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Seifert Faserraum Vermutung In der Mathematik ist die ein von Casson Jungreis und Gabai bewiesener zentraler Lehrsatz de

Seifert-Faserraum-Vermutung

In der Mathematik ist die Seifert-Faserraum-Vermutung ein von Casson-Jungreis und Gabai bewiesener zentraler Lehrsatz der 3-dimensionalen Topologie und ein Teil der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Satz Bearbeiten

Sei eine irreduzible, orientierbare, kompakte 3-Mannigfaltigkeit. Wenn die Fundamentalgruppe einen Normalteiler besitzt, der eine unendliche zyklische Gruppe ist, dann ist ein Seifertscher Faserraum.

Geschichte Bearbeiten

Seifert-Faserungen wurden Anfang der 1930er Jahre von Seifert definiert und klassifiziert. Wenn eine Seifert-Faserung irreduzibel ist und unendliche Fundamentalgruppe hat, dann erzeugt die Homotopieklasse der Faser eine unendliche zyklische Gruppe im Zentrum der Fundamentalgruppe, die also insbesondere ein Normalteiler ist.

Burde und Zieschang bewiesen, dass eine Knotengruppe nur dann einen unendlich zyklischen Normalteiler besitzt, wenn der Knoten ein Torusknoten ist. Da Torusknoten die einzigen Knoten sind, deren Komplement ein Seifertscher Faserraum ist, beweist dies aus späterer Sicht die Vermutung für Knotenkomplemente.

Waldhausen bewies die Vermutung für Haken-Mannigfaltigkeiten unter der Annahme, dass der zyklische Normalteiler zum Zentrum von gehört. Den allgemeinen Beweis für Haken-Mannigfaltigkeiten gaben dann Jaco und Shalen nach Vorarbeiten von Gordon und Heil.

Scott bewies, dass eine geschlossene, irreduzible, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe unendlich und isomorph zur Fundamentalgruppe einer Seifert-Faserung ist, selbst eine Seifert-Faserung sein muss. Damit reduzierte er die Seifert-Faserraum-Vermutung auf ein gruppentheoretisches Problem: zu beweisen, dass der Quotient von nach der unendlichen zyklischen Gruppe entweder eine Fuchssche Gruppe oder eine 2-dimensionale euklidische kristallographische Gruppe ist.

Mess bewies, dass die zum unendlich zyklischen Normalteiler assoziierte Überlagerung homöomorph zu ist. Insbesondere ist der Quotient von nach der unendlichen zyklischen Gruppe entweder eine Konvergenzgruppe auf dem Kreis oder eine 2-dimensionale euklidische kristallographische Gruppe. Damit reduzierte er die Seifert-Faserraum-Vermutung auf die Frage, ob jede Konvergenzgruppe auf dem Kreis eine Fuchssche Gruppe (bis auf Konjugation mit Homöomorphismen des Kreises) ist.

Tukia bewies diese Vermutung über Konvergenzgruppen mit Ausnahme von Gruppen, die ein Torsionselement der Ordnung besitzen. Der verbliebene Fall wurde von Andrew Casson und Douglas Jungreis gelöst, gleichzeitig gab David Gabai einen unabhängigen Beweis mit völlig anderen Methoden.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

  • Jean-Philippe Préaux: A Survey on Seifert Fiber Space Theorem. In: International Scholarly Research Notices. 2014, doi:10.1155/2014/694106
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist die Seifert Faserraum Vermutung ein von Casson Jungreis und Gabai bewiesener zentraler Lehrsatz der 3 dimensionalen Topologie und ein Teil der Geometrisierung von 3 Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Satz 2 Geschichte 3 Literatur 4 WeblinksSatz BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine irreduzible orientierbare kompakte 3 Mannigfaltigkeit Wenn die Fundamentalgruppe p 1 M displaystyle pi 1 M nbsp einen Normalteiler besitzt der eine unendliche zyklische Gruppe ist dann ist M displaystyle M nbsp ein Seifertscher Faserraum Geschichte BearbeitenSeifert Faserungen wurden Anfang der 1930er Jahre von Seifert definiert und klassifiziert Wenn eine Seifert Faserung irreduzibel ist und unendliche Fundamentalgruppe hat dann erzeugt die Homotopieklasse der Faser eine unendliche zyklische Gruppe im Zentrum der Fundamentalgruppe die also insbesondere ein Normalteiler ist Burde und Zieschang bewiesen dass eine Knotengruppe nur dann einen unendlich zyklischen Normalteiler besitzt wenn der Knoten ein Torusknoten ist Da Torusknoten die einzigen Knoten sind deren Komplement ein Seifertscher Faserraum ist beweist dies aus spaterer Sicht die Vermutung fur Knotenkomplemente Waldhausen bewies die Vermutung fur Haken Mannigfaltigkeiten unter der Annahme dass der zyklische Normalteiler zum Zentrum von p 1 M displaystyle pi 1 M nbsp gehort Den allgemeinen Beweis fur Haken Mannigfaltigkeiten gaben dann Jaco und Shalen nach Vorarbeiten von Gordon und Heil Scott bewies dass eine geschlossene irreduzible orientierbare 3 Mannigfaltigkeit deren Fundamentalgruppe unendlich und isomorph zur Fundamentalgruppe einer Seifert Faserung ist selbst eine Seifert Faserung sein muss Damit reduzierte er die Seifert Faserraum Vermutung auf ein gruppentheoretisches Problem zu beweisen dass der Quotient von p 1 M displaystyle pi 1 M nbsp nach der unendlichen zyklischen Gruppe entweder eine Fuchssche Gruppe oder eine 2 dimensionale euklidische kristallographische Gruppe ist Mess bewies dass die zum unendlich zyklischen Normalteiler assoziierte Uberlagerung homoomorph zu S 1 R 2 displaystyle S 1 times mathbb R 2 nbsp ist Insbesondere ist der Quotient von p 1 M displaystyle pi 1 M nbsp nach der unendlichen zyklischen Gruppe entweder eine Konvergenzgruppe auf dem Kreis oder eine 2 dimensionale euklidische kristallographische Gruppe Damit reduzierte er die Seifert Faserraum Vermutung auf die Frage ob jede Konvergenzgruppe auf dem Kreis eine Fuchssche Gruppe bis auf Konjugation mit Homoomorphismen des Kreises ist Tukia bewies diese Vermutung uber Konvergenzgruppen mit Ausnahme von Gruppen die ein Torsionselement der Ordnung 3 displaystyle geq 3 nbsp besitzen Der verbliebene Fall wurde von Andrew Casson und Douglas Jungreis gelost gleichzeitig gab David Gabai einen unabhangigen Beweis mit vollig anderen Methoden Literatur BearbeitenGerhard Burde Heiner Zieschang Eine Kennzeichnung der Torusknoten In Mathematische Annalen Bd 167 Nr 2 1966 S 169 176 doi 10 1007 BF01362170 Friedhelm Waldhausen Gruppen mit Zentrum und 3 dimensionale Mannigfaltigkeiten In Topology Bd 6 Nr 4 1967 S 505 517 doi 10 1016 0040 9383 67 90008 0 Cameron McA Gordon Wolfgang Heil Cyclic normal subgroups of fundamental groups of 3 manifolds In Topology Bd 14 Nr 4 1975 S 305 309 doi 10 1016 0040 9383 75 90014 2 William H Jaco Peter B Shalen Seifert Fibered Spaces in 3 Manifolds Memoirs of the American Mathematical Society 220 American Mathematical Society Providence R J 1979 ISBN 0 8218 2220 9 Peter Scott There are no fake Seifert fibre spaces with infinite p 1 displaystyle pi 1 nbsp In Annals of Mathematics Series 2 Bd 117 Nr 1 1983 S 35 70 doi 10 2307 2006970 Geoffrey Mess The Seifert conjecture and groups which are quasiisometric to planes Preprint 1988 Pekka Tukia Homeomorphic conjugates of Fuchsian groups In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Bd 391 S 1 54 1988 doi 10 1515 crll 1988 391 1 David Gabai Convergence groups are Fuchsian groups In Annals of Mathematics Series 2 Bd 136 Nr 3 1992 S 447 510 doi 10 2307 2946597 Andrew Casson Douglas Jungreis Convergence groups and Seifert fibered 3 manifolds In Inventiones Mathematicae Bd 118 1994 S 441 456 doi 10 1007 BF01231540 Weblinks BearbeitenJean Philippe Preaux A Survey on Seifert Fiber Space Theorem In International Scholarly Research Notices 2014 doi 10 1155 2014 694106 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Seifert Faserraum Vermutung amp oldid 202222247