Die gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen ist in der Stochastik eine Möglichkeit, aus einem einfachen Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Wahrscheinlichkeitsraum eine multivariate Verteilung auf einem höherdimensionalen Raum zu konstruieren. Ein Beispiel hierfür ist die Multinomialverteilung. Aus maßtheoretischer Sicht handelt es sich um ein Bildmaß. Die gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen ist somit eine Verallgemeinerung der Verteilung einer Zufallsvariablen.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei eine endliche Indexmenge sowie ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine Familie von Zufallsvariablen von diesem Wahrscheinlichkeitsraum in die Ereignisräume . Sei
das kartesische Produkt der Grundmengen und
die entsprechende Produkt-σ-Algebra. Dann heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Produktraum , das durch
für definiert wird, die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen .
Beispiel Bearbeiten
Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum mit
und der diskreten Gleichverteilung auf dieser Grundmenge. Dies entspricht der Modellierung eines zweimaligen Würfelwurfes mit einem fairen Würfel.
Die erste Zufallsvariable sei definiert als
sie formalisiert die Aufsummierung der Augensummen der beiden Würfel und bildet nach ab mit und .
Die zweite Zufallsvariable ist definiert als
und liefert die Information, ob die erste gewürfelte Zahl gerade ist. Sie bildet nach ab mit und .
Die gemeinsame Verteilung ist nun ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf , versehen mit der Produkt-σ-Algebra (hier dementsprechend der Potenzmenge). Das Wahrscheinlichkeitsmaß wird durch die Angabe auf einem Erzeuger der σ-Algebra vollständig beschrieben, hier also durch seine Werte auf den Elementarereignissen . Der Einfachheit halber geben wir hier nur einige Wahrscheinlichkeiten der gemeinsamen Verteilung an.
Abgeleitete Begriffe Bearbeiten
Gemeinsame Verteilungsfunktion Bearbeiten
Analog zur Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich auch für gemeinsame Verteilungen von reellwertigen Zufallsvariablen die gemeinsame Verteilungsfunktion definieren. Es handelt sich hierbei um eine Funktion
definiert durch
Gelegentlich wird sie auch nur mit bezeichnet.
Gemeinsame Dichte Bearbeiten
Wie auch bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Wahrscheinlichkeitsdichten lässt sich für gemeinsame Verteilungen von Zufallsvariablen eine gemeinsame Dichte definieren. Damit wird diejenige (nicht notwendigerweise existente) stetige Funktion bezeichnet, die
erfüllt. Die Indexmenge ist hier o. B. d. A. gesetzt.
Randverteilung Bearbeiten
Als Randverteilungen (Manchmal auch Marginalverteilung genannt) werden die Bildmaße unter der Projektion auf die einzelnen Komponenten des Produktraumes bezeichnet. Formal ist die j-te Randverteilung der gemeinsamen Verteilung also definiert für als
Die Verteilungsfunktion der Randverteilung heißt dementsprechend Rand-Verteilungsfunktion, die Dichte dann Rand-Dichte.
Eindeutigkeit Bearbeiten
Die gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen wird zuerst nicht auf der gesamten Produkt-σ-Algebra definiert, sondern nur auf dem Produkt der einzelnen σ-Algebren der Messräume. Da dieses Produkt aber in diesem Fall ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra ist, lässt sich die obige Definition eindeutig zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß auf der gesamten Produkt-σ-Algebra fortsetzen.
Beziehung zur Unabhängigkeit Bearbeiten
Mittels der gemeinsamen Verteilung von Zufallsvariablen lässt sich für endliche Mengen von Zufallsvariablen leicht ihre Unabhängigkeit überprüfen. Es gilt:
- Die Zufallsvariablen sind genau dann unabhängig, wenn ihre gemeinsame Verteilung genau das Produktmaß der Verteilungen der Zufallsvariablen ist, wenn also gilt
- Daraus folgt direkt: Die Zufallsvariablen sind unabhängig, wenn ihre gemeinsame Verteilungsfunktion (gemeinsame Dichte) genau das Produkt der Verteilungsfunktionen (Dichtefunktionen) ihrer Verteilungen sind.
Entsprechend der Definition für stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen sind beliebige Familien von Zufallsvariablen genau dann unabhängig, wenn eine der obigen Aussagen für alle endlichen Teilfamilien gilt.
Verwendung Bearbeiten
Die gemeinsamen Verteilungen von Zufallsvariablen werden neben der Definition von multivariaten Verteilungen auch für die Bestimmung von bedingten Verteilungen mittels der Randverteilungen genutzt. Die bedingten Verteilungen modellieren bereits vorhandenes Wissen über den Wert einer Zufallsvariable.
Literatur Bearbeiten
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.