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Theorie Logik In der mathematischen Logik ist eine Theorie der Prädikatenlogik erster Stufe eine Menge von Aussagen über

Theorie (Logik)

In der mathematischen Logik ist eine Theorie (der Prädikatenlogik erster Stufe) eine Menge von Aussagen über einer Signatur.

Definition Bearbeiten

Eine Menge von Aussagen heißt deduktiv abgeschlossen, wenn für alle Aussagen aus

schon folgt, dass

Wenn eine Sprache ist, so ist eine Theorie eine deduktiv abgeschlossene Menge von Aussagen über dieser Sprache.

(Bemerkung: Die Definitionen sind in der Literatur nicht einheitlich. Zum Teil wird auch nicht verlangt, dass eine Theorie deduktiv abgeschlossen ist.)

Eine Menge von Aussagen ist ein Axiomensystem für eine Theorie, wenn der deduktive Abschluss dieser Aussagen die Theorie ist.

Theorie einer Struktur Bearbeiten

Die Theorie einer Struktur wird notiert als . Sie enthält alle Sätze, die für gelten, das heißt, für die ein Modell ist. Als Formel:

Wenn eine Struktur ist, so ist deduktiv abgeschlossen.

Eigenschaften Bearbeiten

Allgemein Bearbeiten

  • Die Mächtigkeit einer Theorie ist ihre Mächtigkeit als Menge, mindestens aber abzählbar.
  • Eine Theorie ist konsistent, wenn sie nicht jeden Satz enthält. (Das ist dazu äquivalent, dass sie keinen Satz der Form „“ enthält.)
  • Die Theorie ist vollständig, wenn sie für jede Aussage entweder sie oder ihre Negation enthält.
  • Die Theorie ist endlich axiomatisierbar, wenn sie der deduktive Abschluss einer endlichen Menge von Aussagen ist.

Modelltheorie Bearbeiten

  • Eine Theorie ist modellvollständig, wenn sich daraus, dass ein Modell in dem anderen liegt, dieses dann auch elementar in dem anderen liegt.
  • Eine Theorie hat Quantorenelimination, wenn sie der deduktive Abschluss einer Menge von Formeln ist, die ohne Quantoren gebildet wurde.
  • Eine Theorie ist kategorisch in einer Kardinalzahl , wenn sie bis auf Isomorphie nur ein Modell der Mächtigkeit hat.
  • Eine vollständige Theorie heißt klein oder schmal, wenn für alle abzählbar ist. ( ist die Menge alle vollständigen Typen in Variablen.)

Sätze Bearbeiten

Wichtige Sätze über Theorien sind:

Der Gödelsche Vollständigkeitssatz:

  • Jede konsistente Theorie hat ein Modell.

Der Satz von Löwenheim-Skolem:

  • Wenn eine Theorie ein Modell in einer unendlichen Kardinalzahl hat, so hat sie auch eines in jeder Kardinalzahl größer oder gleich ihrer Mächtigkeit.

Der Satz von Morley:

  • Ist eine abzählbare Theorie in einer überabzählbaren Kardinalzahl kategorisch, so in jeder.

Beispiele Bearbeiten

Arithmetik Bearbeiten

Die Theorie der Arithmetik der natürlichen Zahlen (oft kurz auch nur: Arithmetik) enthält alle Aussagen, die für die Struktur gelten. Hierbei ist

Die Aussagen sind in der Sprache der Prädikatenlogik der ersten Stufe mit der Signatur formuliert, wobei das Symbol für die Null, das Symbol für die Nachfolgefunktion, das Symbol für die Multiplikation und das Symbol für die Addition ist. Nach dem Satz von Skolem gibt es neben dem Standard-Modell für die Theorie auch abzählbare Nicht-Standard-Modelle für .

Peano-Arithmetik Bearbeiten

Die Peano-Arithmetik ist die Theorie der Aussagen die aus den folgenden noch zu formalisierenden Axiomen über der Symbolmenge der Sprache der Arithmetik folgen:

Zusätzlich ist noch für jede Formel die Induktionsformel mit ein Axiom:

Die Peano-Arithmetik ist eine echte Teilmenge der Arithmetik. In anderen Worten: die Peano-Arithmetik ist unvollständig, es gibt Aussagen in der Arithmetik die nicht aus den Axiomen der Peano-Arithmetik folgen. Die Arithmetik lässt sich nicht rekursiv aufzählen. Dies ist die Aussage des Unvollständigkeitssatzes.

Die Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte Bearbeiten

Die Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte ist die Theorie von den rationalen Zahlen mit der Ordnungsrelation "<". Die Axiome lauten im Einzelnen:

  1. (Trichotomie)
  2. (Asymmetrie)
  3. (Transitivität)
  4. (Offenheit)
  5. (Dichtheit)

Sie hat unter anderem folgende Eigenschaften

  • Sie ist endlich axiomatisierbar, hat aber keine endlichen Modelle.
  • Sie ist vollständig und modellvollständig.
  • Alle abzählbaren Modelle sind isomorph (zum Beweis), in überabzählbaren Kardinalzahlen gibt es nicht isomorphe Modelle. In der Sprache der Modelltheorie heißt das: Sie ist -kategorisch, aber nicht kategorisch in überabzählbaren Kardinalzahlen: Ist eine überabzählbare Kardinalzahl, so hat diese Theorie nicht-isomorphe Modelle der Mächtigkeit .
  • Sie ist der (eindeutig bestimmte) Modellbegleiter der Theorie der linearen Ordnung.
  • Sie besitzt mit den rationalen Zahlen ein Primmodell. (Das ist ein Modell, das in jedes andere Modell elementar eingebettet werden kann.)
  • Jedes Modell ist atomar.
  • Sie hat Quantorenelimination.
  • Sie ist nicht stabil.

Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper (in der Charakteristik p oder 0) Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model Theory. Amsterdam [u. a.], North-Holland, 1998, S. 12
  2. Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum und Wolfgang Thomas. Einführung in die mathematische Logik. 6. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Spektrum, 2018. doi:10.1007/978-3-662-58029-5. Seite 99
  3. Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum und Wolfgang Thomas. Einführung in die mathematische Logik. 6. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Spektrum, 2018. doi:10.1007/978-3-662-58029-5. Seiten 52 und 101
  4. Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum und Wolfgang Thomas. Einführung in die mathematische Logik. 6. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Spektrum, 2018. doi:10.1007/978-3-662-58029-5. Seite 101

Literatur Bearbeiten

  • H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5
  • Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
  • Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model Theory. Amsterdam [u. a.], North-Holland, 1998.
  • Prestel, Alexander: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Vieweg, Braunschweig 1986. (Vieweg-Studium; 60: Aufbaukurs Mathematik). ISBN 3-528-07260-1. 286 S.
  • Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.
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In der mathematischen Logik ist eine Theorie der Pradikatenlogik erster Stufe eine Menge von Aussagen uber einer Signatur Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Theorie einer Struktur 2 Eigenschaften 2 1 Allgemein 2 2 Modelltheorie 3 Satze 4 Beispiele 4 1 Arithmetik 4 1 1 Peano Arithmetik 4 2 Die Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte 4 3 Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Korper in der Charakteristik p oder 0 5 Einzelnachweise 6 LiteraturDefinition BearbeitenEine Menge von Aussagen T displaystyle T nbsp heisst deduktiv abgeschlossen wenn fur alle Aussagen ϕ displaystyle phi nbsp aus T ϕ displaystyle T vdash phi nbsp schon folgt dass ϕ T displaystyle phi in T nbsp Wenn L displaystyle L nbsp eine Sprache ist so ist eine Theorie eine deduktiv abgeschlossene Menge von Aussagen uber dieser Sprache Bemerkung Die Definitionen sind in der Literatur nicht einheitlich Zum Teil wird auch nicht verlangt dass eine Theorie deduktiv abgeschlossen ist 1 Eine Menge von Aussagen ist ein Axiomensystem fur eine Theorie wenn der deduktive Abschluss dieser Aussagen die Theorie ist Theorie einer Struktur Bearbeiten Die Theorie einer Struktur M displaystyle M nbsp wird notiert als T h M displaystyle mathrm Th M nbsp Sie enthalt alle Satze die fur M displaystyle M nbsp gelten das heisst fur die M displaystyle M nbsp ein Modell ist Als Formel T h M ϕ M ϕ displaystyle mathrm Th M phi mid M vDash phi nbsp 2 Wenn M displaystyle M nbsp eine Struktur ist so ist T h M displaystyle mathrm Th M nbsp deduktiv abgeschlossen Eigenschaften BearbeitenAllgemein Bearbeiten Die Machtigkeit einer Theorie ist ihre Machtigkeit als Menge mindestens aber abzahlbar Eine Theorie ist konsistent wenn sie nicht jeden Satz enthalt Das ist dazu aquivalent dass sie keinen Satz der Form ϕ ϕ displaystyle phi wedge neg phi nbsp enthalt Die Theorie ist vollstandig wenn sie fur jede Aussage entweder sie oder ihre Negation enthalt Die Theorie ist endlich axiomatisierbar wenn sie der deduktive Abschluss einer endlichen Menge von Aussagen ist Modelltheorie Bearbeiten Eine Theorie ist modellvollstandig wenn sich daraus dass ein Modell in dem anderen liegt dieses dann auch elementar in dem anderen liegt Eine Theorie hat Quantorenelimination wenn sie der deduktive Abschluss einer Menge von Formeln ist die ohne Quantoren gebildet wurde Eine Theorie ist kategorisch in einer Kardinalzahl k displaystyle kappa nbsp wenn sie bis auf Isomorphie nur ein Modell der Machtigkeit k displaystyle kappa nbsp hat Eine vollstandige Theorie T displaystyle T nbsp heisst klein oder schmal wenn fur alle n S n T displaystyle n S n T nbsp abzahlbar ist S n T displaystyle S n T nbsp ist die Menge alle vollstandigen Typen in n displaystyle n nbsp Variablen Satze BearbeitenWichtige Satze uber Theorien sind Der Godelsche Vollstandigkeitssatz Jede konsistente Theorie hat ein Modell Der Satz von Lowenheim Skolem Wenn eine Theorie ein Modell in einer unendlichen Kardinalzahl hat so hat sie auch eines in jeder Kardinalzahl grosser oder gleich ihrer Machtigkeit Der Satz von Morley Ist eine abzahlbare Theorie in einer uberabzahlbaren Kardinalzahl kategorisch so in jeder Beispiele BearbeitenArithmetik Bearbeiten Die Theorie der Arithmetik der naturlichen Zahlen oft kurz auch nur Arithmetik T h N displaystyle mathrm Th cal N nbsp enthalt alle Aussagen die fur die Struktur N N 0 s displaystyle cal N mathbb N 0 s cdot nbsp gelten 3 Hierbei ist N displaystyle mathbb N nbsp die Menge der naturlichen Zahlen 0 N displaystyle 0 in mathbb N nbsp die Null N N N displaystyle mathbb N times mathbb N to mathbb N nbsp die Additionsfunktion N N N displaystyle cdot mathbb N times mathbb N to mathbb N nbsp die Multiplikationsfunktion und s N N displaystyle s mathbb N to mathbb N nbsp die Nachfolgefunktion Die Aussagen sind in der Sprache der Pradikatenlogik der ersten Stufe mit der Signatur 0 S displaystyle 0 S cdot nbsp formuliert wobei 0 displaystyle 0 nbsp das Symbol fur die Null S displaystyle S nbsp das Symbol fur die Nachfolgefunktion displaystyle cdot nbsp das Symbol fur die Multiplikation und displaystyle nbsp das Symbol fur die Addition ist Nach dem Satz von Skolem gibt es neben dem Standard Modell N displaystyle cal N nbsp fur die Theorie auch abzahlbare Nicht Standard Modelle N displaystyle cal N nbsp fur T h N displaystyle mathrm Th cal N nbsp 4 Peano Arithmetik Bearbeiten Hauptartikel Peano Arithmetik Die Peano Arithmetik ist die Theorie der Aussagen die aus den folgenden noch zu formalisierenden Axiomen uber der Symbolmenge der Sprache der Arithmetik folgen Null ist kein Wert der Nachfolgerfunktion S Die Nachfolgerfunktion ist injektiv Fur alle n displaystyle n nbsp ist n 0 n displaystyle n 0 n nbsp Fur alle n displaystyle n nbsp ist n S m S n m displaystyle n Sm S n m nbsp Fur alle n displaystyle n nbsp ist n 0 0 displaystyle n cdot 0 0 nbsp Fur alle n displaystyle n nbsp ist n S m n m n displaystyle n cdot Sm n cdot m n nbsp Zusatzlich ist noch fur jede Formel ϕ displaystyle phi nbsp die Induktionsformel mit ϕ displaystyle phi nbsp ein Axiom ϕ 0 y x ϕ x y ϕ S x y x ϕ x y displaystyle phi 0 vec y land forall x phi x vec y rightarrow phi Sx vec y rightarrow forall x phi x vec y nbsp y displaystyle vec y nbsp steht fur y 1 y k displaystyle y 1 y k nbsp Die Peano Arithmetik ist eine echte Teilmenge der Arithmetik In anderen Worten die Peano Arithmetik ist unvollstandig es gibt Aussagen in der Arithmetik die nicht aus den Axiomen der Peano Arithmetik folgen Die Arithmetik lasst sich nicht rekursiv aufzahlen Dies ist die Aussage des Unvollstandigkeitssatzes Die Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte Bearbeiten Die Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte ist die Theorie von den rationalen Zahlen mit der Ordnungsrelation lt Die Axiome lauten im Einzelnen x lt y x y y lt x displaystyle x lt y vee x y vee y lt x nbsp Trichotomie x lt y y lt x displaystyle x lt y rightarrow neg y lt x nbsp Asymmetrie x lt y y lt z x lt z displaystyle x lt y wedge y lt z rightarrow x lt z nbsp Transitivitat y z x lt y z lt x displaystyle exists y z x lt y z lt x nbsp Offenheit x lt y z x lt z z lt y displaystyle x lt y rightarrow exists z x lt z wedge z lt y nbsp Dichtheit Sie hat unter anderem folgende Eigenschaften Sie ist endlich axiomatisierbar hat aber keine endlichen Modelle Sie ist vollstandig und modellvollstandig Alle abzahlbaren Modelle sind isomorph zum Beweis in uberabzahlbaren Kardinalzahlen gibt es nicht isomorphe Modelle In der Sprache der Modelltheorie heisst das Sie ist w displaystyle omega nbsp kategorisch aber nicht kategorisch in uberabzahlbaren Kardinalzahlen Ist k displaystyle kappa nbsp eine uberabzahlbare Kardinalzahl so hat diese Theorie 2 k displaystyle 2 kappa nbsp nicht isomorphe Modelle der Machtigkeit k displaystyle kappa nbsp Sie ist der eindeutig bestimmte Modellbegleiter der Theorie der linearen Ordnung Sie besitzt mit den rationalen Zahlen ein Primmodell Das ist ein Modell das in jedes andere Modell elementar eingebettet werden kann Jedes Modell ist atomar Sie hat Quantorenelimination Sie ist nicht stabil Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Korper in der Charakteristik p oder 0 Bearbeiten Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Korper ohne Angabe der Charakteristik ist modellvollstandig aber nicht vollstandig Fur die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Korper mit einer Angabe der Charakteristik gilt Sie ist vollstandig Sie hat ein Primmodell Sie ist w displaystyle omega nbsp kategorisch aber nicht kategorisch in einer uberabzahlbaren Kardinalzahl Sie hat Quantorenelimination Einzelnachweise Bearbeiten Chang Chen C Keisler H Jerome Model Theory Amsterdam u a North Holland 1998 S 12 Heinz Dieter Ebbinghaus Jorg Flum und Wolfgang Thomas Einfuhrung in die mathematische Logik 6 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Spektrum 2018 doi 10 1007 978 3 662 58029 5 Seite 99 Heinz Dieter Ebbinghaus Jorg Flum und Wolfgang Thomas Einfuhrung in die mathematische Logik 6 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Spektrum 2018 doi 10 1007 978 3 662 58029 5 Seiten 52 und 101 Heinz Dieter Ebbinghaus Jorg Flum und Wolfgang Thomas Einfuhrung in die mathematische Logik 6 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Spektrum 2018 doi 10 1007 978 3 662 58029 5 Seite 101Literatur BearbeitenH D Ebbinghaus J Flum W Thomas Einfuhrung in die mathematische Logik Spektrum Akademischer Verlag ISBN 3 8274 0130 5 Wilfrid Hodges Model theory Cambridge University Press 1993 ISBN 0 521 30442 3 Chang Chen C Keisler H Jerome Model Theory Amsterdam u a North Holland 1998 Prestel Alexander Einfuhrung in die Mathematische Logik und Modelltheorie Vieweg Braunschweig 1986 Vieweg Studium 60 Aufbaukurs Mathematik ISBN 3 528 07260 1 286 S Philipp Rothmaler Einfuhrung in die Modelltheorie Spektrum Akademischer Verlag 1995 ISBN 978 3 86025 461 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Theorie Logik amp oldid 229833186