In der Modelltheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, heißt eine Theorie modellvollständig, wenn Untermodelle besonders gut in ihrem Obermodell liegen.
Definition Bearbeiten
Eine Theorie heißt modellvollständig, wenn für zwei Modelle und von gilt, dass aus folgt, dass elementar in liegt, in Zeichen .
Robinsons Test Bearbeiten
Zum Nachweis der Modellvollständigkeit kann häufig Robinsons Test verwendet werden. Eine Formel einer Sprache heißt existenziell, falls sie von der Form
mit quantorenfreien ist. Analog heißt eine Formel universell, wenn sie von der Form
mit quantorenfreien ist. Sind zwei Modelle, so heißt existenziell abgeschlossen in , wenn jede existenzielle Aussage der Sprache , die in gilt, auch in gilt.
Robinsons Test lautet:
Für eine Aussagenmenge ist äquivalent:
- ist modellvollständig.
- Für zwei Modelle von mit ist existenziell abgeschlossen in .
- Zu jeder -Formel gibt es eine universelle -Formel , deren freie Variablen in den freien Variablen von enthalten sind, so dass sich die Äquivalenz von und aus beweisen lässt.
Vollständigkeit versus Modellvollständigkeit Bearbeiten
Eine vollständige Theorie muss nicht modellvollständig sein noch muss eine modellvollständige Theorie vollständig sein. Hat aber eine modellvollständige Theorie ein Modell, dass sich in jedes andere Modell der Theorie einbetten lässt, so ist diese Theorie auch vollständig. (s. Primmodell)
Modellbegleiter Bearbeiten
Eine Theorie heißt Modellbegleiter einer Theorie , falls
- sich jedes Modell von zu einem Modell von erweitern lässt und
- modellvollständig ist.
Es lässt sich zeigen, dass zu jeder Theorie höchstens ein Modellbegleiter existiert.
Beispiele Bearbeiten
- Die Theorie der dichten linearen offenen Totalordnung ist vollständig und modellvollständig. Sie ist Modellbegleiter der Theorie der linearen Ordnungen.
- Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper (ohne Aussage über die Charakteristik) ist nicht vollständig, aber modellvollständig.
- Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper einer festen Charakteristik hat ein Primmodell und ist sowohl vollständig als auch modellvollständig.
- Die Theorie der dichten linearen Totalordnung mit Extrema ist vollständig, aber nicht modellvollständig. Das Intervall liegt nicht elementar im Intervall .
Literatur Bearbeiten
- Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome, Model Theory, Amsterdam [u. a.], North-Holland (1998)
- Prestel: Einführung in die mathematische Logik und Modelltheorie, Braunschweig, Wiesbaden (1986)