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Tate Shafarevich Gruppe In der Mathematik misst die das Scheitern des Lokal Global Prinzips für elliptische Kurven und a

Tate-Shafarevich-Gruppe

In der Mathematik misst die Tate-Shafarevich-Gruppe das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten.

Für eine über einem Zahlkörper definierte abelsche Varietät wird die Tate-Shafarevich-Gruppe mit Ш(K,A) (gesprochen: Scha) bezeichnet.

Die Tate-Shafarevich-Gruppe ist eine abelsche Torsionsgruppe. Die auf John T. Tate und Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch zurückgehende Tate-Shafarevich-Vermutung besagt, dass Ш(K,A) endlich ist.

Scheitern des Lokal-Global-Prinzips Bearbeiten

Für quadratische Formen gilt das Lokal-Global-Prinzip: Wenn eine über den rationalen Zahlen definierte quadratische Form Lösungen von in allen -adischen Vervollständigungen (einschließlich der reellen Zahlen für ) hat, dann hat sie auch Lösungen in den rationalen Zahlen. Dies gilt allgemeiner auch für Zahlkörper und ihre Vervollständigungen : Wenn es Lösungen in allen Vervollständigungen gibt, dann gibt es Lösungen in .

Für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten gilt dieses Prinzip nicht.

Weil sich -rationale Punkte auf einer abelschen Varietät durch die Kohomologiegruppe beschreiben lassen, entspricht das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips der Nicht-Injektivität von , wobei das Produkt über alle Vervollständigungen gebildet wird. Man definiert deshalb die Tate-Shafarevich-Gruppe als

Literatur Bearbeiten

  • Serge Lang, John Tate: Principal homogeneous spaces over abelian varieties, American Journal of Mathematics, 80 (3): 659–684, 1958
  • Igor Shafarewitsch: The group of principal homogeneous algebraic manifolds, Doklady Akademii Nauk SSSR (russisch), 124: 42–43, 1959
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik misst die Tate Shafarevich Gruppe das Scheitern des Lokal Global Prinzips fur elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietaten Fur eine uber einem Zahlkorper K displaystyle K definierte abelsche Varietat A displaystyle A wird die Tate Shafarevich Gruppe mit Sh K A gesprochen Scha bezeichnet Die Tate Shafarevich Gruppe ist eine abelsche Torsionsgruppe Die auf John T Tate und Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch zuruckgehende Tate Shafarevich Vermutung besagt dass Sh K A endlich ist Scheitern des Lokal Global Prinzips BearbeitenFur quadratische Formen gilt das Lokal Global Prinzip Wenn eine uber den rationalen Zahlen definierte quadratische Form Q displaystyle Q nbsp Losungen von Q x 1 x n 0 displaystyle Q x 1 ldots x n 0 nbsp in allen p displaystyle p nbsp adischen Vervollstandigungen einschliesslich der reellen Zahlen fur p displaystyle p infty nbsp hat dann hat sie auch Losungen in den rationalen Zahlen Dies gilt allgemeiner auch fur Zahlkorper K displaystyle K nbsp und ihre Vervollstandigungen K v displaystyle K v nbsp Wenn es Losungen in allen Vervollstandigungen gibt dann gibt es Losungen in K displaystyle K nbsp Fur elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietaten gilt dieses Prinzip nicht Weil sich K displaystyle K nbsp rationale Punkte auf einer abelschen Varietat A displaystyle A nbsp durch die Kohomologiegruppe H 1 K A displaystyle H 1 K A nbsp beschreiben lassen entspricht das Scheitern des Lokal Global Prinzips der Nicht Injektivitat von H 1 K A P v H 1 K v A displaystyle H 1 K A to Pi v H 1 K v A nbsp wobei das Produkt uber alle Vervollstandigungen K v displaystyle K v nbsp gebildet wird Man definiert deshalb die Tate Shafarevich Gruppe als Sh K A k e r H 1 K A P v H 1 K v A displaystyle mbox Sh K A mathrm ker H 1 K A to Pi v H 1 K v A nbsp Literatur BearbeitenSerge Lang John Tate Principal homogeneous spaces over abelian varieties American Journal of Mathematics 80 3 659 684 1958 Igor Shafarewitsch The group of principal homogeneous algebraic manifolds Doklady Akademii Nauk SSSR russisch 124 42 43 1959 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tate Shafarevich Gruppe amp oldid 225922007