Dieser Artikel beschaftigt sich mit den Zusammenhangen zwischen Zustandsgrossen der Thermodynamik Fur die Maxwell Gleichungen der Elektrodynamik siehe Maxwell Gleichungen Die Maxwell Beziehungen oder Maxwell Relationen der Thermodynamik nach dem Physiker James Clerk Maxwell stellen wichtige Zusammenhange zwischen verschiedenen Zustandsgrossen her Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1 1 Exemplarische Herleitung 1 2 Guggenheim Schema 2 Allgemeine Maxwell RelationAussage BearbeitenDie maxwellschen Beziehungen erlauben es Anderungen von Zustandsgrossen z B Temperatur T oder Entropie S als Anderungen anderer Zustandsgrossen z B Druck p oder Volumen V auszudrucken T V S p S V T p S V S p displaystyle left frac partial T partial V right S left frac partial p partial S right V qquad left frac partial T partial p right S left frac partial V partial S right p nbsp V T p S p T p T V S V T displaystyle left frac partial V partial T right p left frac partial S partial p right T qquad left frac partial p partial T right V left frac partial S partial V right T nbsp Exemplarische Herleitung Bearbeiten Die Beziehungen konnen hergeleitet werden indem man die Charakteristischen Funktionen totalen Differentiale der Zustandsfunktionen Innere Energie U Enthalpie H Freie Energie F und Freie Enthalpie G betrachtet Beispielsweise ist das totale Differential der inneren Energie U abhangig von Entropie S und Volumen V d U S V T d S p d V U S V d S U V S d V displaystyle begin aligned mathrm d U S V amp T mathrm d S p mathrm d V amp left frac partial U partial S right V mathrm d S left frac partial U partial V right S mathrm d V end aligned nbsp Setzt man eine hinreichend glatte Funktion fur U voraus so sagt der Satz von Schwarz aus dass T V S V U S V S S U V S V p S V displaystyle left frac partial T partial V right S left frac partial partial V left frac partial U partial S right V right S left frac partial partial S left frac partial U partial V right S right V left frac partial p partial S right V nbsp Dies ist die erste Maxwell Beziehung Guggenheim Schema Bearbeiten nbsp Guggenheim QuadratZum praktischen Arbeiten kann man das sogenannte Guggenheim Quadrat benutzen Hieraus erhalt man alle oben genannten Maxwell Relationen Man findet die Relation indem man aus den Ecken einer horizontalen oder vertikalen Seite des Schemas zwei Variablen abliest damit eine Seite der Maxwellgleichung formuliert und die andere Seite der Gleichung aus der gegenuberliegenden Seite in gleicher Weise entnimmt Zum Beispiel entnimmt man S displaystyle S nbsp und p displaystyle p nbsp woraus der Ausdruck d S d p displaystyle mathrm d S mathrm d p nbsp folgt Gegenuber liegen dann V displaystyle V nbsp und T displaystyle T nbsp was zum Ausdruck d V d T displaystyle mathrm d V mathrm d T nbsp fuhrt Differentialquotienten die sowohl S displaystyle S nbsp als auch p displaystyle p nbsp enthalten erhalten ein negatives Vorzeichen da beide Symbole an der Kante mit dem Minuszeichen liegen in o g Beispiel d S d p d V d T displaystyle mathrm d S mathrm d p mathrm d V mathrm d T nbsp Die konstant gehaltene Variable einer Seite ist stets im Nenner der anderen Seite wiederzufinden Merkspruche fur das Quadrat finden sich unter Guggenheim Quadrat Merkspruche Allgemeine Maxwell Relation BearbeitenIst eine Funktion z x y nach dem Satz uber die implizite Funktion an einer Stelle eindeutig sowohl nach x als auch nach y auflosbar so lasst sich unter anderem zeigen dass x y y z z x 1 displaystyle frac partial x partial y frac partial y partial z frac partial z partial x 1 nbsp Um dies zu zeigen setzt man mit den totalen Differentialen der Funktionen z und x an d z z x y d x z y x d y displaystyle mathrm d z left frac partial z partial x right y mathrm d x left frac partial z partial y right x mathrm d y nbsp d x x z y d z x y z d y displaystyle mathrm d x left frac partial x partial z right y mathrm d z left frac partial x partial y right z mathrm d y nbsp Einsetzen ergibt d z z x y x z y d z x y z d y z y x d y displaystyle mathrm d z left frac partial z partial x right y left left frac partial x partial z right y mathrm d z left frac partial x partial y right z mathrm d y right left frac partial z partial y right x mathrm d y nbsp Die partiellen Differentiale konnen gekurzt werden falls die festgehaltenen Variablen dieselben sind d z d z z x y x y z d y z y x d y displaystyle mathrm d z mathrm d z left frac partial z partial x right y left frac partial x partial y right z mathrm d y left frac partial z partial y right x mathrm d y nbsp z y x z x y x y z displaystyle left frac partial z partial y right x left frac partial z partial x right y left frac partial x partial y right z nbsp 1 x y z y z x z x y displaystyle 1 left frac partial x partial y right z left frac partial y partial z right x left frac partial z partial x right y nbsp Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Maxwell Beziehung amp oldid 151611469
