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Atomares Modell Ein atomares Modell ist in der Modelltheorie einem Teilgebiet der mathematischen Logik ein Modell das nu

Atomares Modell

Ein atomares Modell ist in der Modelltheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik ein Modell, das nur sehr wenige Typen realisiert und daher in einem gewissen Sinne sehr klein ist. Der Begriff ist verwandt mit dem Begriff des Primmodells und ist dual zu dem Begriff des saturierten Modells, welches wiederum sehr viele Typen realisiert.

Definition Bearbeiten

Die betrachteten Sprachen sind im Folgenden immer höchstens abzählbar.

  • Ein Typ über einer Theorie ist ein atomarer Typ, wenn es eine Formel gibt, sodass für alle gilt:
  • Ein Modell einer Theorie ist atomar, wenn es nur atomare Typen realisiert, wenn also für jedes der Typ: atomar über ist.

Da endliche Teilmengen von Typen immer realisiert werden, werden atomare (isolierte) Typen immer realisiert. Für abzählbare Sprachen sagt der Omitting-Types-Satz, dass das auch genau die Typen sind, die immer realisiert werden.

Beispiele Bearbeiten

Existenz Bearbeiten

Es gilt folgender Satz:

  • Eine vollständige Theorie hat genau dann ein atomares Modell, wenn die isolierten (atomaren) Typen dicht in ihr liegen.

Charakterisierung Bearbeiten

  • Abzählbare atomare Modelle einer vollständigen Theorie sind isomorph.
  • Ein Modell einer vollständigen Theorie ist genau dann ein abzählbares atomares Modell, wenn es ein Primmodell ist.
  • Wenn eine vollständige Theorie ein abzählbares saturiertes Modell hat, so hat sie auch atomares Modell.

Niemals zwei Bearbeiten

Eine Anwendung der Theorie der atomaren und saturierten Modelle ist der folgende von Vaught bewiesene Satz:

  • Keine vollständige Theorie (über einer abzählbaren Sprache) hat genau zwei abzählbare nicht-isomorphe Modelle.

Im Beweis benutzt man die Tatsache, dass bei genau zwei nicht-isomorphen Modellen eines atomar () und das andere () saturiert sein müsste. Realisiert nun einen nicht-isolierten Typen, so betrachtet man die Theorie von . Mit der Theorie der atomaren und saturierten Modelle kann man dann schließen, dass es ein atomares Modell dieser Theorie geben muss und dass das reduzierte -Modell dieser Theorie weder isomorph zu noch zu sein kann.

Zum Beispiel hat die Theorie von über der Sprache hat genau drei abzählbare Modelle. ist das atomare Modell. Das saturierte Modell ist das Modell . Das Modell zwischen diesen beiden ist . (Die Konstantensymbole werden immer durch die natürlichen Zahlen der ersten Kopie von interpretiert). Im letzten Modell hat die Konstantenfolge ein Supremum, es ist weder atomar noch saturiert.

Die Theorie lässt sich durch Hinzufügung von einstelligen Prädikatssymbolen so erweitern, dass sie genau Modelle hat: Die Axiome werden erweitert durch die Sätze, dass auf jedes Element genau ein Prädikat zutrifft, dass die Konstanten das Prädikat erfüllen und dass die jeweils dicht liegen. Es gibt dann wieder ein atomares und ein saturiertes Modell. Außerdem existieren Modelle, bei denen die Konstantenfolge ein Supremum hat, die aber jeweils ein unterschiedliches Prädikat erfüllen.

Literatur Bearbeiten

  • Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
  • Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2
  • Prestel, Alexander: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Vieweg, Braunschweig 1986. (Vieweg-Studium; 60: Aufbaukurs Mathematik). ISBN 3-528-07260-1.
  • Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.

Weblinks Bearbeiten

Typographie Bearbeiten

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Ein atomares Modell ist in der Modelltheorie einem Teilgebiet der mathematischen Logik ein Modell das nur sehr wenige Typen realisiert und daher in einem gewissen Sinne sehr klein ist Der Begriff ist verwandt mit dem Begriff des Primmodells und ist dual zu dem Begriff des saturierten Modells welches wiederum sehr viele Typen realisiert Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Existenz 4 Charakterisierung 5 Niemals zwei 6 Literatur 7 Weblinks 8 TypographieDefinition BearbeitenDie betrachteten Sprachen sind im Folgenden immer hochstens abzahlbar Ein Typ t displaystyle t nbsp uber einer Theorie T displaystyle mathcal T nbsp ist ein atomarer Typ wenn es eine Formel 1 ps x displaystyle psi vec x nbsp gibt sodass fur alle ϕ x t displaystyle phi vec x in t nbsp gilt T ps x ϕ x displaystyle T vdash psi vec x rightarrow phi vec x nbsp dd Ein atomarer Typ wird auch isolierter Typ oder Haupttyp genannt Ein Modell A displaystyle mathfrak A nbsp einer Theorie T displaystyle mathcal T nbsp ist atomar wenn es nur atomare Typen realisiert wenn also fur jedes a A n displaystyle vec a in A n nbsp der Typ ϕ x A ϕ a displaystyle phi vec x mathfrak A vDash phi vec a nbsp atomar uber T displaystyle mathcal T nbsp ist Da endliche Teilmengen von Typen immer realisiert werden werden atomare isolierte Typen immer realisiert Fur abzahlbare Sprachen sagt der Omitting Types Satz dass das auch genau die Typen sind die immer realisiert werden Beispiele BearbeitenDie Theorie der reell abgeschlossenen Korper hat als atomares Modell den Korper der reellen algebraischen Zahlen Jedes endliche Modell ist atomar Jedes Modell der leeren Sprache ist atomar Dieses Beispiel liefert insbesondere uberabzahlbare atomare Modelle Jedes Modell der Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte ist atomar Existenz BearbeitenEs gilt folgender Satz Eine vollstandige Theorie hat genau dann ein atomares Modell wenn die isolierten atomaren Typen dicht in ihr liegen Charakterisierung BearbeitenAbzahlbare atomare Modelle einer vollstandigen Theorie sind isomorph Ein Modell einer vollstandigen Theorie T displaystyle mathcal T nbsp ist genau dann ein abzahlbares atomares Modell wenn es ein Primmodell ist Es gibt aber in vielen Theorien uberabzahlbare atomare Modelle die also keine Primmodelle sind Wenn eine vollstandige Theorie ein abzahlbares saturiertes Modell hat so hat sie auch atomares Modell Der Satz lasst sich nicht umkehren Die Theorie der reell abgeschlossenen Korper hat ein atomares Modell aber kein saturiertes Modell Niemals zwei BearbeitenEine Anwendung der Theorie der atomaren und saturierten Modelle ist der folgende von Vaught bewiesene Satz Keine vollstandige Theorie T displaystyle mathcal T nbsp uber einer abzahlbaren Sprache hat genau zwei abzahlbare nicht isomorphe Modelle Im Beweis benutzt man die Tatsache dass bei genau zwei nicht isomorphen Modellen eines atomar A displaystyle mathfrak A nbsp und das andere B displaystyle mathfrak B nbsp saturiert sein musste Realisiert nun b B displaystyle b in B nbsp einen nicht isolierten Typen so betrachtet man die Theorie von B b displaystyle mathfrak B b nbsp Mit der Theorie der atomaren und saturierten Modelle kann man dann schliessen dass es ein atomares Modell dieser Theorie geben muss und dass das reduzierte T displaystyle mathcal T nbsp Modell dieser Theorie weder isomorph zu A displaystyle mathfrak A nbsp noch zu B displaystyle mathfrak B nbsp sein kann Zum Beispiel hat die Theorie von Q displaystyle mathbb Q nbsp uber der Sprache lt n n N displaystyle lt cup n n in mathbb N nbsp hat genau drei abzahlbare Modelle Q displaystyle mathbb Q nbsp ist das atomare Modell Das saturierte Modell ist das Modell Q Q displaystyle mathbb Q mathbb Q nbsp Das Modell zwischen diesen beiden ist Q Q 0 displaystyle mathbb Q mathbb Q 0 nbsp Die Konstantensymbole werden immer durch die naturlichen Zahlen der ersten Kopie von Q displaystyle mathbb Q nbsp interpretiert Im letzten Modell hat die Konstantenfolge ein Supremum es ist weder atomar noch saturiert Die Theorie lasst sich durch Hinzufugung von n 2 displaystyle n 2 nbsp einstelligen Pradikatssymbolen P i displaystyle P i nbsp so erweitern dass sie genau n displaystyle n nbsp Modelle hat Die Axiome werden erweitert durch die Satze dass auf jedes Element genau ein Pradikat zutrifft dass die Konstanten das Pradikat P 0 displaystyle P 0 nbsp erfullen und dass die x P i x displaystyle x P i x nbsp jeweils dicht liegen Es gibt dann wieder ein atomares und ein saturiertes Modell Ausserdem existieren n 2 displaystyle n 2 nbsp Modelle bei denen die Konstantenfolge ein Supremum hat die aber jeweils ein unterschiedliches Pradikat erfullen Literatur BearbeitenWilfrid Hodges Model theory Cambridge University Press 1993 ISBN 0 521 30442 3 Chang Chen C Keisler H Jerome Model theory Third edition Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 73 North Holland Publishing Co Amsterdam 1990 ISBN 0 444 88054 2 Prestel Alexander Einfuhrung in die Mathematische Logik und Modelltheorie Vieweg Braunschweig 1986 Vieweg Studium 60 Aufbaukurs Mathematik ISBN 3 528 07260 1 Philipp Rothmaler Einfuhrung in die Modelltheorie Spektrum Akademischer Verlag 1995 ISBN 978 3 86025 461 5 Weblinks BearbeitenMartin Ziegler Skript Modelltheorie 1 PDF 649 kB Typographie Bearbeiten Wenn im Folgenden x displaystyle vec x nbsp verwendet wird so ist das eine Abkurzung fur x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp So ist z B ϕ x displaystyle phi vec x nbsp eine Abkurzung von ϕ x 1 x n displaystyle phi x 1 dots x n nbsp Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Atomares Modell amp oldid 211973539