Bedingte Verteilung Die bedingte Verteilung von Zufallsvariablen ist in der Stochastik eine Möglichkeit eine multivariat

Bedingte Verteilung

Die bedingte Verteilung von Zufallsvariablen ist in der Stochastik eine Möglichkeit, eine multivariate Verteilung mithilfe der Randverteilungen so abzuändern, dass die neu entstandene Verteilung schon vorhandenes Wissen über die Werte von einer oder mehreren Zufallsvariablen berücksichtigt. Bedingte Verteilungen spielen eine wichtige Rolle in der Bayesschen Statistik, beispielsweise zur Definition der A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten. Die bedingte Verteilung basiert auf dem Konzept der (elementaren) bedingten Wahrscheinlichkeit und weist daher Defizite bezüglich Allgemeingültigkeit und im Umgang mit Nullmengen auf. Die wesentlich allgemeinere reguläre bedingte Verteilung, welche auf dem bedingten Erwartungswert aufbaut, hat diese strukturellen Probleme nicht, ist aber auch weitaus technischer.

Definition Bearbeiten

Diskreter Fall Bearbeiten

Gegeben sei eine zweidimensionale Zufallsvariable auf mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion sowie die Randverteilung bezüglich und entsprechender Randwahrscheinlichkeitsfunktion . Dann heißt für die Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

die bedingte Verteilung von gegeben , die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird auch bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt. Das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß wird meist mit bezeichnet.

Stetiger Fall Bearbeiten

Gegeben sei eine Zufallsvariable auf . Dann ist die Verteilungsfunktion

die bedingte Verteilungsfunktion von gegeben .

Existiert eine gemeinsame Dichte von und und existiert die Randdichte bezüglich und ist ungleich null, so hat die bedingte Verteilung die bedingte Dichte

Beispiel Bearbeiten

Betrachte als Beispiel eine multinomialverteilte Zufallsvariable , also . Sie besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

die Randwahrscheinlichkeit bezüglich ist binomialverteilt, also ist

Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich dann

Dies ist nicht verwunderlich, da die beiden Zufallsvariablen über miteinander gekoppelt sind. Die Summe der Erfolge muss immer ergeben, daher bestimmt auch das Ergebnis von bereits das Ergebnis von . Somit ist hier die bedingte Wahrscheinlichkeit deterministisch.

Literatur Bearbeiten

Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 22:04 pm

Die bedingte Verteilung von Zufallsvariablen ist in der Stochastik eine Moglichkeit eine multivariate Verteilung mithilfe der Randverteilungen so abzuandern dass die neu entstandene Verteilung schon vorhandenes Wissen uber die Werte von einer oder mehreren Zufallsvariablen berucksichtigt Bedingte Verteilungen spielen eine wichtige Rolle in der Bayesschen Statistik beispielsweise zur Definition der A posteriori Wahrscheinlichkeiten Die bedingte Verteilung basiert auf dem Konzept der elementaren bedingten Wahrscheinlichkeit und weist daher Defizite bezuglich Allgemeingultigkeit und im Umgang mit Nullmengen auf Die wesentlich allgemeinere regulare bedingte Verteilung welche auf dem bedingten Erwartungswert aufbaut hat diese strukturellen Probleme nicht ist aber auch weitaus technischer Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Diskreter Fall 1 2 Stetiger Fall 2 Beispiel 3 LiteraturDefinition BearbeitenDiskreter Fall Bearbeiten Gegeben sei eine zweidimensionale Zufallsvariable Z X Y displaystyle Z X Y nbsp auf Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion f x y displaystyle f x y nbsp sowie die Randverteilung bezuglich Y displaystyle Y nbsp und entsprechender Randwahrscheinlichkeitsfunktion f Y y displaystyle f Y y nbsp Dann heisst fur P Y y gt 0 displaystyle P Y y gt 0 nbsp die Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion f x y P X x Y y P Y y f x y f Y y displaystyle f x y frac P X x Y y P Y y frac f x y f Y y nbsp die bedingte Verteilung von X displaystyle X nbsp gegeben Y y displaystyle Y y nbsp die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird auch bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt Das zugehorige Wahrscheinlichkeitsmass wird meist mit P X Y y displaystyle P X Y y nbsp bezeichnet Stetiger Fall Bearbeiten Gegeben sei eine Zufallsvariable Z X Y displaystyle Z X Y nbsp auf R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Dann ist die Verteilungsfunktion F x y lim h 0 P X x y Y y h displaystyle F x y lim h downarrow 0 P X leq x y leq Y leq y h nbsp die bedingte Verteilungsfunktion von X displaystyle X nbsp gegeben Y y displaystyle Y y nbsp Existiert eine gemeinsame Dichte f x y displaystyle f x y nbsp von X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp und existiert die Randdichte f Y y displaystyle f Y y nbsp bezuglich Y displaystyle Y nbsp und ist ungleich null so hat die bedingte Verteilung die bedingte Dichte f x y f x y f Y y displaystyle f x y frac f x y f Y y nbsp Beispiel BearbeitenBetrachte als Beispiel eine multinomialverteilte Zufallsvariable Z X Y displaystyle Z X Y nbsp also Z M n p 1 p displaystyle Z sim M n p 1 p nbsp Sie besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion f Z x y n x y p x 1 p y wenn x y n 0 sonst displaystyle f Z x y begin cases n choose x y p x 1 p y amp mbox wenn x y n 0 amp mbox sonst end cases nbsp die Randwahrscheinlichkeit bezuglich X displaystyle X nbsp ist binomialverteilt also ist f X x n x p x 1 p n x displaystyle f X x n choose x p x 1 p n x nbsp Fur die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich dann f y x f Z x y f X x 1 falls y n x 0 sonst displaystyle f y x frac f Z x y f X x begin cases 1 amp text falls y n x 0 amp text sonst end cases nbsp Dies ist nicht verwunderlich da die beiden Zufallsvariablen uber x y n displaystyle x y n nbsp miteinander gekoppelt sind Die Summe der Erfolge muss immer n displaystyle n nbsp ergeben daher bestimmt auch das Ergebnis von X displaystyle X nbsp bereits das Ergebnis von Y displaystyle Y nbsp Somit ist hier die bedingte Wahrscheinlichkeit deterministisch Literatur BearbeitenChristian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03183 2 doi 10 1007 978 3 663 01244 3 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bedingte Verteilung amp oldid 225709947