Teilchen auf dem Ring Das ist eines der verschiedenen Modellsysteme aus der Quantenmechanik welches zur Quantisierung de

Teilchen auf dem Ring

Das Teilchen auf dem Ring ist eines der verschiedenen Modellsysteme aus der Quantenmechanik, welches zur Quantisierung der Energie führt. Es ist dem Teilchen im Kasten sehr ähnlich und wird daher auch als „Teilchen im kreisförmigen Potentialkasten“ bezeichnet.

Im Unterschied zum Teilchen im Kasten bewegt sich das Teilchen auf dem Ring jedoch nicht linear, sondern kreisförmig potentialfrei um einen bestimmten Punkt. Deshalb ist es günstiger mit Polar- als mit Kartesischen Koordinaten zu rechnen: die Wellenfunktion des Teilchens hängt nicht vom Abstand zum Mittelpunkt ab (weil es sich auf einem konstanten Radius bewegt), sondern nur vom Polarwinkel .

Mathematische Betrachtung Bearbeiten

Um die Wellenfunktionen und die Energien der Zustände des Teilchens auf dem Ring zu finden, ist es nötig die stationäre Schrödingergleichung im gegebenen Potential zu lösen. Dieses ist gegeben durch

Der winkelabhängige Anteil des Hamilton-Operators in Polarkoordinaten lässt sich als

schreiben, wodurch sich die zu lösende Schrödingergleichung ergibt:

Es handelt sich also um eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung, für die der Lösungsansatz lautet:

Durch Einsetzen in die Schrödingergleichung erhält man

Durch Umformen erhält man die Energien des Teilchens auf dem Ring:

Dass ganzzahlig sein muss, ergibt sich aus der Randbedingung, dass die Wellenfunktion nach einer Umdrehung auf dem Ring wieder dieselbe sein muss:

was zu folgender Bedingung führt:

Dies ist nur erfüllt, wenn eine ganze Zahl ist.

Um die Differentialgleichung (bis auf einen Phasenfaktor) eindeutig zu lösen (der Konvention nach wählt man ), muss die Wellenfunktion noch normiert werden. Dies geschieht, indem man ihr Betragsquadrat über den gesamten Raum, von bis , integriert:

Somit lautet die Eigenfunktion des Hamiltonoperators für ein Teilchen auf dem Ring:

Da Linearkombinationen von Eigenfunktionen zu demselben Energieeigenwert (d. h. hier: mit demselben Wert für ) ebenfalls Eigenfunktionen zu diesem Eigenwert sind, folgt (mit der Euler’schen Identität), dass man alternativ

als entartete Eigenfunktionen zum Eigenwert , wählen kann. Der geänderte Faktor resultiert aus der Normierung der Wellenfunktionen.

Entartung Bearbeiten

Neben der Quantisierung führt dieses relativ einfach zu rechnende Beispiel auf das Konzept der Entartung. Da Zustände, bei denen sich nur im Vorzeichen unterscheidet, zwar verschiedene Zustände, aber wegen dieselben Energien darstellen, existieren hier jeweils zwei Zustände mit derselben Energie: die Zustände sind also – außer im Fall der trivialen Lösung – 2-fach entartet. Stellt man die Wellenfunktionen reell mit trigonometrischen Funktionen dar, sind die beiden Eigenfunktionen zum entarteten Energieeigenwert der Sinus- und der Cosinus-Term.

Lösungsraum und Fourierreihe Bearbeiten

Eine Operatorgleichung wie die Schrödinger-Gleichung bedingt bestimmte Eigenschaften für ihre Lösung (bspw. Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Periodizität). Dadurch wird der Raum möglicher Lösungen (hier Wellenfunktionen) eingeschränkt. In der obigen Darstellung ist bspw.

Unter der Annahme, dass mit kann die Wellenfunktion mittels der Fourier-Reihe geschrieben werden

Dabei sind die Fourierkoeffizienten

Dann kann die Schrödinger-Gleichung zu einer Gleichung für die Fourier-Koeffizienten umgeschrieben als

Über die Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten wird diese vereinfacht zu

Die Lösung hat dann die Form

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Lutz Zülicke: Molekulare Theoretische Chemie. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-00488-0, Kapitel 2: Grundbegriffe der Quantenmechanik, doi:10.1007/978-3-658-00489-7_2.

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Veröffentlichungsdatum: März 11, 2024, 05:51 am

Das Teilchen auf dem Ring ist eines der verschiedenen Modellsysteme aus der Quantenmechanik welches zur Quantisierung der Energie fuhrt Es ist dem Teilchen im Kasten sehr ahnlich und wird daher auch als Teilchen im kreisformigen Potentialkasten bezeichnet Im Unterschied zum Teilchen im Kasten bewegt sich das Teilchen auf dem Ring jedoch nicht linear sondern kreisformig potentialfrei um einen bestimmten Punkt Deshalb ist es gunstiger mit Polar als mit Kartesischen Koordinaten zu rechnen die Wellenfunktion des Teilchens hangt nicht vom Abstand r displaystyle r zum Mittelpunkt ab weil es sich auf einem konstanten Radius r displaystyle rho bewegt sondern nur vom Polarwinkel ϕ displaystyle phi Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Betrachtung 2 Entartung 3 Losungsraum und Fourierreihe 4 Siehe auch 5 LiteraturMathematische Betrachtung BearbeitenUm die Wellenfunktionen und die Energien der Zustande des Teilchens auf dem Ring zu finden ist es notig die stationare Schrodingergleichung im gegebenen Potential zu losen Dieses ist gegeben durch V r ϕ V 0 wenn r r sonst displaystyle V r phi begin cases V 0 amp text wenn r rho infty amp text sonst end cases nbsp dd Der winkelabhangige Anteil des Hamilton Operators in Polarkoordinaten lasst sich als H ℏ 2 2 m r 2 d 2 d ϕ 2 V 0 displaystyle hat H frac hbar 2 2m rho 2 frac mathrm d 2 mathrm d phi 2 V 0 nbsp dd schreiben wodurch sich die zu losende Schrodingergleichung ergibt ps ϕ 2 m r 2 ℏ 2 E V 0 ps ϕ displaystyle psi phi frac 2m rho 2 hbar 2 E V 0 psi phi nbsp Es handelt sich also um eine gewohnliche lineare homogene Differentialgleichung 2 Ordnung fur die der Losungsansatz lautet ps M ϕ a e i M ϕ displaystyle psi M phi alpha cdot e mathrm i M phi nbsp Durch Einsetzen in die Schrodingergleichung erhalt man M 2 m E V 0 ℏ r displaystyle M frac sqrt 2m E V 0 hbar rho nbsp dd Durch Umformen erhalt man die Energien des Teilchens auf dem Ring E M M 2 ℏ 2 2 m r 2 V 0 M Z displaystyle E M frac M 2 cdot hbar 2 2m rho 2 V 0 quad M in mathbb Z 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2 p a e i M ϕ 2 d ϕ 1 a 2 0 2 p e i M ϕ e i M ϕ 1 d ϕ a 1 2 p displaystyle begin aligned 1 amp int 0 2 pi psi phi 2 cdot mathrm d phi Leftrightarrow 1 amp int 0 2 pi left alpha cdot e mathrm i M phi right 2 cdot mathrm d phi Rightarrow 1 amp alpha 2 cdot int 0 2 pi underbrace e mathrm i M phi e mathrm i M phi 1 mathrm d phi Leftrightarrow alpha amp frac 1 sqrt 2 pi end aligned nbsp Somit lautet die Eigenfunktion des Hamiltonoperators fur ein Teilchen auf dem Ring ps M r ϕ 1 2 p e i M ϕ M Z wenn r r 0 sonst displaystyle psi M r phi begin cases frac 1 sqrt 2 pi cdot e mathrm i M phi quad M in mathbb Z amp text wenn r rho 0 amp text sonst end cases nbsp Da Linearkombinationen von Eigenfunktionen zu demselben Energieeigenwert E M displaystyle E M nbsp d h hier mit demselben Wert fur M 2 displaystyle M 2 nbsp ebenfalls Eigenfunktionen zu diesem Eigenwert sind folgt mit der Euler schen Identitat dass man alternativ ps M 1 ϕ 1 p cos M ϕ displaystyle psi M 1 phi frac 1 sqrt pi cdot cos M phi nbsp ps M 2 ϕ 1 p sin M ϕ displaystyle psi M 2 phi frac 1 sqrt pi cdot sin M phi nbsp als entartete Eigenfunktionen zum Eigenwert E M M N 0 displaystyle E M M in mathbb N 0 nbsp wahlen kann Der geanderte Faktor 1 p s t a t t 1 2 p displaystyle left tfrac 1 sqrt pi mathrm statt tfrac 1 sqrt 2 pi right nbsp resultiert aus der Normierung der Wellenfunktionen Entartung BearbeitenNeben der Quantisierung fuhrt dieses relativ einfach zu rechnende Beispiel auf das Konzept der Entartung Da Zustande bei denen sich M displaystyle M nbsp nur im Vorzeichen unterscheidet zwar verschiedene Zustande aber wegen M 2 M 2 displaystyle M 2 M 2 nbsp dieselben Energien darstellen existieren hier jeweils zwei Zustande mit derselben Energie die Zustande sind also ausser im Fall der trivialen Losung M 0 displaystyle M 0 nbsp 2 fach entartet Stellt man die Wellenfunktionen reell mit trigonometrischen Funktionen dar sind die beiden Eigenfunktionen zum entarteten Energieeigenwert der Sinus und der Cosinus Term Losungsraum und Fourierreihe BearbeitenEine Operatorgleichung wie die Schrodinger Gleichung bedingt bestimmte Eigenschaften fur ihre Losung bspw Stetigkeit Differenzierbarkeit Periodizitat Dadurch wird der Raum moglicher Losungen hier Wellenfunktionen eingeschrankt In der obigen Darstellung ist bspw ps L 2 0 L displaystyle psi in L 2 0 L nbsp Unter der Annahme dass ps t C p 2 0 L displaystyle psi t in C p 2 0 L nbsp mit C p 2 0 L L 2 0 L displaystyle C p 2 0 L subset L 2 0 L nbsp kann die Wellenfunktion mittels der Fourier Reihe geschrieben werden ps t x n a n t e i 2 p L n x x displaystyle psi t x sum n infty infty alpha n t e i frac 2 pi L nx forall x nbsp Dabei sind a n t displaystyle alpha n t nbsp die Fourierkoeffizienten a n t L 2 L 2 ps t x e i 2 p L n x d x displaystyle alpha n t int L 2 L 2 psi t x e i frac 2 pi L nx dx nbsp Dann kann die Schrodinger Gleichung zu einer Gleichung fur die Fourier Koeffizienten umgeschrieben als n i a n t ℏ 2 p 2 n 2 m L 2 a n t e i 2 p L n x 0 displaystyle sum n infty infty left i dot alpha n t frac hbar 2 pi 2 n 2 mL 2 alpha n t right e i frac 2 pi L nx 0 nbsp Uber die Eindeutigkeit der Fourier Koeffizienten wird diese vereinfacht zu i a n t ℏ 2 p 2 n 2 m L 2 a n t 0 displaystyle i dot alpha n t frac hbar 2 pi 2 n 2 mL 2 alpha n t 0 nbsp Die Losung hat dann die Form ps t x n a n t e i 2 p 2 ℏ m L 2 n 2 t e i 2 p L n x displaystyle psi t x sum n infty infty alpha n t e i frac 2 pi 2 hbar mL 2 n 2 t e i frac 2 pi L nx nbsp Siehe auch BearbeitenHarmonischer Oszillator Quantenmechanik Anharmonischer OszillatorLiteratur BearbeitenLutz Zulicke Molekulare Theoretische Chemie Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 ISBN 978 3 658 00488 0 Kapitel 2 Grundbegriffe der Quantenmechanik doi 10 1007 978 3 658 00489 7 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Teilchen auf dem Ring amp oldid 239373646