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Biegewelle n sind transversale Wellen die sich in begrenzten Medien mit nichtverschwindender Schubspannung ausbreiten kö

Biegewelle

Biegewellen sind transversale Wellen, die sich in begrenzten Medien mit nichtverschwindender Schubspannung ausbreiten können, beispielsweise in Balken (Anwendungsfall: u. a. Triangel) und in Platten (Anwendungsfall: u. a. Glocken). Im Gegensatz zu Dehnwellen findet die periodische Auslenkung des Mediums senkrecht ("transversal") zur Ausbreitungsrichtung statt, so dass die Welle auch als periodische Änderung des Krümmungsradius beschrieben wird.

Ebene Biegewelle

Wellengleichung Bearbeiten

Balken Bearbeiten

Die Wellengleichung einer Biegewelle auf einem Balken lautet in erster Ordnung nach der Euler-Bernoulli-Theorie:

mit

Für eine Dimension (Ortsvariable ) ergibt sich aus dem harmonischen Lösungsansatz

mit

die Dispersionsrelation:

Die Phasengeschwindigkeit ist damit stark von der Frequenz (und damit auch von ) abhängig:

Platte Bearbeiten

Die entsprechende Gleichung für eine Biegewelle auf einer Platte lautet:

mit den zusätzlichen Bezeichnungen

Diese Gleichung führt auf die Dispersionsrelation

und die Phasengeschwindigkeit:

Gruppengeschwindigkeit Bearbeiten

In beiden Fällen ist die Gruppengeschwindigkeit gerade doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit:

Literatur Bearbeiten

  • Michael Möser: Technische Akustik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71386-9 (google-books)

Siehe auch Bearbeiten

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Biegewellen sind transversale Wellen die sich in begrenzten Medien mit nichtverschwindender Schubspannung ausbreiten konnen beispielsweise in Balken Anwendungsfall u a Triangel und in Platten Anwendungsfall u a Glocken Im Gegensatz zu Dehnwellen findet die periodische Auslenkung des Mediums senkrecht transversal zur Ausbreitungsrichtung statt so dass die Welle auch als periodische Anderung des Krummungsradius beschrieben wird Ebene Biegewelle Inhaltsverzeichnis 1 Wellengleichung 1 1 Balken 1 2 Platte 1 3 Gruppengeschwindigkeit 2 Literatur 3 Siehe auchWellengleichung BearbeitenBalken Bearbeiten Die Wellengleichung einer Biegewelle auf einem Balken lautet in erster Ordnung nach der Euler Bernoulli Theorie 2 z t 2 E I r A 4 z x 4 0 displaystyle frac partial 2 z partial t 2 frac E cdot I rho cdot A cdot frac partial 4 z partial x 4 0 nbsp mit z x t displaystyle z vec x t nbsp die transversale Auslenkung in der Abb z senkrecht x waagerecht t displaystyle t nbsp die Zeit E displaystyle E nbsp der Elastizitatsmodul I displaystyle I nbsp das Flachentragheitsmoment E I displaystyle E cdot I nbsp die Biegesteifigkeit r displaystyle rho nbsp die Dichte des Balkens A displaystyle A nbsp die Balkenquerschnittsflache Fur eine Dimension Ortsvariable x displaystyle x nbsp ergibt sich aus dem harmonischen Losungsansatz z z 0 e i w t k x displaystyle z z 0 cdot e i omega t kx nbsp mit der Amplitude z 0 displaystyle z 0 nbsp der Eulerschen Zahl e displaystyle e nbsp der imaginaren Einheit i displaystyle i nbsp der Kreisfrequenz w 2 p f displaystyle omega 2 pi cdot f nbsp der Kreiswellenzahl k displaystyle k nbsp die Dispersionsrelation k 2 r A E I w displaystyle k 2 sqrt frac rho cdot A E cdot I cdot omega nbsp Die Phasengeschwindigkeit c w k displaystyle c frac omega k nbsp ist damit stark von der Frequenz f displaystyle f nbsp und damit auch von w displaystyle omega nbsp abhangig c w E I r A 4 displaystyle c sqrt omega cdot sqrt 4 frac E cdot I rho cdot A nbsp Platte Bearbeiten Die entsprechende Gleichung fur eine Biegewelle auf einer Platte lautet 2 z t 2 E h 2 12 r 1 m 2 4 z 0 displaystyle frac partial 2 z partial t 2 frac E h 2 12 rho 1 mu 2 nabla 4 z 0 nbsp mit den zusatzlichen Bezeichnungen h displaystyle h nbsp die Hohe der Platte m displaystyle mu nbsp die Querkontraktionszahl displaystyle nabla nbsp der Nabla Operator Diese Gleichung fuhrt auf die Dispersionsrelation k 2 12 h r 1 m 2 E w displaystyle k 2 frac sqrt 12 h cdot sqrt frac rho cdot 1 mu 2 E cdot omega nbsp und die Phasengeschwindigkeit c w h 2 E 12 r 1 m 2 4 displaystyle c sqrt omega cdot sqrt 4 frac h 2 cdot E 12 cdot rho cdot 1 mu 2 nbsp Gruppengeschwindigkeit Bearbeiten In beiden Fallen ist die Gruppengeschwindigkeit c g d w d k displaystyle c g frac d omega dk nbsp gerade doppelt so gross wie die Phasengeschwindigkeit c g 2 c displaystyle c g 2 cdot c nbsp Literatur BearbeitenMichael Moser Technische Akustik 7 Auflage Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 71386 9 google books Siehe auch BearbeitenBiegewellenwandler Koinzidenzfrequenz Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Biegewelle amp oldid 232419632