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Primmodell In der Modelltheorie einem Teilgebiet der mathematischen Logik nennt man ein Modell einer Theorie wenn sich d

Primmodell

In der Modelltheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, nennt man ein Modell einer Theorie Primmodell, wenn sich dieses Modell in jedes Modell dieser Theorie elementar einbetten lässt.

Definition Bearbeiten

Im Folgenden ist eine abzählbare Theorie ohne endliche Modelle.

ist ein Primmodell der Theorie genau dann, wenn für alle mit eine Abbildung existiert mit

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • Aus dem Satz von Löwenheim-Skolem folgt, dass ein Primmodell abzählbar ist.
  • Ist -kategorisch, so ist das abzählbare Modell ein Primmodell.
  • Zwei Primmodelle einer Theorie sind isomorph.
  • Eine Theorie hat genau dann ein Primmodell, wenn die isolierten Typen dicht liegen.

Beispiel einer Theorie ohne Primmodell Bearbeiten

Folgende Theorie der Sprache besitzt kein Primmodell: Die Sprache enthält für jedes ein einstelliges Prädikat .

(Zur Notation: ist die Menge aller endliche Folgen, die nur aus Nullen oder Einsen bestehen.)

Die Axiome der Theorie sind ( durchläuft alle endlichen Folgen):

Die Theorie hat keine isolierten Typen und daher auch kein Primmodell.

Literatur Bearbeiten

  • Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
  • Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model Theory. Amsterdam [u. a.], North-Holland, 1998.
  • Prestel, Alexander: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Vieweg, Braunschweig 1986. (Vieweg-Studium; 60: Aufbaukurs Mathematik). ISBN 3-528-07260-1. 286 S.
  • Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
In der Modelltheorie einem Teilgebiet der mathematischen Logik nennt man ein Modell einer Theorie Primmodell wenn sich dieses Modell in jedes Modell dieser Theorie elementar einbetten lasst Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Beispiel einer Theorie ohne Primmodell 5 Literatur 6 WeblinksDefinition BearbeitenIm Folgenden ist T displaystyle mathcal T nbsp eine abzahlbare Theorie ohne endliche Modelle A displaystyle mathfrak A nbsp ist ein Primmodell der Theorie T displaystyle mathcal T nbsp genau dann wenn fur alle B displaystyle mathfrak B nbsp mit B T displaystyle mathfrak B models mathcal T nbsp eine Abbildung F displaystyle Phi nbsp existiert mit F A B displaystyle Phi mathfrak A hookrightarrow B nbsp Beispiele BearbeitenDer algebraische Abschluss des Primkorpers F p displaystyle mathbb F p nbsp bzw Q displaystyle mathbb Q nbsp ist ein Primmodell der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Korper der Charakteristik p displaystyle p nbsp bzw 0 Q displaystyle mathbb Q nbsp ist ein Primmodell der dichten linearen Ordnungen ohne Extrema Eigenschaften BearbeitenAus dem Satz von Lowenheim Skolem folgt dass ein Primmodell abzahlbar ist Ist T displaystyle mathcal T nbsp ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp kategorisch so ist das abzahlbare Modell ein Primmodell Zwei Primmodelle einer Theorie sind isomorph Eine Theorie hat genau dann ein Primmodell wenn die isolierten Typen dicht liegen Beispiel einer Theorie ohne Primmodell BearbeitenFolgende Theorie der Sprache L displaystyle L nbsp besitzt kein Primmodell Die Sprache L displaystyle L nbsp enthalt fur jedes s displaystyle s in nbsp lt w 2 displaystyle lt omega 2 nbsp ein einstelliges Pradikat P s displaystyle P s nbsp Zur Notation lt w 2 displaystyle lt omega 2 nbsp ist die Menge aller endliche Folgen die nur aus Nullen oder Einsen bestehen Die Axiome der Theorie sind s displaystyle s nbsp durchlauft alle endlichen Folgen x P 0 x displaystyle forall xP 0 x nbsp x P s x displaystyle exists xP s x nbsp x P s 0 x P s 1 x P s x displaystyle forall x P s0 x lor P s1 x leftrightarrow P s x nbsp x P s 0 x P s 1 x displaystyle forall x neg P s0 x land P s1 x nbsp Die Theorie hat keine isolierten Typen und daher auch kein Primmodell Literatur BearbeitenWilfrid Hodges Model theory Cambridge University Press 1993 ISBN 0 521 30442 3 Chang Chen C Keisler H Jerome Model Theory Amsterdam u a North Holland 1998 Prestel Alexander Einfuhrung in die Mathematische Logik und Modelltheorie Vieweg Braunschweig 1986 Vieweg Studium 60 Aufbaukurs Mathematik ISBN 3 528 07260 1 286 S Philipp Rothmaler Einfuhrung in die Modelltheorie Spektrum Akademischer Verlag 1995 ISBN 978 3 86025 461 5 Weblinks BearbeitenMartin Ziegler Skript Modelltheorie 1 PDF 649 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Primmodell amp oldid 179437143