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Selbergsche Spurformel In der harmonischen Analysis einem Teilgebiet der Mathematik stellen n einen Zusammenhang zwische

Selbergsche Spurformel

In der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, stellen Selbergsche Spurformeln einen Zusammenhang zwischen der Spur gewisser Operatoren und einer Summe geometrischer Terme her.

Während die Berechnung der Eigenwerte eines Differentialoperators oft unzugänglich ist, kann mit den Spurformeln zumindest eine Aussage über die Summe der Eigenwerte getroffen werden. Insbesondere der von Selberg ausgearbeitete Fall des Laplace-Beltrami-Operators lokal symmetrischer Räume vom Rang 1 hat Anwendungen in der analytischen Zahlentheorie, Darstellungstheorie und Differentialgeometrie.

Die allgemeinere Arthur-Selberg-Spurformel spielt eine wichtige Rolle im Langlands-Programm.

Allgemeine Spurformel Bearbeiten

Sei ein kokompaktes Gitter in einer lokalkompakten Gruppe .

Für eine Testfunktion und eine Darstellung von definiert

einen Spurklasseoperator auf dem Hilbert-Raum .

Sei insbesondere die rechtsreguläre Darstellung, also die unitäre Darstellung von durch Rechtstranslationen auf dem Hilbertraum . Dann kann man die Spur dieses Operators ausdrücken durch

wobei rechts über alle Konjugationsklassen summiert wird, und die Zentralisatoren von in bzw. sind, und das Orbitintegral durch

definiert ist. (Mittels Fourier-Inversion kann dieses Orbitintegral durch Charaktere ausgedrückt werden.)

Nach dem Satz von Gelfand, Graev und Piatetski-Shapiro hat die rechtsreguläre Darstellung eine Zerlegung als direkte Summe irreduzibler Darstellungen. Für eine irreduzible Darstellung bezeichne ihre Vielfachheit in . Damit ergibt sich die Spurformel

Der linke Ausdruck wird als die spektrale Seite der Spurformel bezeichnet, der rechte Ausdruck als die geometrische Seite der Spurformel.

Spezielle symmetrische Räume Bearbeiten

Damit die allgemeine Spurformel nützlich ist, muss man die Distributionen und verstehen und in differentialgeometrischen Größen ausdrücken können. Dies ist insbesondere möglich für symmetrische Räume vom Rang 1, wo der Laplace-Operator (und seine Vielfachen) die einzigen invarianten Differentialoperatoren sind.

Im Folgenden bezeichne die Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit. Wir verwenden , womit ist.

Kompakte Gruppen Bearbeiten

Für eine kompakte Gruppe mit neutralem Element stimmt die Dimension einer Darstellung mit ihrer Vielfachheit in der regulären Darstellung überein und man erhält durch direkte Anwendung der allgemeinen Spurformel

Für den Kreis gilt die Poissonsche Summenformel: für eine schnell fallende Funktion und ihre Fourier-Transformierte gilt

Das stellt einen Zusammenhang zwischen den Längen der geschlossenen Geodäten und den Eigenwerten des Laplace-Operators her. Man kann dies als eine Variante der Spurformel ansehen: auf der linken Seite steht ein geometrischer Term, auf der rechten Seite ein spektraler Term.

Die Sphäre Bearbeiten

Für sind die Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators mit Vielfachheit , wobei alle ganzen Zahlen durchläuft. Mit der Poissonschen Summenformel erhält man

Die rechte Seite lässt sich geometrisch interpretieren als von den Längen geschlossener Geodäten abhängende Reihe.

Hyperbolische Flächen Bearbeiten

Zur Formulierung der Spurformel verwendet man eine (beliebige) analytische Funktion mit für ein und . Mit einer solchen Funktion kann man die Spurformel für kokompakte Gitter in wie folgt formulieren:

wobei auf der rechten Seite über alle Konjugationsklassen von Elementen summiert wird, die zugehörige primitive Transformation bezeichnet, und die Norm von bezeichnet. Die rechte Seite lässt sich geometrisch interpretieren, weil die Länge der entsprechenden geschlossenen Geodäten in ist.

Wegen der Kompaktheit der Fläche bilden die Eigenwerte des Laplace-Operators eine diskrete Menge. Es gibt eine kompliziertere, das kontinuierliche Spektrum berücksichtigende, Formel für nichtkompakte hyperbolische Flächen endlichen Volumens.

Als Folgerung erhält man beispielsweise Weyls asymptotisches Gesetz für die Verteilung der Eigenwerte.

Symmetrische Räume vom Rang 1 Bearbeiten

Sei ein symmetrischer Raum nichtkompakten Typs vom Rang 1, d. h. für die Iwasawa-Zerlegung . Sei der Zentralisator von in und eine parabolische Untergruppe. Für eine Darstellung mit Darstellungsraum sei der Hilbert-Raum der -Funktionen mit . Für definiere . Dann definiert eine Darstellung von auf .

Aus der allgemeinen Spurformel folgt zunächst für

wobei über die Konjugationsklassen summiert wird und durch definiert ist.

Dann hat man die Spurformel

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Der Raum der Testfunktionen besteht per Definition aus den Linearkombinationen von Funktionen der Form mit . Der Raum besteht aus den gleichmäßig integrierbaren, stetigen Funktionen. Eine Funktion heißt gleichmäßig integrierbar, wenn es eine kompakte Umgebung U der 1 gibt, so dass eine -Funktion auf ist.
  2. Weil ein kokompaktes Gitter ist, sind alle hyperbolisch und gehören zu einer zyklischen Untergruppe von . Der Erzeuger dieser zyklischen Untergruppe wird als das primitive Element bezeichnet.

Literatur Bearbeiten

  • A. Selberg: Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series, J. Indian Math. Soc. 20, 47–87, 1956. online
  • D. Hejhal: The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. I. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 548. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976.
  • J. Elstrodt: Die Selbergsche Spurformel für kompakte Riemannsche Flächen. Jahresber. d. Deutsche Math. Verein 83, 45–77, 1981.
  • D. Zagier: Eisenstein series and the Selberg trace formula, Teil I

Weblinks Bearbeiten

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In der harmonischen Analysis einem Teilgebiet der Mathematik stellen Selbergsche Spurformeln einen Zusammenhang zwischen der Spur gewisser Operatoren und einer Summe geometrischer Terme her Wahrend die Berechnung der Eigenwerte eines Differentialoperators oft unzuganglich ist kann mit den Spurformeln zumindest eine Aussage uber die Summe der Eigenwerte getroffen werden Insbesondere der von Selberg ausgearbeitete Fall des Laplace Beltrami Operators lokal symmetrischer Raume vom Rang 1 hat Anwendungen in der analytischen Zahlentheorie Darstellungstheorie und Differentialgeometrie Die allgemeinere Arthur Selberg Spurformel spielt eine wichtige Rolle im Langlands Programm Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Spurformel 2 Spezielle symmetrische Raume 2 1 Kompakte Gruppen 2 2 Die Sphare 2 3 Hyperbolische Flachen 2 4 Symmetrische Raume vom Rang 1 3 Anmerkungen 4 Literatur 5 WeblinksAllgemeine Spurformel BearbeitenSei G displaystyle Gamma nbsp ein kokompaktes Gitter in einer lokalkompakten Gruppe G displaystyle G nbsp Fur eine Testfunktion 1 f C u n i f 2 G displaystyle f in C unif 2 G nbsp und eine Darstellung p G E n d L 2 G G displaystyle pi colon G to End L 2 Gamma backslash G nbsp von G displaystyle G nbsp definiert p f y G f y p y d y displaystyle pi f y mapsto int G f y pi y dy nbsp einen Spurklasseoperator auf dem Hilbert Raum L 2 G G displaystyle L 2 Gamma backslash G nbsp Sei insbesondere R displaystyle R nbsp die rechtsregulare Darstellung also die unitare Darstellung von G displaystyle G nbsp durch Rechtstranslationen auf dem Hilbertraum L 2 G G displaystyle L 2 Gamma backslash G nbsp Dann kann man die Spur dieses Operators ausdrucken durch S p u r R f g v o l G g G g O g f displaystyle mathrm Spur R f sum left gamma right mathrm vol Gamma gamma backslash G gamma O gamma f nbsp wobei rechts uber alle Konjugationsklassen summiert wird G g displaystyle Gamma gamma nbsp und G g displaystyle G gamma nbsp die Zentralisatoren von g displaystyle gamma nbsp in G displaystyle Gamma nbsp bzw G displaystyle G nbsp sind und das Orbitintegral O g f displaystyle O gamma f nbsp durch O g f G g G f x 1 g x d x displaystyle O gamma f int G gamma G f x 1 gamma x dx nbsp definiert ist Mittels Fourier Inversion kann dieses Orbitintegral durch Charaktere ausgedruckt werden Nach dem Satz von Gelfand Graev und Piatetski Shapiro hat die rechtsregulare Darstellung eine Zerlegung als direkte Summe irreduzibler Darstellungen Fur eine irreduzible Darstellung p displaystyle pi nbsp bezeichne N G p displaystyle N Gamma pi nbsp ihre Vielfachheit in L 2 G G displaystyle L 2 Gamma backslash G nbsp Damit ergibt sich die Spurformel p N G p S p u r p f g v o l G g G g O g f displaystyle sum pi N Gamma pi mathrm Spur pi f sum left gamma right mathrm vol Gamma gamma backslash G gamma O gamma f nbsp Der linke Ausdruck wird als die spektrale Seite der Spurformel bezeichnet der rechte Ausdruck als die geometrische Seite der Spurformel Spezielle symmetrische Raume BearbeitenDamit die allgemeine Spurformel nutzlich ist muss man die Distributionen S p u r p f displaystyle mathrm Spur pi f nbsp und O g f displaystyle O gamma f nbsp verstehen und in differentialgeometrischen Grossen ausdrucken konnen Dies ist insbesondere moglich fur symmetrische Raume vom Rang 1 wo der Laplace Operator und seine Vielfachen die einzigen invarianten Differentialoperatoren sind Im Folgenden bezeichne 0 l 0 lt l 1 l j displaystyle 0 lambda 0 lt lambda 1 leq ldots leq lambda j leq nbsp die Eigenwerte des Laplace Beltrami Operators auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit Wir verwenden r j l j 1 4 displaystyle rho j sqrt lambda j frac 1 4 nbsp womit j 0 f r j S p u r f D 1 4 displaystyle sum j 0 infty f rho j mathrm Spur f sqrt Delta frac 1 4 nbsp ist Kompakte Gruppen Bearbeiten Fur eine kompakte Gruppe K displaystyle K nbsp mit neutralem Element e displaystyle e nbsp stimmt die Dimension einer Darstellung mit ihrer Vielfachheit in der regularen Darstellung uberein und man erhalt durch direkte Anwendung der allgemeinen Spurformel f e t K dim t S p u r t f displaystyle f e sum tau in widehat K dim tau mathrm Spur tau f nbsp Fur den Kreis S 1 R Z displaystyle S 1 mathbb R mathbb Z nbsp gilt die Poissonsche Summenformel fur eine schnell fallende Funktion f displaystyle f nbsp und ihre Fourier Transformierte f displaystyle widehat f nbsp gilt n Z f n n Z f n n Z f x e 2 p i n x d x displaystyle sum n in mathbb Z f n sum n in mathbb Z widehat f n sum n in mathbb Z int infty infty f x e 2 pi inx dx nbsp Das stellt einen Zusammenhang zwischen den Langen n displaystyle n nbsp der geschlossenen Geodaten und den Eigenwerten 4 p 2 n 2 displaystyle 4 pi 2 n 2 nbsp des Laplace Operators her Man kann dies als eine Variante der Spurformel ansehen auf der linken Seite steht ein geometrischer Term auf der rechten Seite ein spektraler Term Die Sphare Bearbeiten Fur S 2 S O 3 S O 2 displaystyle S 2 SO 3 SO 2 nbsp sind die Eigenwerte des Laplace Beltrami Operators l l 1 displaystyle l l 1 nbsp mit Vielfachheit 2 l 1 displaystyle 2l 1 nbsp wobei l displaystyle l nbsp alle ganzen Zahlen durchlauft Mit der Poissonschen Summenformel erhalt man j 0 f r j n 0 1 n R x f x e 2 p i n x d x displaystyle sum j 0 infty f rho j sum n 0 infty 1 n int mathbb R vert x vert f x e 2 pi inx dx nbsp Die rechte Seite lasst sich geometrisch interpretieren als von den Langen 2 p n displaystyle 2 pi n nbsp geschlossener Geodaten abhangende Reihe Hyperbolische Flachen Bearbeiten Zur Formulierung der Spurformel verwendet man eine beliebige analytische Funktion h R R displaystyle h colon mathbb R to mathbb R nbsp mit h x O x 2 d displaystyle vert h x vert O vert x vert 2 delta nbsp fur ein d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp und x displaystyle x to pm infty nbsp Mit einer solchen Funktion kann man die Spurformel fur kokompakte Gitter in G P S L 2 R displaystyle G PSL 2 mathbb R nbsp wie folgt formulieren j 0 f r j v o l G H 2 4 p x f x tanh p x d x g 1 log N g 0 N g 1 2 N g 1 2 f log N g displaystyle sum j 0 infty f rho j frac mathrm vol Gamma backslash mathbb H 2 4 pi int infty infty x f x tanh pi x dx sum gamma not 1 frac log N gamma 0 N gamma frac 1 2 N gamma frac 1 2 widehat f log N gamma nbsp wobei auf der rechten Seite uber alle Konjugationsklassen von Elementen g G displaystyle gamma in Gamma nbsp summiert wird g 0 displaystyle gamma 0 nbsp die zugehorige primitive Transformation 2 bezeichnet und N g displaystyle N gamma nbsp die Norm von g displaystyle gamma nbsp bezeichnet Die rechte Seite lasst sich geometrisch interpretieren weil log N g displaystyle log N gamma nbsp die Lange der g displaystyle gamma nbsp entsprechenden geschlossenen Geodaten in G H 2 displaystyle Gamma backslash mathbb H 2 nbsp ist Wegen der Kompaktheit der Flache S g G P S L 2 R P S O 2 displaystyle Sigma g Gamma backslash PSL 2 mathbb R PSO 2 nbsp bilden die Eigenwerte des Laplace Operators eine diskrete Menge Es gibt eine kompliziertere das kontinuierliche Spektrum berucksichtigende Formel fur nichtkompakte hyperbolische Flachen endlichen Volumens Als Folgerung erhalt man beispielsweise Weyls asymptotisches Gesetz fur die Verteilung der Eigenwerte Symmetrische Raume vom Rang 1 Bearbeiten Sei G K displaystyle G K nbsp ein symmetrischer Raum nichtkompakten Typs vom Rang 1 d h d i m A 1 displaystyle mathrm dim A 1 nbsp fur die Iwasawa Zerlegung G K A N displaystyle G KAN nbsp Sei M displaystyle M nbsp der Zentralisator von A displaystyle A nbsp in G displaystyle G nbsp und P M A N displaystyle P MAN nbsp eine parabolische Untergruppe Fur eine Darstellung s M displaystyle sigma in widehat M nbsp mit Darstellungsraum V s displaystyle V sigma nbsp sei H s displaystyle mathcal H sigma nbsp der Hilbert Raum der L 2 displaystyle L 2 nbsp Funktionen f K V s displaystyle f colon K to V sigma nbsp mit f k m s m 1 f k displaystyle f km sigma m 1 f k nbsp Fur f H s displaystyle f in mathcal H sigma nbsp definiere f l k exp t H n e i l r t f k displaystyle f lambda k exp tH n e i lambda rho t f k nbsp Dann definiert p s l g f k f l g 1 k displaystyle pi sigma lambda g f k f lambda g 1 k nbsp eine Darstellung von G displaystyle G nbsp auf H l displaystyle mathcal H lambda nbsp Aus der allgemeinen Spurformel folgt zunachst fur f C c G displaystyle f in C c infty G nbsp p N G p S p u r p f v o l G G K f e g e 1 2 p l g D g s M S p u r s g R S p u r p s l f e i l g l d l displaystyle sum pi N Gamma pi mathrm Spur pi f mathrm vol Gamma backslash G K f e sum left gamma right not left e right frac 1 2 pi frac l gamma D gamma sum sigma in widehat M overline mathrm Spur sigma gamma int R mathrm Spur pi sigma lambda f e il gamma lambda d lambda nbsp wobei uber die Konjugationsklassen g displaystyle left gamma right nbsp summiert wird und D g displaystyle D gamma nbsp durch D g e l g r det A d m g a g n I d displaystyle D gamma e l gamma rho vert det Ad m gamma a gamma vert mathfrak n Id vert nbsp definiert ist Dann hat man die Spurformel j 0 f l j r 2 v o l G G K R f l b l d l g e l 0 D g f l g displaystyle sum j 0 infty f sqrt lambda j vert rho vert 2 mathrm vol Gamma backslash G K int mathbb R f lambda beta lambda d lambda sum left gamma right not left e right frac l 0 D gamma hat f l gamma nbsp Anmerkungen Bearbeiten Der Raum der Testfunktionen C u n i f 2 G displaystyle C unif 2 G nbsp besteht per Definition aus den Linearkombinationen von Funktionen der Form g h displaystyle g h nbsp mit g h C u n i f G displaystyle g h in C unif G nbsp Der Raum C u n i f G displaystyle C unif G nbsp besteht aus den gleichmassig integrierbaren stetigen Funktionen Eine Funktion heisst gleichmassig integrierbar wenn es eine kompakte Umgebung U der 1 gibt so dass f U y sup x z U f x y z displaystyle f U y sup x z in U f xyz nbsp eine L 1 displaystyle L 1 nbsp Funktion auf G displaystyle G nbsp ist Weil G displaystyle Gamma nbsp ein kokompaktes Gitter ist sind alle g 1 displaystyle gamma not 1 nbsp hyperbolisch und gehoren zu einer zyklischen Untergruppe von G displaystyle Gamma nbsp Der Erzeuger dieser zyklischen Untergruppe wird als das primitive Element g 0 displaystyle gamma 0 nbsp bezeichnet Literatur BearbeitenA Selberg Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series J Indian Math Soc 20 47 87 1956 online D Hejhal The Selberg trace formula for PSL 2 R Vol I Lecture Notes in Mathematics Vol 548 Springer Verlag Berlin New York 1976 J Elstrodt Die Selbergsche Spurformel fur kompakte Riemannsche Flachen Jahresber d Deutsche Math Verein 83 45 77 1981 D Zagier Eisenstein series and the Selberg trace formula Teil IWeblinks BearbeitenKapitel 4 in Muller Spectral Theory of Automorphic Forms Bump Spectral Theory and the Trace Formula Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Selbergsche Spurformel amp oldid 227232193