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Polyzyklische Gruppe n sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppen Sie setzen sic

Polyzyklische Gruppe

Polyzyklische Gruppen sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppen. Sie setzen sich aus zyklischen Gruppen zusammen.

Definition Bearbeiten

Eine Gruppe heißt polyzyklisch, falls es eine endliche Kette

gibt, so dass jede Faktorgruppe zyklisch ist. Das Symbol steht dabei, wie üblich, für "ist Normalteiler in".

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • Untergruppen, homomorphe Bilder und Erweiterungen polyzyklischer Gruppen sind wieder polyzyklisch.
  • Polyzyklische Gruppen erfüllen die Maximalbedingung für Untergruppen, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen besitzt ein maximales Element.
  • Jede Untergruppe einer polyzyklischen Gruppe ist endlich erzeugt, denn das ist äquivalent zur Maximalbedingung.
  • Jede polyzyklische Gruppe ist residuell endlich, das heißt zu jedem von 1 verschiedenen Element gibt es einen Normalteiler mit endlichem Index, der das Element nicht enthält.
  • Die Frattinigruppe einer polyzyklischen Gruppe ist nilpotent.
  • Ist G eine Gruppe, die eine polyzyklische Untergruppe mit endlichem Index enthält, so ist der Gruppenring bzgl. eines Körpers K noethersch.

Äquivalente Charakterisierungen Bearbeiten

  • Eine Gruppe ist genau dann polyzyklisch, wenn sie auflösbar ist und der Maximalbedingung genügt.
  • Eine Gruppe G ist genau dann polyzyklisch, wenn es eine Reihe aus Normalteilern gibt, so dass alle Faktoren entweder eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe oder eine endliche elementar abelsche Gruppe ist.
  • Die polyzyklischen Gruppen sind bis auf Isomorphie genau die auflösbaren Untergruppen der , der ganzzahligen allgemeinen linearen Gruppe.

Hirsch-Länge Bearbeiten

Die zyklische Reihe in der Definition der polyzyklischen Gruppe ist nicht eindeutig festgelegt, wie schon das einfache Beispiel zeigt. Aber die Anzahl der zu isomorphen Faktoren hängt nicht von der zyklischen Reihe ab. Diese Anzahl heißt die Hirsch-Länge der polyzyklischen Gruppe, benannt nach K. A. Hirsch.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Seite 54
  2. Peter J. Hilton: Nilpotente Gruppen und nilpotente Räume, Lecture Notes in Mathematics, Band 1053 (1981), Definition 3.19
  3. Louis H. Rowen: Ring Theory II, Academic Press (1988), nach Definition 8.2.1
  4. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 3.1.6
  5. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.17
  6. Louis H. Rowen: Ring Theory II, Academic Press (1988), nach Definition 8.2.1
  7. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.12
  8. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.14
  9. Daniel Segal: Polycyclic Groups, Cambridge University Press (2005), ISBN 978-0-521-02394-8, Kapitel 5
  10. A. I. Malcev: On some classes of infinite solvable groups, Mat. Sb. 28(70) (1951), Seiten 567–588; Amer. Math. Soc. Transl. (2) 2 (1956), Seiten 1–22
  11. L. Auslander: On a Problem of Philip Hall, Annals of Mathematics (1967), Band 86, Nr. 1, Seiten 112–116
  12. R. Swan: Representations of Polycyclic Groups, Proceedings of the American Mathematical Society (1967), Band 18, Seiten 573–574, siehe hier
  13. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.13
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Veröffentlichungsdatum:
Polyzyklische Gruppen sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppen Sie setzen sich aus zyklischen Gruppen zusammen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Aquivalente Charakterisierungen 5 Hirsch Lange 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Gruppe G displaystyle G nbsp heisst polyzyklisch falls es eine endliche Kette 1 G 0 G 1 G n G displaystyle 1 G 0 vartriangleleft G 1 vartriangleleft ldots vartriangleleft G n G nbsp gibt so dass jede Faktorgruppe G i 1 G i displaystyle G i 1 G i nbsp zyklisch ist Das Symbol displaystyle vartriangleleft nbsp steht dabei wie ublich fur ist Normalteiler in 1 2 Beispiele BearbeitenJede zyklische Gruppe ist polyzyklisch Jede endliche auflosbare Gruppe ist polyzyklisch denn eine Auflosung kann zu einer solchen mit einfachen Faktoren verfeinert werden und einfache abelsche Gruppen sind zyklisch Jede uberauflosbare Gruppe ist polyzyklisch insbesondere sind endlich erzeugte nilpotente Gruppen polyzyklisch Die unendliche Diedergruppe ist polyzyklisch aber nicht nilpotent 3 Eigenschaften BearbeitenUntergruppen homomorphe Bilder und Erweiterungen polyzyklischer Gruppen sind wieder polyzyklisch Polyzyklische Gruppen erfullen die Maximalbedingung fur Untergruppen das heisst jede nicht leere Menge von Untergruppen besitzt ein maximales Element Beweis Fur zyklische Gruppen ist das klar und die Maximalbedingung setzt sich auf Erweiterungen fort Jede Untergruppe einer polyzyklischen Gruppe ist endlich erzeugt denn das ist aquivalent zur Maximalbedingung 4 Jede polyzyklische Gruppe ist residuell endlich das heisst zu jedem von 1 verschiedenen Element gibt es einen Normalteiler mit endlichem Index der das Element nicht enthalt 5 Die Frattinigruppe einer polyzyklischen Gruppe ist nilpotent Ist G eine Gruppe die eine polyzyklische Untergruppe mit endlichem Index enthalt so ist der Gruppenring K G displaystyle K G nbsp bzgl eines Korpers K noethersch 6 Aquivalente Charakterisierungen BearbeitenEine Gruppe ist genau dann polyzyklisch wenn sie auflosbar ist und der Maximalbedingung genugt 7 Eine Gruppe G ist genau dann polyzyklisch wenn es eine Reihe 1 G 0 G 1 G n G displaystyle 1 G 0 vartriangleleft G 1 vartriangleleft ldots vartriangleleft G n G nbsp aus Normalteilern G i G displaystyle G i vartriangleleft G nbsp gibt so dass alle Faktoren G i 1 G i displaystyle G i 1 G i nbsp entweder eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe oder eine endliche elementar abelsche Gruppe ist 8 Die polyzyklischen Gruppen sind bis auf Isomorphie genau die auflosbaren Untergruppen der G L n Z displaystyle mathrm GL n mathbb Z nbsp der ganzzahligen allgemeinen linearen Gruppe 9 Dass auflosbare Untergruppen der G L n Z displaystyle mathrm GL n mathbb Z nbsp polyzyklisch sind wurde bereits 1951 von Anatoli Malzew bewiesen 10 Der Beweis der von Philip Hall vermuteten Umkehrung gelang 1967 Louis Auslander 11 der Beweis konnte von Richard Swan erheblich vereinfacht werden 12 Hirsch Lange BearbeitenDie zyklische Reihe 1 G 0 G 1 G n G displaystyle 1 G 0 vartriangleleft G 1 vartriangleleft ldots vartriangleleft G n G nbsp in der Definition der polyzyklischen Gruppe ist nicht eindeutig festgelegt wie schon das einfache Beispiel Z 6 Z 3 Z 2 displaystyle mathbb Z 6 cong mathbb Z 3 oplus mathbb Z 2 nbsp zeigt Aber die Anzahl der zu Z displaystyle mathbb Z nbsp isomorphen Faktoren hangt nicht von der zyklischen Reihe ab Diese Anzahl heisst die Hirsch Lange der polyzyklischen Gruppe benannt nach K A Hirsch 13 Einzelnachweise Bearbeiten D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 978 1 4612 6443 9 Seite 54 Peter J Hilton Nilpotente Gruppen und nilpotente Raume Lecture Notes in Mathematics Band 1053 1981 Definition 3 19 Louis H Rowen Ring Theory II Academic Press 1988 nach Definition 8 2 1 D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 978 1 4612 6443 9 Satz 3 1 6 D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 978 1 4612 6443 9 Satz 5 4 17 Louis H Rowen Ring Theory II Academic Press 1988 nach Definition 8 2 1 D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 978 1 4612 6443 9 Satz 5 4 12 D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 978 1 4612 6443 9 Satz 5 4 14 Daniel Segal Polycyclic Groups Cambridge University Press 2005 ISBN 978 0 521 02394 8 Kapitel 5 A I Malcev On some classes of infinite solvable groups Mat Sb 28 70 1951 Seiten 567 588 Amer Math Soc Transl 2 2 1956 Seiten 1 22 L Auslander On a Problem of Philip Hall Annals of Mathematics 1967 Band 86 Nr 1 Seiten 112 116 R Swan Representations of Polycyclic Groups Proceedings of the American Mathematical Society 1967 Band 18 Seiten 573 574 siehe hier D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 978 1 4612 6443 9 Satz 5 4 13 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polyzyklische Gruppe amp oldid 209591728