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Grüneisen Parameter Der γ displaystyle gamma oder auch Γ displaystyle Gamma nach Eduard Grüneisen beschreibt die Abhängi

Grüneisen-Parameter

Der Grüneisen-Parameter oder auch (nach Eduard Grüneisen) beschreibt die Abhängigkeit der Frequenz von Gitterschwingungen (Phononen) in einem Kristall von der relativen Volumenänderung, die ihrerseits von der Temperatur abhängt. Er dient der Beschreibung anharmonischer Effekte in Kristallen, die weder elektrisch leitend noch magnetisch sind, und wird verwendet in der Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen.

Beschreibung Bearbeiten

Aufgrund der Äquivalenzen vieler Eigenschaften und Ableitungen innerhalb der Thermodynamik (siehe z. B. Maxwell-Relationen) gibt es viele Formulierungen des Grüneisen-Parameters, die gleichermaßen gültig sind und zu zahlreichen Interpretationen seiner Bedeutung führen. Einige Formulierungen für den Grüneisen-Parameter sind:

Dabei ist das Volumen, und sind die spez. Wärmekapazitäten bei konstantem Druck und Volumen, die Energie, die Entropie, die Wärmeausdehnung des Volumens, und sind die adiabatischen und isothermen Kompressionsmodule, ist die Schallgeschwindigkeit im Medium, und ist die Dichte. Der Grüneisen-Parameter ist dimensionslos.

Mikroskopische Definition über die Phononenfrequenzen Bearbeiten

In einem einfachen Modell nimmt man an, dass alle Wechselwirkungen in einem Kristall harmonisch sind. Dies beschreibt reale Festkörper jedoch nur unzureichend, da diese z. B. eine Volumenausdehnung mit steigender Temperatur zeigen, was von einem solchen harmonischen Modell nicht berücksichtigt wird. Darum führt man Terme höherer Ordnung in das Wechselwirkungs-Potential im Festkörper ein und erhält neue Effekte.

Somit hängt jetzt die relative Änderung δω/ω der Schwingungsfrequenz eines Phonons bestimmten Impulses und in einem bestimmten Phononenzweig linear von der relativen Volumenausdehnung δV/V ab:

Dabei ist der dimensionslose Grüneisenparameter definiert als:

Typische Werte für liegen bei Zimmertemperatur zwischen 1 und 2 (s. hier), d. h. das Volumen und die Phononenfrequenzen ändern sich etwa gleich stark.

Streng genommen muss für jede Mode ein eigener Grüneisenparameter definiert werden, insbesondere können sich transversale und longitudinale Moden unterscheiden. Allerdings skalieren im Debye- bzw. Einstein-Modell alle Frequenzen mit der Debye-Frequenz bzw. mit der Einstein-Frequenz . Entsprechend gibt es auch nur eine Grüneisenkonstante für alle Moden:

mit

Dies ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass spezifische Wärme und Ausdehnungskoeffizient eine ähnliche Temperaturabhängigkeit aufweisen. Deshalb ist die Definition eines konstanten Grüneisenparameters sinnvoll.

Thermodynamik Bearbeiten

Es kann gezeigt werden, dass die Summe aller in der ersten Brillouin-Zone zu einer makroskopischen bzw. thermodynamischen Definition von führt, die wie folgt geschrieben werden kann:

Dabei steht für die Wärmekapazität pro Partikel, für den linearen thermische Ausdehnungskoeffizienten und für das isotherme Kompressionsmodul. Wird als gewichtetes Mittel definiert, bei dem die Beiträge der partiellen Schwingungsmoden zur Wärmekapazität sind, sodass sich ergibt, kann der Grüneisen-Parameter wie in der Einleitung definiert werden als:

und als Änderung des Drucks p mit der inneren Energie U bei konstantem Volumen V:

Damit wird der Grüneisen-Parameter direkt messbar. Man kann die innere Energie in einem Bereich des Kristalls bei konstantem Volumen erhöhen, wenn man z. B. mit einem Laserpuls einstrahlt. Dabei wird eine Druckwelle erzeugt, die man dann an der Kristalloberfläche detektiert.

Literatur Bearbeiten

  • Siegfried Hunklinger: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59045-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. L. Vočadlo, J.P. Poirer, G.D. Price: Grüneisen parameters and isothermal equations of state. In: American Mineralogist. Band 85, Nr. 2, Februar 2000, ISSN 0003-004X, S. 390–395, doi:10.2138/am-2000-2-319 (degruyter.com [abgerufen am 2. Juli 2023]).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Gruneisen Parameter g displaystyle gamma oder auch G displaystyle Gamma nach Eduard Gruneisen beschreibt die Abhangigkeit der Frequenz von Gitterschwingungen Phononen in einem Kristall von der relativen Volumenanderung die ihrerseits von der Temperatur abhangt Er dient der Beschreibung anharmonischer Effekte in Kristallen die weder elektrisch leitend noch magnetisch sind und wird verwendet in der Zustandsgleichung von Mie Gruneisen Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 1 1 Mikroskopische Definition uber die Phononenfrequenzen 1 2 Thermodynamik 2 Literatur 3 EinzelnachweiseBeschreibung BearbeitenAufgrund der Aquivalenzen vieler Eigenschaften und Ableitungen innerhalb der Thermodynamik siehe z B Maxwell Relationen gibt es viele Formulierungen des Gruneisen Parameters die gleichermassen gultig sind und zu zahlreichen Interpretationen seiner Bedeutung fuhren Einige Formulierungen fur den Gruneisen Parameter sind g V d P d E V a K T C V r a K S C P r a v s 2 C P ln T ln V S displaystyle 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von einem solchen harmonischen Modell nicht berucksichtigt wird Darum fuhrt man Terme hoherer Ordnung in das Wechselwirkungs Potential im Festkorper ein und erhalt neue Effekte Somit hangt jetzt die relative Anderung dw w der Schwingungsfrequenz eines Phonons bestimmten Impulses und in einem bestimmten Phononenzweig linear von der relativen Volumenausdehnung dV V ab d w w g d V V displaystyle frac delta omega omega gamma cdot frac delta V V nbsp dd Dabei ist der dimensionslose Gruneisenparameter definiert als g ln w ln V V w w V displaystyle gamma frac partial ln omega partial ln V frac V omega cdot frac partial omega partial V nbsp Typische Werte fur g displaystyle gamma nbsp liegen bei Zimmertemperatur zwischen 1 und 2 s hier d h das Volumen und die Phononenfrequenzen andern sich etwa gleich stark Streng genommen muss fur jede Mode ein eigener Gruneisenparameter definiert werden insbesondere konnen sich transversale und longitudinale Moden unterscheiden Allerdings skalieren im Debye 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nbsp fuhrt die wie folgt geschrieben werden kann 1 g a V K T C V displaystyle gamma frac alpha VK T tilde C V nbsp Dabei steht C V i c V i textstyle tilde C V sum i c V i nbsp fur die Warmekapazitat pro Partikel a displaystyle alpha nbsp fur den linearen thermische Ausdehnungskoeffizienten und K T displaystyle K T nbsp fur das isotherme Kompressionsmodul Wird g displaystyle gamma nbsp als gewichtetes Mittel g i g i c V i i c V i textstyle gamma frac sum i gamma i c V i sum i c V i nbsp definiert bei dem c V i displaystyle c V i nbsp die Beitrage der partiellen Schwingungsmoden zur Warmekapazitat sind sodass sich C V 1 r V i c V i textstyle C V frac 1 rho V sum i c V i nbsp ergibt kann der Gruneisen Parameter wie in der Einleitung definiert werden als g a K T C V r displaystyle gamma frac alpha K T C V rho nbsp und als Anderung des Drucks p mit der inneren Energie U bei konstantem Volumen V g V p U V displaystyle gamma V cdot left frac partial p partial U right V nbsp Damit wird der Gruneisen Parameter direkt messbar Man kann die innere Energie in einem Bereich des Kristalls bei konstantem Volumen erhohen wenn man z B mit einem Laserpuls einstrahlt Dabei wird eine Druckwelle erzeugt die man dann an der Kristalloberflache detektiert Literatur BearbeitenSiegfried Hunklinger Festkorperphysik 2 Auflage Oldenbourg Wissenschaftsverlag Munchen 2009 ISBN 978 3 486 59045 6 Einzelnachweise Bearbeiten L Vocadlo J P Poirer G D Price Gruneisen parameters and isothermal equations of state In American Mineralogist Band 85 Nr 2 Februar 2000 ISSN 0003 004X S 390 395 doi 10 2138 am 2000 2 319 degruyter com abgerufen am 2 Juli 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gruneisen Parameter amp oldid 235213733