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Zustandsgleichung von Mie Grüneisen Die Mie Grüneisen Zustandsgleichung engl auch Mie Gruneisen equation of state benann

Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen

Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung (engl. auch Mie-Gruneisen equation of state), benannt nach Gustav Mie und Eduard Grüneisen, ist eine Zustandsgleichung der Physik, die für hochverdichtete Materie einen speziellen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte , dem Druck und der absoluten Temperatur darstellt. Sie wird u. a. zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stoßwellen bei hohen Umgebungsdrücken sowie zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet.

Die spezielle Annahme von Mie-Grüneisen bezieht sich auf die Temperaturabhängigkeit, die nur in der Form einer "skalierten Temperatur" auftreten darf:

wobei der dichte- oder volumen-abhängige "Temperaturparameter" pauschal das Frequenzspektrum der Gitterschwingungen repräsentiert und üblicherweise mehrere Materialparameter enthält.

Spezielle Form der Gleichung Bearbeiten

Eine spezielle Form der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung stellt die Messergebnisse von Hochdruckexperimenten auf der Basis von drei Materialparametern im temperaturunabhängigen Teil dar:

mit

Hierbei bezeichnet

Beispiele für Parameter der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung Bearbeiten

Wasser: kg/m3 ; m/s ;  ;

Stahl: kg/m3 ; m/s ;  ;

Kupfer: kg/m3 ; m/s ;  ;

Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrößen Bearbeiten

Die Schallgeschwindigkeit, mit der sich kleine Druck- und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen, ist bei reversibler adiabatischer Zustandsänderung (d. h. bei konstanter Entropie ) gegeben durch:

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgröße.

Der Adiabatenexponent ergibt sich aus:

Der Grüneisenkoeffizient ist definiert durch:

wobei die Maxwell-Relation und folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

Thermische Ausdehnung:

Isotherme Kompressibilität:

Isochore spezifische Wärmekapazität:

Literatur Bearbeiten

  • Debye, P.: Zur Theorie der spezifischen Wärmen. In: Annalen der Physik 39, 789–839 (1912)
  • Grüneisen, E.: Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. In: Annalen der Physik 39, 257–306 (1912)
  • Mie, G.: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik 2, 1–40 (1912)
  • G.McQueen, S.P.Marsh, J.W.Taylor, J.N.Fritz, W.J.Carter: "High Velocity Impact Phenomena", (1970), S. 230
  • M.A.Zocher et al.: An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder impact data. Proc. European Congress on computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS, Barcelona, Spain
  • W.B.Holzapfel: Equations of state for solids under strong compression. In: Zeitschrift für Kristallographie. 216 (2000) S. 473–488
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Veröffentlichungsdatum:
Die Mie Gruneisen Zustandsgleichung engl auch Mie Gruneisen equation of state benannt nach Gustav Mie und Eduard Gruneisen ist eine Zustandsgleichung der Physik die fur hochverdichtete Materie einen speziellen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte r displaystyle rho dem Druck p displaystyle p und der absoluten Temperatur T displaystyle T darstellt Sie wird u a zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stosswellen bei hohen Umgebungsdrucken sowie zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet Die spezielle Annahme von Mie Gruneisen bezieht sich auf die Temperaturabhangigkeit die nur in der Form einer skalierten Temperatur t displaystyle t auftreten darf t T r TTD r displaystyle t T rho frac T TD rho wobei der dichte oder volumen abhangige Temperaturparameter TD r displaystyle TD rho pauschal das Frequenzspektrum der Gitterschwingungen reprasentiert und ublicherweise mehrere Materialparameter enthalt Inhaltsverzeichnis 1 Spezielle Form der Gleichung 2 Beispiele fur Parameter der Mie Gruneisen Zustandsgleichung 3 Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrossen 4 LiteraturSpezielle Form der Gleichung BearbeitenEine spezielle Form der Mie Gruneisen Zustandsgleichung stellt die Messergebnisse von Hochdruckexperimenten auf der Basis von drei Materialparametern im temperaturunabhangigen Teil dar p p0 1 G h r0 C02 h 1 s h 2 1 G h2 G r0 e e0 displaystyle p p 0 cdot left 1 Gamma cdot eta right frac rho 0 cdot C 0 2 cdot eta left 1 s cdot eta right 2 cdot left 1 frac Gamma cdot eta 2 right Gamma cdot rho 0 cdot left e e 0 right nbsp mit h 1 r0r displaystyle eta 1 frac rho 0 rho nbsp Hierbei bezeichnet r0 displaystyle rho 0 nbsp die Dichte im Normalzustand C0 displaystyle C 0 nbsp die Schallgeschwindigkeit im Normalzustand G G0 displaystyle Gamma Gamma 0 nbsp den dimensionslosen Gruneisenkoeffizienten im Normalzustand s displaystyle s nbsp den linearen Hugoniot Steigungskoeffizient engl linear Hugoniot slope coefficient eine dimensionslose Materialkonstante e e0 displaystyle e e 0 nbsp die spezifische innere Energie die im Mie Gruneisen Fall nur von der skalierten Temperatur t displaystyle t nbsp s o abhangen darf Beispiele fur Parameter der Mie Gruneisen Zustandsgleichung BearbeitenWasser r0 1000 displaystyle rho 0 1000 nbsp kg m3 C0 1489 displaystyle C 0 1489 nbsp m s s 1 79 displaystyle s 1 79 nbsp G 1 65 displaystyle Gamma 1 65 nbsp Stahl r0 7850 displaystyle rho 0 7850 nbsp kg m3 C0 4500 displaystyle C 0 4500 nbsp m s s 1 49 displaystyle s 1 49 nbsp G 2 17 displaystyle Gamma 2 17 nbsp Kupfer r0 8930 displaystyle rho 0 8930 nbsp kg m3 C0 3940 displaystyle C 0 3940 nbsp m s s 1 48 displaystyle s 1 48 nbsp G 1 96 displaystyle Gamma 1 96 nbsp Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrossen BearbeitenDie Schallgeschwindigkeit mit der sich kleine Druck und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen ist bei reversibler adiabatischer Zustandsanderung d h bei konstanter Entropie S displaystyle S nbsp gegeben durch cS p r S pr g displaystyle c S sqrt left frac partial p partial rho right S sqrt frac p rho cdot gamma nbsp Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgrosse Der Adiabatenexponent g displaystyle gamma nbsp ergibt sich aus g Vp p V S displaystyle gamma frac V p cdot left frac partial p partial V right S nbsp Der Gruneisenkoeffizient ist definiert durch G VT T V S bk r cV displaystyle Gamma frac V T cdot left frac partial T partial V right S frac beta kappa cdot rho cdot c V nbsp wobei die Maxwell Relation S V T p T V displaystyle left frac partial S partial V right T left frac partial p partial T right V nbsp und folgende Bezeichnungen verwendet wurden Thermische Ausdehnung b 1V V T p 1r r T p displaystyle beta frac 1 V cdot left frac partial V partial T right p frac 1 rho cdot left frac partial rho partial T right p nbsp Isotherme Kompressibilitat k 1V V p T displaystyle kappa frac 1 V cdot left frac partial V partial p right T nbsp Isochore spezifische Warmekapazitat cV Tr V S T V displaystyle c V frac T rho cdot V cdot left frac partial S partial T right V nbsp Literatur BearbeitenDebye P Zur Theorie der spezifischen Warmen In Annalen der Physik 39 789 839 1912 Gruneisen E Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente In Annalen der Physik 39 257 306 1912 Mie G Grundlagen einer Theorie der Materie In Annalen der Physik 2 1 40 1912 G McQueen S P Marsh J W Taylor J N Fritz W J Carter High Velocity Impact Phenomena 1970 S 230 M A Zocher et al An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder impact data Proc European Congress on computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS Barcelona Spain W B Holzapfel Equations of state for solids under strong compression In Zeitschrift fur Kristallographie 216 2000 S 473 488 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zustandsgleichung von Mie Gruneisen amp oldid 194092699