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Gauß Filter sind Frequenzfilter welche bei der Sprungantwort keine überschwingung und gleichzeitig maximale Flankensteil

Gauß-Filter

Gauß-Filter sind Frequenzfilter, welche bei der Sprungantwort keine Überschwingung und gleichzeitig maximale Flankensteilheit im Übergangsbereich aufweisen. Als Besonderheit besitzt bei diesem Filter sowohl die Übertragungsfunktion als auch die Impulsantwort den Verlauf einer gaußschen Glockenkurve, wie in den Abbildungen dargestellt, wovon sich auch der Name dieses Filtertyps ableitet.

Betragsfrequenzgang eines Gauß-Filters mit normierter Frequenz und einer Bandbreite von 1.
Impulsantwort eines Gauß-Filters

Anwendungsbereiche dieses Filters liegen bei digitalen Modulationsverfahren und im Bereich der Bildverarbeitung.

Ein Gauß-Filter faltet das Eingangssignal mit einer Gauß-Verteilung, um die Glättung zu erzielen.

Binomialfilter approximieren Gauß-Filter effizient und nutzen dabei, dass die (diskrete) Binomialverteilung der (kontinuierlichen) Gauß-Verteilung ähneln kann.

Eigenschaften Bearbeiten

Ein Filter wird als Gauß-Filter bezeichnet, wenn die geschätzten Dichten über dem unbekannten Zustand durch Gauß-Dichten dargestellt werden. Gauß-Filter sind insbesondere für höherdimensionale Systeme attraktiv, da sie normalerweise einfacher zu implementieren sind als Filter, die mit komplexeren Arten von Dichten arbeiten. Die Rechenanforderungen sind typischerweise niedriger und die Schätzung kann kompakt durch den mittleren Vektor und die Kovarianzmatrix dargestellt werden.

Andererseits ist die einfache Dichtedarstellung in einigen Fällen nicht ausreichend, um die Zustandsschätzung darzustellen. Darüber hinaus gibt es verschiedene Arten von Gauß-Filtern, die weitere Annahmen treffen, beispielsweise eine zweite Gaußsche Annahme zwischen Zustand und Messung. Diese Filter erreichen natürlich nicht die Leistung von Filtern, die nur die Zustandsschätzungen als Gauß-Filter festlegen. Ohne zusätzliche Annahmen sind Gauß-Filter jedoch weitaus schwieriger zu entwerfen.

Definition Bearbeiten

Der eindimensionale Gauß-Filter hat eine Impulsantwort, die durch

gegeben ist und der Frequenzgang ist durch die Fourier-Transformation gegeben

wobei die gewöhnliche Frequenz ist. Diese Gleichungen können auch mit der Standardabweichung als Parameter ausgedrückt werden:

und der Frequenzgang ist gegeben durch

Indem als Funktion von mit den beiden Gleichungen für und als Funktion von mit den beiden Gleichungen für geschrieben wird, kann gezeigt werden, dass das Produkt der Standardabweichung und der Standardabweichung im Frequenzband gegeben ist durch

wobei die Standardabweichungen in ihren physikalischen Einheiten ausgedrückt werden, z. im Fall von Zeit und Frequenz in Sekunden bzw. Hertz.

In zwei Dimensionen ist es das Produkt von zwei solchen Gauß-Filtern, einer pro Richtung:

Dabei ist der Abstand vom Ursprung auf der horizontalen Achse, der Abstand vom Ursprung auf der vertikalen Achse und die Standardabweichung der Normalverteilung.

Übertragungsfunktion Bearbeiten

Der Betrag der Übertragungsfunktion ist bei Gauß-Filtern gegeben durch

mit der Konstanten

Die Impulsantwort eines Gauß-Filters lautet

Daraus ist ersichtlich, dass das Gauß-Filter eine Idealisierung darstellt, denn es ist nicht-kausal: Die Hälfte der Impulsantwort (Verlauf bei t < 0) ist am Ausgang des Filters bereits erschienen, wenn am Eingang des Filters das auslösende Signal, der Impuls, bei t = 0 auftritt.

Anwendungen Bearbeiten

Digitale Signalverarbeitung Bearbeiten

Ein Rechteckimpuls, blau punktiert dargestellt, wird durch die Impulsformung eines Gauß-Filters in den rot dargestellten Signalverlauf übergeführt.

Gauß-Filter besitzen eine konstante Gruppenlaufzeit im Sperr- und Durchlassbereich und kein Überschwingen in der Sprungantwort. Einsatzbereich dieses Filters liegt primär zur Impulsformung mit Anwendungsbereichen in der digitalen Signalverarbeitung.

Die Impulsformung findet bei digitalen Modulationsverfahren wie dem Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK), da damit die einzelnen, meist rechteckförmigen Sendesymbole in Impulse der gaußschen Glockenkurve mit geringerem Bandbreitenbedarf als die ursprünglichen rechteckförmigen Sendesymbole umgewandelt werden können. Damit ist eine höhere spektrale Effizienz des Modulationsverfahrens verbunden.

In Mobilfunksystemen wie GSM werden Gauß-Filter im Rahmen der GMSK-Modulation auf der Funkschnittstelle zur Übertragung der digitalen Sprach- und Steuerinformationen eingesetzt.

Weitere Anwendungen liegen bei Modulationstechniken wie dem Chirp Spread Spectrum, bei dem die unstetige Frequenzänderung bei zeitlich aufeinanderfolgenden Chirps durch Gauß-Filter geglättet wird.

Bildverarbeitung Bearbeiten

Mit einem Gauß-Filter geglättetes Halbtonbild

In der Bildverarbeitung werden Gauß-Filter zur Glättung oder Weichzeichnen des Bildinhaltes verwendet. Es kann damit das Bildrauschen vermindert werden: Kleinere Strukturen gehen verloren, gröbere Strukturen bleiben dagegen erhalten. Spektral kommt die Glättung einem Tiefpassfilter gleich.

Da ein Bild zwei Dimensionen aufweist, muss für die Bildverarbeitung die Impulsantwort auf zwei Dimensionen erweitert werden. Die Impulsantwort besitzt die beiden Argumente und entsprechend den Raumrichtungen:

Für praktische Realisierungen im Rahmen der digitalen Bildverarbeitung wird die diskrete Impulsantwort meist in Form einer zweidimensionalen Matrix verwendet.

Alternativ wird in der Literatur bei der Beschreibung von Gauß-Filtern statt der Konstanten dazu gleichwertig die Varianz in dem Ausdruck der Impulsantwort verwendet – was die mathematische Nähe der Impulsantwort eines Gauß-Filters zur Funktion der Normalverteilung ausdrückt. Bei einer Dimension ist die Impulsantwort:

Die Impulsantwort bei zwei Dimensionen ergibt sich aus dem Produkt der beiden Richtungen in x und y:

Durch Ausnutzung der Separierbarkeit kann die Rechenzeit deutlich reduziert werden.

Literatur Bearbeiten

  • Karl Dirk Kammeyer, Volker Kühn: MATLAB in der Nachrichtentechnik. 1. Auflage. J. Schlembach Fachverlag, 2001, ISBN 3-935340-05-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Uwe D. Hanebeck, Karlsruhe Institute of Technology: Progressive Gaussian Filteringwith a Twist
  2. Richard A. Haddad and Ali N. Akansu, New Jersey Institute of Technology: A Class of Fast Gaussian Binomial Filters for Speech and Image Processing
  3. F. Dellsperger: Passive Filter. Berner Fachhochschule, Hochschule für Technik und Informatik HTI, Fachbereich Elektro- und Kommunikationstechnik, 2012, S. 25, abgerufen am 17. Juli 2017.
  4. Beispiel: (Memento vom 10. März 2010 im Internet Archive) für den Vergleich größerer Strukturen in einem Holzstich (1876, Henry Holiday) und in einer Radierung (1566–1568, Markus Gheeraerts der Ältere).
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Gauss Filter sind Frequenzfilter welche bei der Sprungantwort keine Uberschwingung und gleichzeitig maximale Flankensteilheit im Ubergangsbereich aufweisen Als Besonderheit besitzt bei diesem Filter sowohl die Ubertragungsfunktion als auch die Impulsantwort den Verlauf einer gaussschen Glockenkurve wie in den Abbildungen dargestellt wovon sich auch der Name dieses Filtertyps ableitet Betragsfrequenzgang H j w displaystyle left vert H j omega right vert eines Gauss Filters mit normierter Frequenz und einer Bandbreite B displaystyle B von 1 Impulsantwort h t displaystyle h t eines Gauss FiltersAnwendungsbereiche dieses Filters liegen bei digitalen Modulationsverfahren und im Bereich der Bildverarbeitung Ein Gauss Filter faltet das Eingangssignal mit einer Gauss Verteilung um die Glattung zu erzielen Binomialfilter approximieren Gauss Filter effizient und nutzen dabei dass die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Gauss Verteilung ahneln kann Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Definition 3 Ubertragungsfunktion 4 Anwendungen 4 1 Digitale Signalverarbeitung 4 2 Bildverarbeitung 5 Literatur 6 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenEin Filter wird als Gauss Filter bezeichnet wenn die geschatzten Dichten uber dem unbekannten Zustand durch Gauss Dichten dargestellt werden Gauss Filter sind insbesondere fur hoherdimensionale Systeme attraktiv da sie normalerweise einfacher zu implementieren sind als Filter die mit komplexeren Arten von Dichten arbeiten Die Rechenanforderungen sind typischerweise niedriger und die Schatzung kann kompakt durch den mittleren Vektor und die Kovarianzmatrix dargestellt werden Andererseits ist die einfache Dichtedarstellung in einigen Fallen nicht ausreichend um die Zustandsschatzung darzustellen Daruber hinaus gibt es verschiedene Arten von Gauss Filtern die weitere Annahmen treffen beispielsweise eine zweite Gausssche Annahme zwischen Zustand und Messung Diese Filter erreichen naturlich nicht die Leistung von Filtern die nur die Zustandsschatzungen als Gauss Filter festlegen Ohne zusatzliche Annahmen sind Gauss Filter jedoch weitaus schwieriger zu entwerfen 1 Definition BearbeitenDer eindimensionale Gauss Filter hat eine Impulsantwort die durch g x a p e a x 2 displaystyle g x sqrt frac a pi cdot text e a cdot x 2 nbsp gegeben ist und der Frequenzgang ist durch die Fourier Transformation gegeben g f e p 2 f 2 a displaystyle hat g f text e frac pi 2 f 2 a nbsp wobei f displaystyle f nbsp die gewohnliche Frequenz ist Diese Gleichungen konnen auch mit der Standardabweichung als Parameter ausgedruckt werden g x 1 2 p s e x 2 2 s 2 displaystyle g x frac 1 sqrt 2 pi cdot sigma cdot text e frac x 2 2 sigma 2 nbsp und der Frequenzgang ist gegeben durch g f e f 2 2 s f 2 displaystyle hat g f text e frac f 2 2 sigma f 2 nbsp Indem a displaystyle a nbsp als Funktion von s displaystyle sigma nbsp mit den beiden Gleichungen fur g x displaystyle g x nbsp und als Funktion von s f displaystyle sigma f nbsp mit den beiden Gleichungen fur g f displaystyle hat g f nbsp geschrieben wird kann gezeigt werden dass das Produkt der Standardabweichung und der Standardabweichung im Frequenzband gegeben ist durch s s f 1 2 p displaystyle sigma cdot sigma f frac 1 2 pi nbsp wobei die Standardabweichungen in ihren physikalischen Einheiten ausgedruckt werden z im Fall von Zeit und Frequenz in Sekunden bzw Hertz In zwei Dimensionen ist es das Produkt von zwei solchen Gauss Filtern einer pro Richtung g x y 1 2 p s 2 e x 2 y 2 2 s 2 displaystyle g x y frac 1 2 pi sigma 2 cdot text e frac x 2 y 2 2 sigma 2 nbsp Dabei ist x displaystyle x nbsp der Abstand vom Ursprung auf der horizontalen Achse y displaystyle y nbsp der Abstand vom Ursprung auf der vertikalen Achse und s displaystyle sigma nbsp die Standardabweichung der Normalverteilung 2 Ubertragungsfunktion BearbeitenDer Betrag der Ubertragungsfunktion H j w displaystyle H j omega nbsp ist bei Gauss Filtern gegeben durch H j w e w 2 a 2 displaystyle H j omega text e left frac omega 2 alpha right 2 nbsp mit der Konstanten a displaystyle alpha nbsp a p ln 2 displaystyle alpha frac pi sqrt ln sqrt 2 nbsp Die Impulsantwort eines Gauss Filters lautet h t a p e a t 2 displaystyle h t frac alpha sqrt pi text e alpha t 2 nbsp Daraus ist ersichtlich dass das Gauss Filter eine Idealisierung darstellt denn es ist nicht kausal Die Halfte der Impulsantwort Verlauf bei t lt 0 ist am Ausgang des Filters bereits erschienen wenn am Eingang des Filters das auslosende Signal der Impuls bei t 0 auftritt Anwendungen BearbeitenDigitale Signalverarbeitung Bearbeiten nbsp Ein Rechteckimpuls blau punktiert dargestellt wird durch die Impulsformung eines Gauss Filters in den rot dargestellten Signalverlauf ubergefuhrt Gauss Filter besitzen eine konstante Gruppenlaufzeit im Sperr und Durchlassbereich und kein Uberschwingen in der Sprungantwort 3 Einsatzbereich dieses Filters liegt primar zur Impulsformung mit Anwendungsbereichen in der digitalen Signalverarbeitung Die Impulsformung findet bei digitalen Modulationsverfahren wie dem Gaussian Minimum Shift Keying GMSK da damit die einzelnen meist rechteckformigen Sendesymbole in Impulse der gaussschen Glockenkurve mit geringerem Bandbreitenbedarf als die ursprunglichen rechteckformigen Sendesymbole umgewandelt werden konnen Damit ist eine hohere spektrale Effizienz des Modulationsverfahrens verbunden In Mobilfunksystemen wie GSM werden Gauss Filter im Rahmen der GMSK Modulation auf der Funkschnittstelle zur Ubertragung der digitalen Sprach und Steuerinformationen eingesetzt Weitere Anwendungen liegen bei Modulationstechniken wie dem Chirp Spread Spectrum bei dem die unstetige Frequenzanderung bei zeitlich aufeinanderfolgenden Chirps durch Gauss Filter geglattet wird Bildverarbeitung Bearbeiten nbsp Mit einem Gauss Filter geglattetes HalbtonbildIn der Bildverarbeitung werden Gauss Filter zur Glattung oder Weichzeichnen des Bildinhaltes verwendet Es kann damit das Bildrauschen vermindert werden Kleinere Strukturen gehen verloren grobere Strukturen bleiben dagegen erhalten 4 Spektral kommt die Glattung einem Tiefpassfilter gleich Da ein Bild zwei Dimensionen aufweist muss fur die Bildverarbeitung die Impulsantwort auf zwei Dimensionen erweitert werden Die Impulsantwort besitzt die beiden Argumente x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp entsprechend den Raumrichtungen h x y a 2 p e a 2 x 2 y 2 displaystyle h x y frac alpha 2 pi text e alpha 2 x 2 y 2 nbsp Fur praktische Realisierungen im Rahmen der digitalen Bildverarbeitung wird die diskrete Impulsantwort meist in Form einer zweidimensionalen Matrix verwendet Alternativ wird in der Literatur bei der Beschreibung von Gauss Filtern statt der Konstanten a displaystyle alpha nbsp dazu gleichwertig die Varianz s 2 displaystyle sigma 2 nbsp in dem Ausdruck der Impulsantwort verwendet was die mathematische Nahe der Impulsantwort eines Gauss Filters zur Funktion der Normalverteilung ausdruckt Bei einer Dimension ist die Impulsantwort h x 1 s 2 p e x 2 2 s 2 displaystyle h x frac 1 sigma sqrt 2 pi text e frac x 2 2 sigma 2 nbsp Die Impulsantwort bei zwei Dimensionen ergibt sich aus dem Produkt der beiden Richtungen in x und y h x y 1 2 p s 2 e x 2 y 2 2 s 2 displaystyle h x y frac 1 2 pi sigma 2 text e frac x 2 y 2 2 sigma 2 nbsp Durch Ausnutzung der Separierbarkeit kann die Rechenzeit deutlich reduziert werden Literatur BearbeitenKarl Dirk Kammeyer Volker Kuhn MATLAB in der Nachrichtentechnik 1 Auflage J Schlembach Fachverlag 2001 ISBN 3 935340 05 2 Einzelnachweise Bearbeiten Uwe D Hanebeck Karlsruhe Institute of Technology Progressive Gaussian Filteringwith a Twist Richard A Haddad and Ali N Akansu New Jersey Institute of Technology A Class of Fast Gaussian Binomial Filters for Speech and Image Processing F Dellsperger Passive Filter Berner Fachhochschule Hochschule fur Technik und Informatik HTI Fachbereich Elektro und Kommunikationstechnik 2012 S 25 abgerufen am 17 Juli 2017 Beispiel Entfernen von Gravurlinien Memento vom 10 Marz 2010 im Internet Archive fur den Vergleich grosserer Strukturen in einem Holzstich 1876 Henry Holiday und in einer Radierung 1566 1568 Markus Gheeraerts der Altere Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gauss Filter amp oldid 236739653