Saturiertheit Modelltheorie In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sin

Saturiertheit (Modelltheorie)

In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert, wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind.

Notationen Bearbeiten

Für eine Menge bezeichne wie üblich ihre Mächtigkeit, für eine Sprache sei die Mächtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache. Für eine Struktur bezeichne ihre Trägermenge.

Definition Bearbeiten

Sei eine beliebige (möglicherweise auch endliche) Kardinalzahl und eine Struktur.

heißt -saturiert, wenn für jede Menge mit jeder vollständige (und somit jeder) 1-Typ über in realisiert wird.

heißt saturiert, wenn -saturiert ist.

Sätze Bearbeiten

Existenz kappa-saturierter Erweiterungen Bearbeiten

Dass saturierte Erweiterungen existieren, zeigt folgender Satz:

Zu jeder Kardinalzahl und jeder unendlichen L-Struktur mit gibt es eine -saturierte elementare Erweiterung mit .^:125

Universalität und Homogenität Bearbeiten

Nach einem Satz von Michael D. Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert, wenn sie universell und homogen ist.

Ultraprodukte Bearbeiten

Abzählbare Ultraprodukte sind -saturiert. Es gilt:

Sei eine abzählbare Sprache und für sei eine -Struktur. Dann ist das Ultraprodukt nach einem freien Ultrafilter -saturiert.^:148

Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese (und dem nächsten Satz, s. u.), dass abzählbare Ultraprodukte von Strukturen der Mächtigkeit von höchstens über abzählbaren Sprachen isomorph sind. Dazu zählen z. B. die hyperreellen Zahlen.

Eindeutigkeit von saturierten Strukturen Bearbeiten

Es gilt folgender Isomorphiesatz:

Seien und zwei elementar äquivalente L-Strukturen gleicher Mächtigkeit. Sind beide Strukturen saturiert, dann sind sie isomorph.^:132

Abzählbare saturierte Modelle Bearbeiten

Eine vollständige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzählbares saturiertes Modell, wenn die Theorie klein ist.

Beispiele Bearbeiten

Eine unendliche Struktur ist offenbar nie -saturiert, falls
ist saturiert. Ein vollständiger 1-Typ über einer endlichen Menge besagt gerade, wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist. (Es gibt also über einer n-elementigen Menge genau 2n+1 vollständige 1-Typen.) Siehe auch: Dichte Ordnung
ist -saturiert, aber nicht saturiert. Der Typ wird nicht realisiert.

Literatur Bearbeiten

Gerald E. Sacks: Saturated Model Theory. W. A. Benjamin, 1972, ISBN 0-8053-8380-8.
Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2

Einzelnachweise Bearbeiten

↑ A. Prestel: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Braunschweig 1986
Sacks, S. 112.
Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 12.3

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 08, 2023, 03:52 am

In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind Inhaltsverzeichnis 1 Notationen 2 Definition 3 Satze 3 1 Existenz kappa saturierter Erweiterungen 3 2 Universalitat und Homogenitat 3 3 Ultraprodukte 3 4 Eindeutigkeit von saturierten Strukturen 3 5 Abzahlbare saturierte Modelle 4 Beispiele 5 Literatur 6 EinzelnachweiseNotationen BearbeitenFur eine Menge X displaystyle X nbsp bezeichne X displaystyle X nbsp wie ublich ihre Machtigkeit fur eine Sprache L displaystyle L nbsp sei L displaystyle L nbsp die Machtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache Fur eine Struktur M displaystyle mathfrak M nbsp bezeichne M displaystyle M nbsp ihre Tragermenge Definition BearbeitenSei k displaystyle kappa nbsp eine beliebige moglicherweise auch endliche Kardinalzahl und M displaystyle mathfrak M nbsp eine Struktur M displaystyle mathfrak M nbsp heisst k displaystyle kappa nbsp saturiert wenn fur jede Menge A M displaystyle A subseteq M nbsp mit A lt k displaystyle A lt kappa nbsp jeder vollstandige und somit jeder 1 Typ uber A displaystyle A nbsp in M displaystyle mathfrak M nbsp realisiert wird M displaystyle mathfrak M nbsp heisst saturiert wenn M M displaystyle mathfrak M M nbsp saturiert ist Satze BearbeitenExistenz kappa saturierter Erweiterungen Bearbeiten Dass saturierte Erweiterungen existieren zeigt folgender Satz Zu jeder Kardinalzahl k L displaystyle kappa geqslant L nbsp und jeder unendlichen L Struktur M displaystyle mathfrak M nbsp mit M lt 2 k displaystyle M lt 2 kappa nbsp gibt es eine k displaystyle kappa nbsp saturierte elementare Erweiterung M displaystyle mathfrak M nbsp mit M 2 k displaystyle M leqslant 2 kappa nbsp 1 125Universalitat und Homogenitat Bearbeiten Nach einem Satz von Michael D Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert wenn sie universell und homogen ist 2 Ultraprodukte Bearbeiten Abzahlbare Ultraprodukte sind ℵ 1 displaystyle aleph 1 nbsp saturiert Es gilt Sei L displaystyle L nbsp eine abzahlbare Sprache und fur i N displaystyle i in mathbb N nbsp sei M i displaystyle mathfrak M i nbsp eine L displaystyle L nbsp Struktur Dann ist das Ultraprodukt nach einem freien Ultrafilter ℵ 1 displaystyle aleph 1 nbsp saturiert 1 148Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese und dem nachsten Satz s u dass abzahlbare Ultraprodukte von Strukturen der Machtigkeit von hochstens 2 ℵ 0 displaystyle 2 aleph 0 nbsp uber abzahlbaren Sprachen isomorph sind Dazu zahlen z B die hyperreellen Zahlen Eindeutigkeit von saturierten Strukturen Bearbeiten Es gilt folgender Isomorphiesatz Seien M displaystyle mathfrak M nbsp und M displaystyle mathfrak M nbsp zwei elementar aquivalente L Strukturen gleicher Machtigkeit Sind beide Strukturen saturiert dann sind sie isomorph 1 132Abzahlbare saturierte Modelle Bearbeiten Eine vollstandige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzahlbares saturiertes Modell wenn die Theorie klein ist 3 Beispiele BearbeitenEine unendliche Struktur M displaystyle mathfrak M nbsp ist offenbar nie k displaystyle kappa nbsp saturiert falls k gt M displaystyle kappa gt M nbsp Q lt displaystyle mathbb Q lt nbsp ist saturiert Ein vollstandiger 1 Typ uber einer endlichen Menge besagt gerade wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist Es gibt also uber einer n elementigen Menge genau 2n 1 vollstandige 1 Typen Siehe auch Dichte Ordnung R lt displaystyle mathbb R lt nbsp ist ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp saturiert aber nicht saturiert Der Typ x gt 1 x gt 2 x gt 3 displaystyle x gt 1 x gt 2 x gt 3 ldots nbsp wird nicht realisiert Literatur BearbeitenGerald E Sacks Saturated Model Theory W A Benjamin 1972 ISBN 0 8053 8380 8 Chang C C Keisler H J Model theory Third edition Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 73 North Holland Publishing Co Amsterdam 1990 ISBN 0 444 88054 2Einzelnachweise Bearbeiten a b c A Prestel Einfuhrung in die Mathematische Logik und Modelltheorie Braunschweig 1986 Sacks S 112 Philipp Rothmaler Einfuhrung in die Modelltheorie Spektrum Akademischer Verlag 1995 ISBN 978 3 86025 461 5 Satz 12 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Saturiertheit Modelltheorie amp oldid 195302139