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Choquet Rand Der benannt nach Gustave Choquet ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren Es hande

Choquet-Rand

Der Choquet-Rand, benannt nach Gustave Choquet, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Es handelt sich dabei um einen Rand einer kommutativen Banachalgebra, der stets im Schilow-Rand enthalten ist.

Definition Bearbeiten

Es sei ein kompakter Hausdorffraum und die Banachalgebra der stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm . Eine Funktionenalgebra über ist eine Unteralgebra , die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, das heißt, für zwei verschiedene Punkte gibt es ein mit .

Es sei weiter eine Algebrennorm auf , sei der zugehörige Dualraum und schließlich

der sogenannte Zustandsraum von , wobei mit 1 hier auch die konstante Funktion 1 bezeichnet sei, die ja definitionsgemäß in enthalten ist und dort die Rolle eines Einselements spielt. Dies ist eine konvexe, schwach-*-kompakte Menge in und besitzt daher nach dem Satz von Krein-Milman viele Extremalpunkte. Es sei die Menge dieser Extremalpunkte.

Für jedes ist die Punktauswertung offenbar ein Element aus . Wir interessieren uns nun für diejenigen Punkte , für die sogar ein Extremalpunkt des Zustandsraums ist:

    heißt Choquet-Rand von .

Ist eine beliebige kommutative Banachalgebra mit Einselement und ist ihr Gelfand-Raum, so definiert man als den Choquet-Rand der Funktionenalgebra der Gelfand-Transformierten in . Die letzte Definition kann in konstruierten Fällen in Konflikt zur ersten geraten, denn ist eine kommutative Banachalgebra auch als eine Funktionenalgebra in einer Algebra realisiert, so muss nicht notwendigerweise der Gelfand-Raum von sein.

Der Choquet-Rand ist ein Rand Bearbeiten

Ist ein kompakter Hausdorffraum und eine Funktionenalgebra, gilt

  • , der Choquet-Rand ist nicht leer.
  • ist ein Rand für
  • , das heißt, der Choquet-Rand liegt dicht im Schilow-Rand.

Beziehung zum Bishop-Rand Bearbeiten

Ist ein kompakter Hausdorffraum und eine abgeschlossene Funktionenalgebra, so stimmt der Bishop-Rand mit dem Choquet-Rand überein und ist eine Gδ-Menge.

Beispiele Bearbeiten

  • Ist ein kompakter Hausdorffraum, so ist und stimmt daher mit dem Schilow-Rand überein. Es gibt Beispiele für Räume , für die der Bishop-Rand von leer ist, z. B. .
  • Das Standardbeispiel und Vorbild für die Entwicklung des Randbegriffs ist die Diskalgebra auf dem Einheitskreis . Hier stimmen ebenfalls Choquet-Rand und Schilow-Rand überein und sind gleich dem topologischen Rand .
X ist die Vereinigung aus Kreisscheibe und im Nullpunkt aufgesetzter Strecke
  • Wir geben nun eine Funktionenalgebra an, für die der Choquet-Rand nicht abgeschlossen ist. Dazu sei
ist ein kompakter Raum und enthält die Funktionenalgebra
wobei das Innere des Einheitskreises bezeichne. Für den Schilow-Rand zeigt man
Im Artikel zum Bishop-Rand wurde begründet, dass dieser gleich
ist. Nach obiger Beziehung zwischen Bishop-Rand und Choquet-Rand ist das aber auch gleich dem Choquet-Rand, der in diesem Beispiel also echt im Schilow-Rand enthalten ist. Wie nach obigem Satz nicht anders zu erwarten, ist hier .

Darstellende Maße Bearbeiten

Der Choquet-Rand lässt sich durch sogenannte darstellende Maße charakterisieren, was die Verbindung zur Choquet-Theorie schlägt. Für einen kompakten Hausdorffraum sei Banachraum der regulären komplexen Maße auf mit der totalen Variation als Norm. Ein Maß heißt ein darstellendes Maß für ein , falls

Ist zum Beispiel , so ist das Einpunktmaß ein darstellendes Maß, denn

Es könnte aber weitere darstellende Maße geben. Ist zum Beispiel die Diskalgebra, so gilt für alle nach der cauchyschen Integralformel

mit einem auf konzentrierten Maß . In diesem Fall ist das darstellende Maß also nicht eindeutig. Ein ähnliches Argument zeigt, dass das darstellende Maß für kein eindeutig ist. Eine Eindeutigkeit des darstellenden Maßes liegt nur für Funktionale mit vor. Diese Situation gilt auch im allgemeinen Fall, genauer gilt folgender Satz:

Ist ein kompakter Hausdorffraum und eine Funktionenalgebra, so sind folgende Aussagen über äquivalent:

  • Das darstellende Maß für ist eindeutig bestimmt.

Abgeschlossene Funktionenalgebren Bearbeiten

Fordert man von der Funktionenalgebra zusätzlich, dass diese bezüglich der Supremumsnorm abgeschlossen ist, so sind folgende Aussagen über ein äquivalent:

  • Zu und jeder offenen Umgebung von gibt es ein mit , und für alle .
  • Zu jeder offenen Umgebung von gibt es ein mit , und für alle .
  • Zu jeder offenen Umgebung von gibt es ein mit und für alle .
  • Es gibt eine Familie in mit .

Anwendung Bearbeiten

Mit Hilfe des Choquet-Randes kann man folgenden auf Robert Phelps zurückgehenden Satz beweisen:

Es seien ein kompakter Hausdorffraum und eine Funktionenalgebra. Ist eine lineare uns surjektive Isometrie mit , so ist multiplikativ, das heißt, es gilt für alle .

Das zentrale Argument im Beweis besteht darin, die Multiplikativität von Punktauswertungen für Punkte aus dem Choquet-Rand zu verwenden. Damit zeigt man, dass und auf allen Punkten des Choquet-Randes übereinstimmen und daher gleich sein müssen, denn der Choquet-Rand ist ein Rand. Das ist im unten genannten Lehrbuch von R. Larsen ausgeführt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Definition 9.4.2
  2. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Korollar 9.4.1
  3. E. Bishop: A minimal boundary for function algebras, Pacific Journal of Mathematics (1959), Band 9, Seiten 629–642
  4. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.2
  5. R. R. Phelps: Lectures on Choquet's Theorem, van Nostrand (1966), Korollar 8.2
  6. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Beispiel 9.3.5
  7. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.6.7
  8. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.1
  9. Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.5.1
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Der Choquet Rand benannt nach Gustave Choquet ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren Es handelt sich dabei um einen Rand einer kommutativen Banachalgebra der stets im Schilow Rand enthalten ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Der Choquet Rand ist ein Rand 3 Beziehung zum Bishop Rand 4 Beispiele 5 Darstellende Masse 6 Abgeschlossene Funktionenalgebren 7 Anwendung 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp ein kompakter Hausdorffraum und C X displaystyle C X nbsp die Banachalgebra der stetigen Funktionen X C displaystyle X rightarrow mathbb C nbsp mit der Supremumsnorm displaystyle cdot infty nbsp Eine Funktionenalgebra uber X displaystyle X nbsp ist eine Unteralgebra A C X displaystyle A subset C X nbsp die die konstanten Funktionen enthalt und die Punkte trennt das heisst fur zwei verschiedene Punkte x y X displaystyle x y in X nbsp gibt es ein f A displaystyle f in A nbsp mit f x f y displaystyle f x not f y nbsp Es sei weiter displaystyle cdot nbsp eine Algebrennorm auf A displaystyle A nbsp A displaystyle A nbsp sei der zugehorige Dualraum und schliesslich A 1 f A f f 1 1 displaystyle A 1 f in A mid f f 1 1 nbsp der sogenannte Zustandsraum von A displaystyle A nbsp wobei mit 1 hier auch die konstante Funktion 1 bezeichnet sei die ja definitionsgemass in A displaystyle A nbsp enthalten ist und dort die Rolle eines Einselements spielt Dies ist eine konvexe schwach kompakte Menge in A displaystyle A nbsp und besitzt daher nach dem Satz von Krein Milman viele Extremalpunkte Es sei e x t A 1 displaystyle mathrm ext A 1 nbsp die Menge dieser Extremalpunkte Fur jedes x X displaystyle x in X nbsp ist die Punktauswertung d x A C d x f f x displaystyle delta x colon A rightarrow mathbb C delta x f f x nbsp offenbar ein Element aus A 1 displaystyle A 1 nbsp Wir interessieren uns nun fur diejenigen Punkte x X displaystyle x in X nbsp fur die d x displaystyle delta x nbsp sogar ein Extremalpunkt des Zustandsraums ist x 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chi A nbsp ist ein Rand fur A displaystyle A nbsp x A A displaystyle overline chi A partial A nbsp das heisst der Choquet Rand liegt dicht im Schilow Rand Beziehung zum Bishop Rand BearbeitenIst X displaystyle X nbsp ein kompakter Hausdorffraum und A C X displaystyle A subset C X nbsp eine abgeschlossene Funktionenalgebra so stimmt der Bishop Rand mit dem Choquet Rand uberein und ist eine Gd Menge 3 4 5 Beispiele BearbeitenIst X displaystyle X nbsp ein kompakter Hausdorffraum so ist x C X X displaystyle chi C X X nbsp und stimmt daher mit dem Schilow Rand uberein Es gibt Beispiele fur Raume X displaystyle X nbsp fur die der Bishop Rand von C X displaystyle C X nbsp leer ist z B X 0 1 R displaystyle X 0 1 mathbb R nbsp 6 Das Standardbeispiel und Vorbild fur die Entwicklung des Randbegriffs ist die Diskalgebra A D C D displaystyle A mathbb D subset C mathbb D nbsp auf dem Einheitskreis D z C z 1 displaystyle mathbb D z in mathbb C mid z leq 1 nbsp Hier stimmen ebenfalls Choquet Rand und Schilow Rand uberein und sind gleich dem topologischen Rand D z C z 1 displaystyle partial mathbb D z in mathbb C mid z 1 nbsp nbsp X ist die Vereinigung aus Kreisscheibe und im Nullpunkt aufgesetzter StreckeWir geben nun eine Funktionenalgebra an fur die der Choquet Rand nicht abgeschlossen ist Dazu seiX D 0 1 e 3 R 3 displaystyle X mathbb D cup 0 1 cdot e 3 subset mathbb R 3 nbsp mit der Relativtopologie dd X displaystyle X nbsp ist ein kompakter Raum und C X displaystyle C X nbsp enthalt die FunktionenalgebraA f C X f i n t D ist holomorph displaystyle A f in C X mid f mathrm int mathbb D text ist holomorph nbsp dd wobei i n t D displaystyle mathrm int mathbb D nbsp das Innere des Einheitskreises bezeichne Fur den Schilow Rand A displaystyle partial A nbsp zeigt man A D 0 1 e 3 displaystyle partial A partial mathbb D cup 0 1 cdot e 3 nbsp dd Im Artikel zum Bishop Rand wurde begrundet dass dieser gleich D 0 1 e 3 A 0 0 0 displaystyle partial mathbb D cup 0 1 cdot e 3 partial A 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varepsilon x nbsp ein darstellendes Mass denn d x 1 e x displaystyle delta x 1 varepsilon x nbsp und d x f f x X f y d e x y displaystyle delta x f f x int X f y mathrm d varepsilon x y nbsp Es konnte aber weitere darstellende Masse geben Ist zum Beispiel A A D C D displaystyle A A mathbb D subset C mathbb D nbsp die Diskalgebra so gilt fur alle f A D displaystyle f in A mathbb D nbsp nach der cauchyschen Integralformel d 0 f f 0 1 2 p i D f z z d z D f z d m z displaystyle delta 0 f f 0 frac 1 2 pi i int partial mathbb D frac f z z mathrm d z int mathbb D f z mathrm d mu z nbsp mit einem auf D displaystyle partial mathbb D nbsp konzentrierten Mass m displaystyle mu nbsp In diesem Fall ist das darstellende Mass also nicht eindeutig Ein ahnliches Argument zeigt dass das darstellende Mass fur kein d z z lt 1 displaystyle delta z z lt 1 nbsp eindeutig ist Eine Eindeutigkeit des darstellenden Masses liegt nur fur Funktionale d z displaystyle delta z nbsp mit z 1 displaystyle z 1 nbsp vor Diese Situation gilt auch im allgemeinen Fall genauer gilt folgender Satz 7 Ist X displaystyle X nbsp ein kompakter Hausdorffraum und A C X displaystyle A subset C X nbsp eine Funktionenalgebra so sind folgende Aussagen uber x X displaystyle x in X nbsp aquivalent x x A displaystyle x in chi A nbsp Das darstellende Mass fur d x displaystyle delta x nbsp ist eindeutig bestimmt Abgeschlossene Funktionenalgebren BearbeitenFordert man von der Funktionenalgebra A C X displaystyle A subset C X nbsp zusatzlich dass diese bezuglich der Supremumsnorm abgeschlossen ist so sind folgende Aussagen uber ein x X displaystyle x in X nbsp aquivalent 8 x x A displaystyle x in chi A nbsp Zu 0 lt a lt b lt 1 displaystyle 0 lt alpha lt beta lt 1 nbsp und jeder offenen Umgebung U displaystyle U nbsp von x displaystyle x nbsp gibt es ein f A displaystyle f in A nbsp mit f 1 displaystyle f infty 1 nbsp f x gt b displaystyle f x gt beta nbsp und f y lt a displaystyle f y lt alpha nbsp fur alle y X U displaystyle y in X setminus U nbsp Zu jeder offenen Umgebung U displaystyle U nbsp von x displaystyle x nbsp gibt es ein f A displaystyle f in A nbsp mit f 1 displaystyle f infty 1 nbsp f x gt 3 4 displaystyle textstyle f x gt frac 3 4 nbsp und f y lt 1 4 displaystyle textstyle f y lt frac 1 4 nbsp fur alle y X U displaystyle y in X setminus U nbsp Zu jeder offenen Umgebung U displaystyle U nbsp von x displaystyle x nbsp gibt es ein f A displaystyle f in A nbsp mit f 1 f x displaystyle f infty 1 f x nbsp und f y lt 1 displaystyle textstyle f y lt 1 nbsp fur alle y X U displaystyle y in X setminus U nbsp Es gibt eine Familie f a a I displaystyle f alpha alpha in I nbsp in A displaystyle A nbsp mit x a I y X f a y f displaystyle textstyle x bigcap alpha in I y in X mid f alpha y f infty nbsp Anwendung BearbeitenMit Hilfe des Choquet Randes kann man folgenden auf Robert Phelps zuruckgehenden Satz beweisen Es seien X displaystyle X nbsp ein kompakter Hausdorffraum und A C X displaystyle A subset C X nbsp eine Funktionenalgebra Ist T A A displaystyle T colon A rightarrow A nbsp eine lineare uns surjektive Isometrie mit T 1 1 displaystyle T 1 1 nbsp so ist T displaystyle T nbsp multiplikativ das heisst es gilt T f g T f T g displaystyle T fg T f T g nbsp fur alle f g A displaystyle f g in A nbsp Das zentrale Argument im Beweis besteht darin die Multiplikativitat von Punktauswertungen d x displaystyle delta x nbsp fur Punkte x displaystyle x nbsp aus dem Choquet Rand zu verwenden Damit zeigt man dass T f g displaystyle T fg nbsp und T f T g displaystyle T f T g nbsp auf allen Punkten des Choquet Randes ubereinstimmen und daher gleich sein mussen denn der Choquet Rand ist ein Rand Das ist im unten genannten Lehrbuch von R Larsen ausgefuhrt 9 Einzelnachweise Bearbeiten Ronald Larsen Banach Algebras Marcel Dekker 1973 ISBN 0 8247 6078 6 Definition 9 4 2 Ronald Larsen Banach Algebras Marcel Dekker 1973 ISBN 0 8247 6078 6 Korollar 9 4 1 E Bishop A minimal boundary for function algebras Pacific Journal of Mathematics 1959 Band 9 Seiten 629 642 Ronald Larsen Banach Algebras Marcel Dekker 1973 ISBN 0 8247 6078 6 Theorem 9 7 2 R R Phelps Lectures on Choquet s Theorem van Nostrand 1966 Korollar 8 2 Ronald Larsen Banach Algebras Marcel Dekker 1973 ISBN 0 8247 6078 6 Beispiel 9 3 5 Ronald Larsen Banach Algebras Marcel Dekker 1973 ISBN 0 8247 6078 6 Theorem 9 6 7 Ronald Larsen Banach Algebras Marcel Dekker 1973 ISBN 0 8247 6078 6 Theorem 9 7 1 Ronald Larsen Banach Algebras Marcel Dekker 1973 ISBN 0 8247 6078 6 Theorem 9 5 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Choquet Rand amp oldid 202461829