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Unendliche Diedergruppe Die unendliche Diedergruppe ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete

Unendliche Diedergruppe

Die unendliche Diedergruppe ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe. Es handelt sich um eine abzählbar unendliche Version der Diedergruppen.

Geometrische Definition Bearbeiten

So wie die Diedergruppen als die Symmetriegruppen einer geometrischen Figur, nämlich eines regelmäßigen n-Ecks, eingeführt werden können, kann die unendliche Diedergruppe als die Gruppe aller Isometrien, die eine Teilmenge eines euklidischen Raums in sich abbilden, definiert werden. ist die Gruppe aller Isometrien auf , die in sich abbilden.

Diese Isometrien sind Translationen um

für eine ganze Zahl und Spiegelungen an

für eine ganze Zahl . Die Gruppe dieser Isometrien heißt die unendliche Diedergruppe . Manche Autoren bezeichnen diese Gruppe mit oder nach der englischen Bezeichnung „dihedral group“ für Diedergruppe auch mit .

Die unendliche Diedergruppe wird schon von und erzeugt, denn offenbar gilt

das heißt, die von erzeugte Untergruppe enthält bereits alle Isometrien und und das heißt, dass von und erzeugt wird.

Ferner besteht die Beziehung

denn für jedes gilt

und es gilt

wobei 1 das neutrale Element bezeichne, denn ist eine Spiegelung.

D∞ als Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises Bearbeiten

Sei die Spiegelung des Einheitskreises an der x-Achse und eine Drehung des Kreises um für eine irrationale Zahl . Die von erzeugte zyklische Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises ist wegen der Irrationalität von unendlich und daher zu isomorph. Dann gilt offenbar

und man kann zeigen, dass einen Isomorphismus von auf die von erzeugte Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises definiert. Insbesondere hängt deren Isomorphieklasse nicht von der Wahl der irrationalen Zahl ab.

Präsentationen von D∞ Bearbeiten

Nach Obigem erfüllen die Erzeuger und die Relationen

Man kann zeigen, dass keine weiteren, davon unabhängigen Relationen bestehen. Präzise heißt das, dass die Präsentation

besitzt. Die zweite Relation kann man wegen auch als schreiben. Jedes Produkt aus den Erzeugern und kann daher durch wiederholte Anwendung der Relationen auf die Form mit und gebracht werden. Für das Rechnen in der Gruppe gilt demnach

wobei der Exponent modulo 2 zu verstehen ist.

Setzt man , so ist

Da man umgekehrt das Element mittels aus und zurückgewinnen kann, wird von den zwei Involutionen und , das heißt von Elementen, deren Quadrat das neutrale Element ist, erzeugt, und man kann sich überlegen, dass keine weiteren Relationen bestehen. Wir erhalten also eine zweite Präsentation

Demnach ist die unendliche Diedergruppe die größte von zwei Involutionen erzeugte Gruppe, jede andere ist isomorph zu einer Faktorgruppe davon.

Geometrisch entspricht der Erzeuger dem Produkt , und das ist die Spiegelung an . Die oben geometrisch beschriebene unendliche Diedergruppe wird also auch von den beiden Spiegelungen an 0 und erzeugt. Das wird sofort verständlich, indem man sich klarmacht, dass die Spiegelung an , gefolgt von der Spiegelung an 0, nichts anderes als die Translation um 1 ist.

D∞ als semidirektes Produkt Bearbeiten

Betrachte den Homomorphismus von der Gruppe ℤ2 in die Automorphismengruppe von , der die Restklasse von 1 auf abbildet. Mit diesem bilde das semidirekte Produkt

Die Verknüpfung ist bekanntlich durch die Formel

definiert, wobei und die Summe modulo 2 zu verstehen ist. Daraus liest man die Isomorphie zu ab.

Nun ist obiges sogar ein Isomorphismus, denn neben gibt es keine weiteren nichttrivialen Automorphismen auf .

Daher ist der Holomorph von , das heißt

D∞ als freies Produkt Bearbeiten

Die unendliche Diedergruppe ist das kleinste denkbare freie Produkt nichttrivialer Gruppen, es gilt

Es ist klar, dass von zwei Involutionen erzeugt wird. Daher erhält man aus obiger Präsentation einen Epimorphismus , von dem man zeigt, dass er ein Isomorphismus ist. Manche Autoren definieren die unendliche Diedergruppe auf diese Weise.

D∞ als Matrizengruppe Bearbeiten

Wir betrachten die Menge

von -Matrizen. Das Matrizenprodukt

zeigt, dass die Menge mit dem Matrizenprodukt als Multiplikation eine zu isomorphe Gruppe ist.

Untergruppen von D∞ Bearbeiten

Die unendliche Diedergruppe enthält folgende Untergruppen ( ganze Zahlen):

Das sind bereits alle Untergruppen von .

Wegen mit ist die unendliche Diedergruppe auflösbar, sogar überauflösbar, metabelsch und polyzyklisch.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), ISBN 978-3-642-94668-4, Beispiel 2 in Absatz 1.2.4.
  2. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Seite 51: Examples of Presentations (I).
  3. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), ISBN 978-3-642-94668-4, Beispiel 1 in Absatz 1.3.6.
  4. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example II.
  5. Ralph Stöcker: Algebraische Topologie: Eine Einführung. Ausgabe 2, Teubner-Verlag, ISBN 978-3-322-86785-8, Beispiel 5.3.6.
  6. Antonio Machì: Groups. An Introduction to Ideas and Methods of the Theory of Groups. Springer-Verlag 2012, ISBN 978-88-470-2421-2, Kapitel 4.8, Beispiel 3.
  7. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), ISBN 978-3-642-94668-4, Beispiel 2 in Absatz 1.2.4.
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Veröffentlichungsdatum:
Die unendliche Diedergruppe ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe Es handelt sich um eine abzahlbar unendliche Version der Diedergruppen Inhaltsverzeichnis 1 Geometrische Definition 2 D als Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises 3 Prasentationen von D 4 D als semidirektes Produkt 5 D als freies Produkt 6 D als Matrizengruppe 7 Untergruppen von D 8 EinzelnachweiseGeometrische Definition BearbeitenSo wie die Diedergruppen D n displaystyle D n nbsp als die Symmetriegruppen einer geometrischen Figur namlich eines regelmassigen n Ecks eingefuhrt werden konnen kann die unendliche Diedergruppe D displaystyle D infty nbsp als die Gruppe aller Isometrien die eine Teilmenge eines euklidischen Raums in sich abbilden definiert werden D displaystyle D infty nbsp ist die Gruppe aller Isometrien auf R R 1 displaystyle mathbb R mathbb R 1 nbsp die Z R displaystyle mathbb Z subset mathbb R nbsp in sich abbilden Diese Isometrien sind Translationen um n displaystyle n nbsp t n R R x x n displaystyle tau n colon mathbb R rightarrow mathbb R quad x mapsto x n nbsp fur eine ganze Zahl n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp und Spiegelungen an n 2 displaystyle n 2 nbsp s n R R x n x displaystyle sigma n colon mathbb R rightarrow mathbb R quad x mapsto n x nbsp fur eine ganze Zahl n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp Die Gruppe dieser Isometrien heisst die unendliche Diedergruppe D displaystyle D infty nbsp Manche Autoren bezeichnen diese Gruppe mit D 0 displaystyle D 0 nbsp 1 oder nach der englischen Bezeichnung dihedral group fur Diedergruppe auch mit D i h displaystyle mathrm Dih infty nbsp Die unendliche Diedergruppe wird schon von t t 1 displaystyle tau tau 1 nbsp und s s 0 displaystyle sigma sigma 0 nbsp erzeugt denn offenbar gilt t n t t displaystyle tau n tau circ ldots circ tau nbsp n fache Hinteinanderausfuhrung fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp t n t n 1 displaystyle tau n tau n 1 nbsp fur n lt 0 displaystyle n lt 0 nbsp t 0 displaystyle tau 0 nbsp ist das neutrale Element s n t n s displaystyle sigma n tau n circ sigma nbsp fur alle n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp das heisst die von t s displaystyle tau sigma nbsp erzeugte Untergruppe enthalt bereits alle Isometrien t n displaystyle tau n nbsp und s n displaystyle sigma n nbsp und das heisst dass D displaystyle D infty nbsp von t displaystyle tau nbsp und s displaystyle sigma nbsp erzeugt wird Ferner besteht die Beziehung s t s t 1 displaystyle sigma circ tau circ sigma tau 1 nbsp denn fur jedes r R displaystyle r in mathbb R nbsp gilt s t s r s t r s r 1 r 1 t 1 r displaystyle sigma tau sigma r sigma tau r sigma r 1 r 1 tau 1 r nbsp und es gilt s 2 1 displaystyle sigma 2 1 nbsp wobei 1 das neutrale Element bezeichne denn s displaystyle sigma nbsp ist eine Spiegelung D als Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises BearbeitenSei s displaystyle s nbsp die Spiegelung des Einheitskreises an der x Achse und d displaystyle d nbsp eine Drehung des Kreises um 2 p r displaystyle 2 pi r nbsp fur eine irrationale Zahl r displaystyle r nbsp Die von d displaystyle d nbsp erzeugte zyklische Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises ist wegen der Irrationalitat von r displaystyle r nbsp unendlich und daher zu Z displaystyle mathbb Z nbsp isomorph Dann gilt offenbar s 2 1 s d s d 1 displaystyle s 2 1 sds d 1 nbsp und man kann zeigen dass s s t d displaystyle sigma mapsto s tau mapsto d nbsp einen Isomorphismus von D displaystyle D infty nbsp auf die von s d displaystyle s d nbsp erzeugte Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises definiert Insbesondere hangt deren Isomorphieklasse nicht von der Wahl der irrationalen Zahl r displaystyle r nbsp ab Prasentationen von D BearbeitenNach Obigem erfullen die Erzeuger t displaystyle tau nbsp und s displaystyle sigma nbsp die Relationen s t s t 1 displaystyle sigma circ tau circ sigma tau 1 nbsp und s 2 1 displaystyle sigma 2 1 nbsp Man kann zeigen dass keine weiteren davon unabhangigen Relationen bestehen Prazise heisst das dass D displaystyle D infty nbsp die Prasentation D x y x 2 1 x y x y 1 displaystyle D infty langle x y mid x 2 1 xyx y 1 rangle nbsp besitzt Die zweite Relation kann man wegen x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp auch als x y y 1 x displaystyle xy y 1 x nbsp schreiben Jedes Produkt aus den Erzeugern x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp kann daher durch wiederholte Anwendung der Relationen auf die Form x i y n displaystyle x i y n nbsp mit i 0 1 displaystyle i in 0 1 nbsp und n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp gebracht werden Fur das Rechnen in der Gruppe gilt demnach D x i y n i 0 1 n Z displaystyle D infty x i y n mid i in 0 1 n in mathbb Z nbsp und x i y n x j y m x i j y 1 2 j n m displaystyle x i y n cdot x j y m x i j y 1 2j n m nbsp wobei der Exponent i j displaystyle i j nbsp modulo 2 zu verstehen ist Setzt man z x y displaystyle z xy nbsp so ist z 2 x y x y y 1 y 1 displaystyle z 2 xyxy y 1 y 1 nbsp Da man umgekehrt das Element y displaystyle y nbsp mittels y x z displaystyle y xz nbsp aus x displaystyle x nbsp und z displaystyle z nbsp zuruckgewinnen kann wird D displaystyle D infty nbsp von den zwei Involutionen x displaystyle x nbsp und z displaystyle z nbsp das heisst von Elementen deren Quadrat das neutrale Element ist erzeugt und man kann sich uberlegen dass keine weiteren Relationen bestehen Wir erhalten also eine zweite Prasentation D x z x 2 1 z 2 1 displaystyle D infty langle x z mid x 2 1 z 2 1 rangle nbsp Demnach ist die unendliche Diedergruppe die grosste von zwei Involutionen erzeugte Gruppe jede andere ist isomorph zu einer Faktorgruppe davon 2 Geometrisch entspricht der Erzeuger z displaystyle z nbsp dem Produkt s t displaystyle sigma tau nbsp und das ist die Spiegelung an 1 2 displaystyle textstyle frac 1 2 nbsp Die oben geometrisch beschriebene unendliche Diedergruppe wird also auch von den beiden Spiegelungen an 0 und 1 2 displaystyle textstyle frac 1 2 nbsp erzeugt Das wird sofort verstandlich indem man sich klarmacht dass die Spiegelung an 1 2 displaystyle textstyle frac 1 2 nbsp gefolgt von der Spiegelung an 0 nichts anderes als die Translation um 1 ist D als semidirektes Produkt BearbeitenBetrachte den Homomorphismus a Z 2 A u t Z displaystyle alpha colon mathbb Z 2 rightarrow mathrm Aut mathbb Z nbsp von der Gruppe ℤ2 in die Automorphismengruppe von Z displaystyle mathbb Z nbsp der die Restklasse von 1 auf a 1 Z Z n n displaystyle alpha 1 colon mathbb Z rightarrow mathbb Z n mapsto n nbsp abbildet Mit diesem a displaystyle alpha nbsp bilde das semidirekte Produkt Z a Z 2 n i n Z i 0 1 displaystyle mathbb Z rtimes alpha mathbb Z 2 n i mid n in mathbb Z i in 0 1 nbsp Die Verknupfung ist bekanntlich durch die Formel n i m j n a i m i j displaystyle n i cdot m j n alpha i m i j nbsp definiert wobei a 0 i d Z displaystyle alpha 0 mathrm id mathbb Z nbsp und die Summe i j displaystyle i j nbsp modulo 2 zu verstehen ist Daraus liest man die Isomorphie zu D displaystyle D infty nbsp ab Nun ist obiges a Z 2 A u t Z displaystyle alpha colon mathbb Z 2 rightarrow mathrm Aut mathbb Z nbsp sogar ein Isomorphismus denn neben a 1 displaystyle alpha 1 nbsp gibt es keine weiteren nichttrivialen Automorphismen auf Z displaystyle mathbb Z nbsp Daher ist D displaystyle D infty nbsp der Holomorph von Z displaystyle mathbb Z nbsp das heisst 3 D Z a Z 2 Z A u t Z H o l Z displaystyle D infty cong mathbb Z rtimes alpha mathbb Z 2 cong mathbb Z rtimes mathrm Aut mathbb Z mathrm Hol mathbb Z nbsp D als freies Produkt BearbeitenDie unendliche Diedergruppe ist das kleinste denkbare freie Produkt nichttrivialer Gruppen es gilt 4 D Z 2 Z 2 displaystyle D infty cong mathbb Z 2 mathbb Z 2 nbsp Es ist klar dass Z 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z 2 nbsp von zwei Involutionen erzeugt wird Daher erhalt man aus obiger Prasentation einen Epimorphismus D Z 2 Z 2 displaystyle D infty rightarrow mathbb Z 2 mathbb Z 2 nbsp von dem man zeigt dass er ein Isomorphismus ist Manche Autoren definieren die unendliche Diedergruppe auf diese Weise 5 D als Matrizengruppe BearbeitenWir betrachten die Menge M e n 0 1 e 1 1 n Z displaystyle M bigl begin pmatrix e amp n 0 amp 1 end pmatrix e in 1 1 n in mathbb Z bigr nbsp von 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen Das Matrizenprodukt 1 i n 0 1 1 j m 0 1 1 i j 1 i m n 0 1 displaystyle begin pmatrix 1 i amp n 0 amp 1 end pmatrix cdot begin pmatrix 1 j amp m 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 1 i j amp 1 i m n 0 amp 1 end pmatrix nbsp zeigt dass die Menge M displaystyle M nbsp mit dem Matrizenprodukt als Multiplikation eine zu D displaystyle D infty nbsp isomorphe Gruppe ist 6 Untergruppen von D BearbeitenDie unendliche Diedergruppe D x y x 2 1 x y x y 1 displaystyle D infty langle x y mid x 2 1 xyx y 1 rangle nbsp enthalt folgende Untergruppen k n r displaystyle k n r nbsp ganze Zahlen U k y k displaystyle U k langle y k rangle nbsp fur k 0 displaystyle k geq 0 nbsp V 0 n y n x Z 2 displaystyle V 0 n langle y n x rangle cong mathbb Z 2 nbsp fur n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp V k r y k y r x D displaystyle V k r langle y k y r x rangle cong D infty nbsp fur 0 r lt k displaystyle 0 leq r lt k nbsp Das sind bereits alle Untergruppen von D displaystyle D infty nbsp 7 Wegen 1 y D displaystyle 1 leq langle y rangle leq D infty nbsp mit D y Z 2 displaystyle D infty langle y rangle cong mathbb Z 2 nbsp ist die unendliche Diedergruppe auflosbar sogar uberauflosbar metabelsch und polyzyklisch Einzelnachweise Bearbeiten Wilhelm Specht Gruppentheorie Springer Verlag 1956 ISBN 978 3 642 94668 4 Beispiel 2 in Absatz 1 2 4 D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 978 1 4612 6443 9 Seite 51 Examples of Presentations I Wilhelm Specht Gruppentheorie Springer Verlag 1956 ISBN 978 3 642 94668 4 Beispiel 1 in Absatz 1 3 6 D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 978 1 4612 6443 9 Kapitel 6 2 Examples of Free Products Example II Ralph Stocker Algebraische Topologie Eine Einfuhrung Ausgabe 2 Teubner Verlag ISBN 978 3 322 86785 8 Beispiel 5 3 6 Antonio Machi Groups An Introduction to Ideas and Methods of the Theory of Groups Springer Verlag 2012 ISBN 978 88 470 2421 2 Kapitel 4 8 Beispiel 3 Wilhelm Specht Gruppentheorie Springer Verlag 1956 ISBN 978 3 642 94668 4 Beispiel 2 in Absatz 1 2 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Unendliche Diedergruppe amp oldid 219581762