdot hat e varphi nbsp aus dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten grad v displaystyle operatorname grad vec v nbsp ist In den hier verwendeten Zylinderkoordinaten berechnet sich der Gradient zu F 1 grad v e f v f r e r v f r e r e f e f G 0 2 p r 2 1 e r 2 4 n t G 0 2 p r e r 2 4 n t 2 r 4 n t e r G 0 2 p r 2 1 e r 2 4 n t e r e f d 1 2 grad v grad v G 0 8 p n t 1 4 n t r 2 e r 2 4 n t G 0 2 p r 2 e r e f e f e r g r f 2 e r d e f G 0 4 p n t 1 4 n t r 2 e r 2 4 n t G 0 p r 2 G 0 4 p n t 1 r 0 2 r 2 e r 2 r 0 2 r 0 2 r 2 displaystyle begin aligned operatorname grad vec v amp hat e varphi otimes frac partial v varphi partial r hat e r frac v varphi r hat e r otimes hat e varphi amp hat e varphi otimes left frac Gamma 0 2 pi r 2 left 1 e frac r 2 4 nu t right frac Gamma 0 2 pi r e frac r 2 4 nu t cdot left frac 2r 4 nu t right right hat e r frac Gamma 0 2 pi r 2 left 1 e frac r 2 4 nu t right hat e r otimes hat e varphi rightarrow mathbf d amp frac 1 2 operatorname grad vec v operatorname grad vec v top left frac Gamma 0 8 pi nu t left 1 frac 4 nu t r 2 right e frac r 2 4 nu t frac Gamma 0 2 pi r 2 right hat e r otimes hat e varphi hat e varphi otimes hat e r rightarrow dot gamma r varphi amp 2 hat e r cdot mathbf d cdot hat e varphi frac Gamma 0 4 pi nu t left 1 frac 4 nu t r 2 right e frac r 2 4 nu t underline frac Gamma 0 pi r 2 frac Gamma 0 4 pi nu t left left 1 frac r 0 2 r 2 right e frac r 2 r 0 2 frac r 0 2 r 2 right end aligned nbsp Das Superskript displaystyle top nbsp kennzeichnet die Transposition und das Rechenzeichen displaystyle otimes nbsp bildet das dyadischen Produkt Bei der starren Rotation tritt keine Schubverzerrung auf g r f s 0 displaystyle dot gamma r varphi s 0 nbsp und der in obiger Formel unterstrichene Term ist die Schubverzerrungsgeschwindigkeit g r f p displaystyle dot gamma r varphi p nbsp im Potentialwirbel siehe Bild Die maximale Schubverzerrungsgeschwindigkeit tritt dort auf wo ihre Steigung null ist d d r g r f 0 q q 1 e q e q 1 0 mit q r 2 r 0 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d r dot gamma r varphi stackrel displaystyle 0 quad rightarrow quad q q 1 e q e q 1 0 quad text mit quad q frac r 2 r 0 2 nbsp Das ist bei r m 1 339 r 0 2 678 n t displaystyle r m 1 339 r 0 2 678 sqrt nu t nbsp naherungsweise der Fall Die maximale Schubverzerrungsgeschwindigkeit zeigt sich also beim etwa 1 2 fachen des Kernradius r k 1 121 r 0 displaystyle r k 1 121 r 0 nbsp Bemerkung Der schiefsymmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ist der Wirbeltensor w 1 2 grad v grad v G 0 8 p n t e r 2 4 n t e r e f e f e r displaystyle mathbf w frac 1 2 operatorname grad vec v operatorname grad vec v top frac Gamma 0 8 pi nu t e frac r 2 4 nu t hat e r otimes hat e varphi hat e varphi otimes hat e r nbsp dd dessen dualer Vektor W displaystyle vec Omega nbsp definiert uber W u w u u displaystyle vec Omega times vec u mathbf w cdot vec u quad forall vec u nbsp die Winkelgeschwindigkeit oder die halbe Wirbelstarke ist W 1 2 G 0 8 p n t e r 2 4 n t e r e f e f e r G 0 8 p n t e r 2 4 n t e z 1 2 w displaystyle vec Omega frac 1 2 left frac Gamma 0 8 pi nu t e frac r 2 4 nu t hat e r times hat e varphi hat e varphi times hat e r right frac Gamma 0 8 pi nu t e frac r 2 4 nu t hat e z frac 1 2 vec omega nbsp dd Zeitverlaufe Bearbeiten nbsp Geschwindigkeit Wirbelstarke Druck und Schubverzerrungsgeschwindigkeit eines Fluidelements uber die ZeitIn den vorangegangenen Abschnitten wurden die Verlaufe der Grossen zu einer bestimmten Zeit als Funktion des Radius beleuchtet In diesem Abschnitt soll der Zeitverlauf bei einem bestimmten Radius in den Blick geruckt werden Der Kernradius dehnt sich mit der Zeit aus Sei t r r 2 4 n displaystyle t r frac r 2 4 nu nbsp die Kernzeit die verstreicht bis der Rankine Kernradius auf eine vorgegebene Grosse r angewachsen ist Die Kernzeit nimmt mit dem Quadrat des Radius zu Die Geschwindigkeit eines Fluidelementes in einem bestimmten Abstand r vom Zentrum ist v f G 0 2 p r 1 e r 2 4 n t v f p 1 e t r t v f v f p 1 e t r t displaystyle v varphi frac Gamma 0 2 pi r left 1 e frac r 2 4 nu t right v varphi p left 1 e frac t r t right quad rightarrow quad frac v varphi v varphi p 1 e frac t r t nbsp Bis t t r 4 displaystyle t t r 4 nbsp weicht die Umfangsgeschwindigkeit um maximal 2 von der des Potentialwirbels ab Danach nimmt die Geschwindigkeit rasch ab siehe die rote Kurve im Bild Das Verhaltnis der Zirkulation zu G 0 displaystyle Gamma 0 nbsp hat bei einem gegebenen Radius denselben Zeitverlauf Bei einem festen Radius r nimmt die Wirbelstarke zunachst zu und spater wieder ab und durchlauft dazwischen ein Maximum Anfangs ist die Rotation geringer weil sich das Fluidelement etwa wie im rotationsfreien Potentialwirbel bewegt dann nimmt sie auf Grund von Reibeffekten zu und spater wenn das Fluidelement innerhalb des Kernradius ist nimmt die Wirbelstarke wegen der Aufzehrung der kinetischen Energie wieder ab Im Maximum verschwindet die Zeitableitung w displaystyle dot omega nbsp der Wirbelstarke w G 0 4 p n t 2 e r 2 4 n t r 2 4 n t 2 G 0 4 p n t e r 2 4 n t G 0 4 p n t 2 e r 2 4 n t r 2 4 n t 1 0 r 2 4 n t t r t 1 displaystyle dot omega frac Gamma 0 4 pi nu t 2 e frac r 2 4 nu t frac r 2 4 nu t 2 frac Gamma 0 4 pi nu t e frac r 2 4 nu t frac Gamma 0 4 pi nu t 2 e frac r 2 4 nu t left frac r 2 4 nu t 1 right 0 quad rightarrow quad frac r 2 4 nu t frac t r t 1 nbsp Die Wirbelstarke kann mit der Kernzeit ausgedruckt werden und so ihr Maximum dargestellt werden w G 0 4 p n t e r 2 4 n t G 0 4 p n t r t r t e t r t G 0 p r 2 t r t e t r t w max G 0 p e r 2 displaystyle omega frac Gamma 0 4 pi nu t e frac r 2 4 nu t frac Gamma 0 4 pi nu t r frac t r t e frac t r t frac Gamma 0 pi r 2 frac t r t e frac t r t quad rightarrow quad omega max frac Gamma 0 pi er 2 nbsp Das Verhaltnis der Wirbelstarke zu ihrem Maximum bei gegebenem Radius r grune Kurve im Bild ist demnach w w max G 0 p r 2 p e r 2 G 0 t r t e t r t t r t e 1 t r t displaystyle frac omega omega max frac Gamma 0 pi r 2 frac pi er 2 Gamma 0 frac t r t e frac t r t frac t r t e 1 frac t r t nbsp Bei t t r displaystyle t t r nbsp wenn das Fluidelement auf dem Rankine Kernradius liegt rotiert es am schnellsten um sich selbst Der Druck Zeit Verlauf blaue Kurve im Bild ergibt sich aus p p p r 1 e t r t 2 2 t r t E i t r t 2 t r t E i 2 t r t mit p r r G 0 2 8 p 2 r 2 4 n t r 2 p z t t r p z displaystyle frac p infty p p r left 1 e frac t r t right 2 2 frac t r t mathrm Ei left frac t r t right 2 frac t r t mathrm Ei left 2 frac t r t right quad text mit quad p r frac rho Gamma 0 2 8 pi 2 r 2 frac 4 nu t r 2 p z frac t t r p z nbsp Fur t displaystyle t to infty nbsp folgt aus der Reihenentwicklung der Integralexponentialfunktion E i x g ln x k 1 x k k k lim x 0 E i 2 x E i x lim x 0 g ln 2 x k 1 2 x k k k g ln x k 1 x k k k lim x 0 ln 2 ln x ln x ln 2 displaystyle begin aligned mathrm Ei x amp gamma ln x sum k 1 infty frac x k k cdot k Rightarrow lim x to 0 mathrm Ei 2x mathrm Ei x amp lim x to 0 left gamma ln 2x sum k 1 infty frac 2x k k cdot k gamma ln x sum k 1 infty frac x k k cdot k right amp lim x to 0 ln 2 ln x ln x ln 2 end aligned nbsp Daher geht die Druckdifferenz p p displaystyle p infty p nbsp mit der Zeit gegen null Die Schubverzerrungsgeschwindigkeit uber die Zeit orange Kurve im Bild ergibt sich zu g r f G 0 p r 2 t r t 1 t t r e t r t 1 g r f g r f p 1 t r t 1 t t r e t r t displaystyle dot gamma r varphi frac Gamma 0 pi r 2 left frac t r t left 1 frac t t r right e frac t r t 1 right quad rightarrow quad frac dot gamma r varphi dot gamma r varphi p 1 frac t r t left 1 frac t t r right e frac t r t nbsp Navier Stokes Gleichungen BearbeitenDass die Modellgleichungen des Oseen schen Wirbels die Navier Stokes Gleichungen erfullen lasst sich an den Gleichungen fur ein dichtebestandiges Fluid ohne Schwerefeld in Zylinderkoordinaten nachweisen Unter diesen Umstanden lauten die Navier Stokes Gleichungen wenn alle Variablen nur vom Radius oder der Zeit abhangen und die Bewegung rein kreisend ist v v f r t e f displaystyle vec v v varphi r t hat e varphi nbsp L 2 v f 2 r 1 r p r v f t n D v f v f r 2 n r v f r n 2 v f r 2 n v f r 2 displaystyle begin aligned frac v varphi 2 r amp frac 1 rho frac partial p partial r frac partial v varphi partial t amp nu left Delta v varphi frac v varphi r 2 right frac nu r frac partial v varphi partial r nu frac partial 2 v varphi partial r 2 nu frac v varphi r 2 end aligned nbsp Aus der ersten Gleichung berechnete sich oben der Druck Die zweite Gleichung wird mit dem angegebenen Geschwindigkeitsfeld v f G 0 2 p r 1 e r 2 4 n t displaystyle v varphi frac Gamma 0 2 pi r left 1 e frac r 2 4 nu t right nbsp erfullt was mit v f t G 0 r 8 p n t 2 e r 2 4 n t v f r G 0 2 p r 2 1 e r 2 4 n t G 0 4 p n t e r 2 4 n t 2 v f r 2 G 0 p r 3 1 e r 2 4 n t G 0 4 p n r t e r 2 4 n t G 0 r 8 p n 2 t 2 e r 2 4 n t displaystyle begin aligned frac partial v varphi partial t amp frac Gamma 0 r 8 pi nu t 2 e frac r 2 4 nu t frac partial v varphi partial r amp frac Gamma 0 2 pi r 2 left 1 e frac r 2 4 nu t right frac Gamma 0 4 pi nu t e frac r 2 4 nu t frac partial 2 v varphi partial r 2 amp frac Gamma 0 pi r 3 left 1 e frac r 2 4 nu t right frac Gamma 0 4 pi nu rt e frac r 2 4 nu t frac Gamma 0 r 8 pi nu 2 t 2 e frac r 2 4 nu t end aligned nbsp nachgewiesen werden kann In Zylinderkoordinaten ergibt sich aus div v div v f e f 1 r r r v r 1 r v f f v z z 0 displaystyle operatorname div vec v operatorname div v varphi hat e varphi frac 1 r frac partial partial r rv r frac 1 r frac partial v varphi partial varphi frac partial v z partial z 0 nbsp die Divergenzfreiheit der Wirbelstromung die uber die Massenbilanz r r div v r 0 displaystyle dot rho rho operatorname div vec v dot rho 0 nbsp eine zeitlich konstante Dichte bedingt die wiederum im Einklang mit der Inkompressibilitat des Fluids ist Siehe auch BearbeitenVerzerrungstensorFussnoten Bearbeiten In Zylinderkoordinaten berechnet sich der Gradient eines Vektorfeldes gemassgrad f e r grad f r f r r e f e f e f grad f f f f r e r e f e z grad f z displaystyle operatorname grad vec f hat e r otimes operatorname grad f r frac f r r hat e varphi otimes hat e varphi hat e varphi otimes operatorname grad f varphi frac f varphi r hat e r otimes hat e varphi hat e z otimes operatorname grad f z nbsp und der Gradient eines Skalarfeldes mitgrad f f r e r 1 r f f e f f z e z displaystyle operatorname grad f frac partial f partial r hat e r frac 1 r frac partial f partial varphi hat e varphi frac partial f partial z hat e z nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Bestehorn 2006 S 87 M Bestehorn Hydrodynamik und Strukturbildung Springer 2006 ISBN 978 3 540 33796 6 S 380 Literatur BearbeitenF Kameier C O Paschereit Stromungslehre Walter de Gruyter 2013 ISBN 978 3 11 018972 8 S 274 ff Weblinks BearbeitenThomas Fischer Oseenscher Wirbel Universitat Stuttgart abgerufen am 17 September 2015 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hamel Oseenscher Wirbel amp oldid 230615648
