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Ensemblemittelwert

Der Ensemblemittelwert (auch Ensemblemittel oder Scharmittelwert) ist ein Mittelwert aus der statistischen Physik. Mit ihm lässt sich der Mittelwert einer Messgröße aller Elemente eines Ensembles zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen.

Verwendung Bearbeiten

Für ein ergodisches System ist in einem gegebenen Ensemble der Ensemblemittelwert gleich dem über unendlich lange Zeit bestimmten Zeitmittelwert. Die Ergodenhypothese sagt aus, dass thermodynamische Systeme ergodisch sind und für sie somit die erwähnte Gleichheit gilt.

Definition Bearbeiten

Der Ensemblemittelwert einer Größe ist gegeben durch:

mit

Lässt sich die Menge der Zustände nicht mehr abzählen, sondern ist kontinuierlich – beispielsweise, wenn der Hamiltonian des Systems von kontinuierlichen Orten und kontinuierlichen Geschwindigkeiten abhängt –, dann geht man von der Summe zum Integral über, indem man die obige diskrete Schreibweise geeignet mit dem Phasenraumelement erweitert, woraufhin man ein Riemann-Integral identifiziert:

Weiterführendes Bearbeiten

  • Torsten Fließbach: Statistische Physik. 4. Auflage. Spektrum, München 2007, ISBN 978-3-8274-1684-1.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Ensemblemittelwert displaystyle langle dots rangle auch Ensemblemittel oder Scharmittelwert ist ein Mittelwert aus der statistischen Physik Mit ihm lasst sich der Mittelwert einer Messgrosse aller Elemente eines Ensembles zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen Verwendung BearbeitenFur ein ergodisches System ist in einem gegebenen Ensemble der Ensemblemittelwert gleich dem uber unendlich lange Zeit bestimmten Zeitmittelwert Die Ergodenhypothese sagt aus dass thermodynamische Systeme ergodisch sind und fur sie somit die erwahnte Gleichheit gilt Definition BearbeitenDer Ensemblemittelwert A displaystyle langle A rangle nbsp einer Grosse A displaystyle A nbsp ist gegeben durch A i I p i A i i I e H i k B T A i i I e H i k B T displaystyle langle A rangle sum i in I p i cdot A i sum i in I frac e frac H i k mathrm B cdot T cdot A i sum i in I e frac H i k mathrm B cdot T nbsp mit der Wahrscheinlichkeit p displaystyle p nbsp im kanonischen Ensemble fur ein System mit diskreten Zustanden das System im Zustand i displaystyle i nbsp zu finden p i e H i k B T Z displaystyle p i frac e frac H i k mathrm B cdot T Z nbsp dd der kanonischen Zustandssumme Z i I e H i k B T displaystyle Z sum i in I e frac H i k mathrm B cdot T nbsp dd dem Boltzmann Faktor e H i k B T displaystyle e frac H i k mathrm B cdot T nbsp der Hamiltonian H i displaystyle H i nbsp des Zustandes i displaystyle i nbsp der Boltzmann Konstante k B displaystyle k mathrm B nbsp der absoluten Temperatur T displaystyle T nbsp der Menge aller Mikrozustande I displaystyle I nbsp Lasst sich die Menge I displaystyle I nbsp der Zustande nicht mehr abzahlen sondern ist kontinuierlich beispielsweise wenn der Hamiltonian des Systems von kontinuierlichen Orten und kontinuierlichen Geschwindigkeiten abhangt dann geht man von der Summe zum Integral uber indem man die obige diskrete Schreibweise geeignet mit dem Phasenraumelement erweitert woraufhin man ein Riemann Integral identifiziert A R 6 N d 3 N r d 3 N p h 3 N N A e H r 1 r N p 1 p N k B T R 6 N d 3 N r d 3 N p h 3 N N e H r 1 r N p 1 p N k B T displaystyle langle A rangle frac int mathbb R 6N frac d 3N rd 3N p h 3N N A cdot e frac H vec r 1 dots vec r N vec p 1 dots vec p N k mathrm B cdot T int mathbb R 6N frac d 3N rd 3N p h 3N N cdot e frac H vec r 1 dots vec r N vec p 1 dots vec p N k mathrm B cdot T nbsp Weiterfuhrendes BearbeitenTorsten Fliessbach Statistische Physik 4 Auflage Spektrum Munchen 2007 ISBN 978 3 8274 1684 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ensemblemittelwert amp oldid 218229037