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Modell Logik In der mathematischen Logik ist ein Modell eines Axiomensystems eine mit gewissen Strukturen versehene Meng

Modell (Logik)

In der mathematischen Logik ist ein Modell eines Axiomensystems eine mit gewissen Strukturen versehene Menge, auf die die Axiome dieses Systems zutreffen.

Beispielsweise ist die Geometrie der euklidischen Ebene ein Modell des euklidischen Axiomensystems, und falls man auf das Parallelenaxiom verzichtet, ist auch die Geometrie der hyperbolischen Ebene ein Modell des übrigbleibenden Axiomensystems.

Die Existenz eines Modells beweist die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems. Die Modelltheorie beschäftigt sich damit, welche Modelle es für bestimmte Axiomensysteme gibt.

Definition von Modellen Bearbeiten

In einer elementaren Sprache sind die Ausdrücke oder -Formeln über einem Alphabet gebildet, das aus den folgenden Grundzeichen besteht.

  1. abzählbar viele Individuenvariablen:
  2. Funktionszeichen:
  3. Relationszeichen:
  4. Individuenzeichen:
  5. logische Zeichen: ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∃, ∀, =
  6. technische Zeichen: (, )

Ist eine algebraische Struktur, dann enthält eine für A geeignete elementare Sprache für jede Funktion ein Funktionszeichen , für jede Relation ein Relationszeichen und für jedes Element ein Individuenzeichen . Die Signatur der algebraischen Struktur besteht aus den Familien aller Stellenzahlen der Funktions- bzw. Relationszeichen und der aller Individuenzeichen. Stimmt sie mit der Signatur einer elementaren Sprache überein, dann ist diese geeignet, um Aussagen über die algebraische Struktur zu formulieren. Werden den Funktions-, Relations- und Individuenzeichen entsprechende Funktionen, Relationen bzw. Elemente aus zugeordnet, dann ist die Sprache in der Struktur interpretiert.

Terme werden induktiv dadurch definiert, dass Individuenvariablen und Individuenzeichen Terme sind und für Terme und ein -stelliges Funktionszeichen auch ein Term ist. Ausdrücke werden ebenfalls induktiv definiert:

Aussagen sind Ausdrücke, in denen keine freien Variablen vorkommen. Dabei wird das freie Vorkommen einer Variablen wieder induktiv definiert: die Individuenvariable kommt in dem Ausdruck φ genau dann frei vor, wenn

Mit A ⊨ φ bezeichnet man die Gültigkeit von φ in der Struktur A. Diese wird wieder induktiv definiert:

Ein Ausdruck ist in gültig, wenn für alle Elemente zutrifft, d. h., wenn die Aussage gilt. Eine Menge T von Ausdrücken oder Aussagen aus L, die deduktiv abgeschlossen ist, heißt elementare Theorie.

Ist T eine in L formulierte Theorie und 𝒜 eine Struktur für L, d. h., 𝒜 und L besitzen die gleiche Signatur, dann ist 𝒜 ein Modell von T, falls alle Aussagen oder Ausdrücke aus T in 𝒜 gültig sind (in Zeichen 𝒜 ⊨ T).

Literatur Bearbeiten

  • C. C. Chang, H. J. Keisler: Model Theory. In: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Nr. 73. North-Holland, Amsterdam 1973 (englisch).

Weblinks Bearbeiten

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In der mathematischen Logik ist ein Modell eines Axiomensystems eine mit gewissen Strukturen versehene Menge auf die die Axiome dieses Systems zutreffen Beispielsweise ist die Geometrie der euklidischen Ebene ein Modell des euklidischen Axiomensystems und falls man auf das Parallelenaxiom verzichtet ist auch die Geometrie der hyperbolischen Ebene ein Modell des ubrigbleibenden Axiomensystems Die Existenz eines Modells beweist die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems Die Modelltheorie beschaftigt sich damit welche Modelle es fur bestimmte Axiomensysteme gibt Definition von Modellen BearbeitenIn einer elementaren Sprache L displaystyle L nbsp sind die Ausdrucke oder L displaystyle L nbsp Formeln uber einem Alphabet gebildet das aus den folgenden Grundzeichen besteht abzahlbar viele Individuenvariablen x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 ldots nbsp Funktionszeichen f 1 f 2 f 3 displaystyle f 1 f 2 f 3 ldots nbsp Relationszeichen R 1 R 2 R 3 displaystyle R 1 R 2 R 3 ldots nbsp Individuenzeichen c 1 c 2 c 3 displaystyle c 1 c 2 c 3 ldots nbsp logische Zeichen technische Zeichen Ist A F A R A C A displaystyle A F A R A C A nbsp eine algebraische Struktur dann enthalt eine fur A geeignete elementare Sprache fur jede Funktion f i A F A displaystyle f i A in F A nbsp ein Funktionszeichen f i displaystyle f i nbsp fur jede Relation R i A R A displaystyle R i A in R A nbsp ein Relationszeichen R i displaystyle R i nbsp und fur jedes Element c i A C A displaystyle c i A in C A nbsp ein Individuenzeichen c i displaystyle c i nbsp Die Signatur der algebraischen Struktur besteht aus den Familien aller Stellenzahlen der Funktions bzw Relationszeichen und der aller Individuenzeichen Stimmt sie mit der Signatur einer elementaren Sprache L displaystyle L nbsp uberein dann ist diese geeignet um Aussagen uber die algebraische Struktur zu formulieren Werden den Funktions Relations und Individuenzeichen entsprechende Funktionen Relationen bzw Elemente aus C A displaystyle C A nbsp zugeordnet dann ist die Sprache in der Struktur interpretiert Terme werden induktiv dadurch definiert dass Individuenvariablen und Individuenzeichen Terme sind und fur Terme t 1 t n displaystyle t 1 ldots t n nbsp und ein n displaystyle n nbsp stelliges Funktionszeichen f displaystyle f nbsp auch f t 1 t n displaystyle f t 1 ldots t n nbsp ein Term ist Ausdrucke werden ebenfalls induktiv definiert fur Terme t 1 t n displaystyle t 1 ldots t n nbsp und ein n displaystyle n nbsp stelliges Relationszeichen R displaystyle R nbsp ist R t 1 t n displaystyle R t 1 ldots t n nbsp ein Ausdruck Termgleichungen t 1 t 2 displaystyle t 1 t 2 nbsp sind Ausdrucke sind f und ps Ausdrucke dann sind auch f f ps f ps f ps f ps Ausdrucke ist f ein Ausdruck in dem die Zeichenreihen x oder x nicht vorkommen dann sind auch xf und xf Ausdrucke Aussagen sind Ausdrucke in denen keine freien Variablen vorkommen Dabei wird das freie Vorkommen einer Variablen wieder induktiv definiert die Individuenvariable x displaystyle x nbsp kommt in dem Ausdruck f genau dann frei vor wenn f atomar ist und x in f vorkommt oder f die Gestalt ps besitzt und x in ps frei vorkommt oder f die Gestalt ps x ps x ps x oder ps x besitzt und x in ps oder x frei vorkommt oder f die Gestalt yps oder yps besitzt und x in ps frei vorkommt und x y verschiedene Individuenvariablen sind Mit A f bezeichnet man die Gultigkeit von f in der Struktur A Diese wird wieder induktiv definiert ist f eine atomare Aussage dann ist 𝒜 f schon durch die Interpretation definiert 𝒜 f f gilt nicht in 𝒜 𝒜 f ps 𝒜 f und 𝒜 ps 𝒜 f ps 𝒜 f oder 𝒜 ps 𝒜 f ps wenn 𝒜 f so 𝒜 ps 𝒜 f ps 𝒜 f genau dann wenn 𝒜 ps 𝒜 xf x es gibt ein Element a in 𝒜 so dass 𝒜 f a 𝒜 xf x fur alle Elemente a in 𝒜 ist 𝒜 f a Ein Ausdruck ϕ x 1 x n displaystyle phi x 1 ldots x n nbsp ist in A displaystyle A nbsp gultig wenn A a 1 a n displaystyle A models a 1 ldots a n nbsp fur alle Elemente a 1 a n A displaystyle a 1 ldots a n in mathcal A nbsp zutrifft d h wenn die Aussage x 1 x n ϕ x 1 x n A displaystyle forall x 1 ldots forall x n phi x 1 ldots x n in mathcal A nbsp gilt Eine Menge T von Ausdrucken oder Aussagen aus L die deduktiv abgeschlossen ist heisst elementare Theorie Ist T eine in L formulierte Theorie und 𝒜 eine Struktur fur L d h 𝒜 und L besitzen die gleiche Signatur dann ist 𝒜 ein Modell von T falls alle Aussagen oder Ausdrucke aus T in 𝒜 gultig sind in Zeichen 𝒜 T Literatur BearbeitenC C Chang H J Keisler Model Theory In Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Nr 73 North Holland Amsterdam 1973 englisch Weblinks BearbeitenLexikon der Mathematik Modelltheorie Springer Verlag 2017 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Modell Logik amp oldid 210162502