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Konvergenzgruppe In der Mathematik sind n ein Begriff aus der Theorie der Dynamischen Systeme der es ermöglicht hyperbol

Konvergenzgruppe

In der Mathematik sind Konvergenzgruppen ein Begriff aus der Theorie der Dynamischen Systeme, der es ermöglicht, hyperbolische Gruppen mittels dynamischer (statt geometrischer) Methoden zu untersuchen.

Definition Bearbeiten

Es sei eine auf einem kompakten, metrisierbaren Raum stetig wirkende Gruppe. Die Wirkung heißt eine Konvergenzwirkung (und eine Konvergenzgruppe), wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

Die letzte Bedingung bedeutet: für jede offene Umgebung von und jede kompakte Teilmenge gibt es ein mit für alle .

Eine äquivalente Bedingung ist, dass eigentlich diskontinuierlich auf dem Raum der Tripel

wirkt.

Klassifikation von Elementen Bearbeiten

Ein nichttriviales Element einer auf einem kompakten, metrischen Raum wirkenden Konvergenzgruppe ist von genau einem der drei folgenden Typen:

  • elliptisch: hat endliche Ordnung,
  • parabolisch: hat unendliche Ordnung und genau einen Fixpunkt,
  • loxodromisch: hat unendliche Ordnung und genau zwei Fixpunkte.

Für haben und denselben Typ.

Wenn parabolisch mit Fixpunkt ist, dann gilt für alle .

Wenn loxodromisch mit Fixpunkten ist, dann gilt für alle und für alle und diese Konvergenz ist gleichmäßig auf kompakten Teilmengen von .

Limesmenge Bearbeiten

Die Limesmenge von ist eine minimale, nichtleere, abgeschlossene, -invariante Teilmenge . Die Konvergenzgruppe heißt nichtelementar, wenn aus mehr als zwei Punkten besteht. In diesem Fall ist eine perfekte Menge und insbesondere unendlich.

Die Konvergenzwirkung heißt minimal, wenn .

Ein konischer Grenzpunkt ist ein Punkt , zu dem es eine Folge unterschiedlicher Elemente und Punkte gibt mit und konvergiert gleichmäßig auf Kompakta gegen die Abbildung, die konstant ist. Zum Beispiel sind Fixpunkte einer loxodromischen Abbildung konische Grenzpunkt.

Hyperbolische Gruppen, Gleichmäßige Konvergenzgruppen Bearbeiten

Eine Konvergenzgruppe heißt gleichmäßige Konvergenzgruppe oder uniforme Konvergenzgruppe, wenn die Wirkung auf zusätzlich kokompakt ist. Eine äquivalente Bedingung ist, dass jeder Limespunkt ein konischer Limespunkt ist.

Satz (Bowditch): Eine auf einem perfekten, kompakten, metrischen Raum wirkende Gruppe ist genau dann eine gleichmäßige Konvergenzgruppe, wenn eine hyperbolische Gruppe und die Konvergenzwirkung mittels eines -äquivarianten Homöomorphismus zur Wirkung von auf dem Gromov-Rand konjugiert ist.

Anwendungen Bearbeiten

Die Konvergenzeigenschaft wurde ursprünglich im Kontext Kleinscher Gruppen von Gehring-Martin eingeführt, um die Eigenschaften der Wirkung einer Kleinschen Gruppe auf ihrer Limesmenge zu axiomatisieren.

Die Konvergenzwirkung einer hyperbolischen Gruppe auf ihrem Rand im Unendlichen ermöglicht es, viele algebraische Aussagen über hyperbolische Gruppen ohne Verwendung "hyperbolischer" Geometrie zu beweisen., zum Beispiel beim Beweis der JSJ-Zerlegung oder der lokalen Zusammenhangseigenschaften des Randes im Unendlichen.

Konvergenzwirkungen spielten eine wichtige Rolle beim Beweis der Seifert-Faserraum-Vermutung: diese ließ sich darauf zurückführen, dass auf dem Kreis wirkende Konvergenzgruppen virtuell Fuchssch sein müssen, d. h. eine Fuchssche Gruppe als Untergruppe von endlichem Index enthalten. Letztere (von Casson-Jungreis und Gabai bewiesene) Eigenschaft ermöglicht auch einen alternativen Beweis für das (ursprünglich von Kerckhoff bewiesene) Nielsensche Realisierungsproblem.

Literatur Bearbeiten

  • Frederick W. Gehring, Gaven J. Martin: Discrete convergence groups. In: Carlos A. Berenstein (Hrsg.): Complex analysis. Proceedings of the Special Year held at the University of Maryland, College Park, 1985–86 (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 1275). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-18356-6, S. 158–167, doi:10.1007/BFb0078350.
  • David Gabai: Convergence groups are Fuchsian groups. In: Annals of Mathematics. Bd. 136, Nr. 3 (Nov., 1992), S. 447–510, JSTOR:2946597.
  • Andrew Casson, Douglas Jungreis: Convergence groups and Seifert fibered 3-manifolds. Invent. Math. 118 (1994), no. 3, 441–456, doi:10.1007/BF01231540.
  • Pekka Tukia: Convergence groups and Gromov's metric hyperbolic spaces. In: New Zealand Journal of Mathematics. Bd. 23, Nr. 2, 1994, ISSN 1171-6096, S. 157–187, Link zu Digitalisat .
  • Eric M. Freden: Negatively curved groups have the convergence property I. In: Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. Series A. 1: Mathematica. Bd. 20, Nr. 2, 1995, ISSN 0066-1953, S. 333–348, Digitalisat (PDF; 137,81 kB).
  • Brian H. Bowditch: Convergence groups and configuration spaces. In: John Cossey, Charles F. Miller, Walter D. Neumann, Michael Shapiro (Hrsg.): Geometric group theory down under. Proceedings of a special year in geometric group theory, Canberra, Australia, 1996. de Gruyter, Berlin u. a. 1999, ISBN 3-11-016366-7, S. 23–54, online.
  • Pekka Tukia: Conical limit points and uniform convergence groups. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Heft 501, 1998, S. 71–98, doi:10.1515/crll.1998.081.
  • Brian H. Bowditch: A topological characterisation of hyperbolic groups. In: Journal of the American Mathematical Society. Bd. 11, Nr. 3, 1998, S. 643–667, doi:10.1090/S0894-0347-98-00264-1.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ilya Kapovich, Nadia Benakli: Boundaries of hyperbolic groups. In: Sean Cleary, Robert Gilman, Alexei G. Myasnikov, Vladimir Shpilrain (Hrsg.): Combinatorial and geometric group theory. AMS Special Session Combinatorial Group Theory, November 4–5, 2000, New York, New York. AMS Special Session Computational Group Theory, April 28–29, 2001, Hoboken, New Jersey (= Contemporary Mathematics. Bd. 296). American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-2822-3, S. 39–93, Digitalisat (PDF; 488 kB).
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik sind Konvergenzgruppen ein Begriff aus der Theorie der Dynamischen Systeme der es ermoglicht hyperbolische Gruppen mittels dynamischer statt geometrischer Methoden zu untersuchen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Klassifikation von Elementen 3 Limesmenge 4 Hyperbolische Gruppen Gleichmassige Konvergenzgruppen 5 Anwendungen 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei G displaystyle Gamma nbsp eine auf einem kompakten metrisierbaren Raum X displaystyle X nbsp stetig wirkende Gruppe Die Wirkung heisst eine Konvergenzwirkung und G displaystyle Gamma nbsp eine Konvergenzgruppe wenn folgende Bedingung erfullt ist zu jeder Folge g n n G displaystyle g n n subset Gamma nbsp gibt es eine Teilfolge g n i i displaystyle g n i i nbsp und zwei Punkte a b X displaystyle a b in X nbsp so dass g n i X a displaystyle g n i vert X setminus left a right nbsp auf kompakten Mengen gleichmassig gegen b displaystyle b nbsp konvergiert Die letzte Bedingung bedeutet fur jede offene Umgebung U displaystyle U nbsp von b displaystyle b nbsp und jede kompakte Teilmenge K X a displaystyle K subset X setminus left a right nbsp gibt es ein i 0 displaystyle i 0 nbsp mit g n i K U displaystyle g n i K subset U nbsp fur alle i i 0 displaystyle i geq i 0 nbsp Eine aquivalente Bedingung ist dass G displaystyle Gamma nbsp eigentlich diskontinuierlich auf dem Raum der Tripel T X a b c X 3 a b a c b c displaystyle T X left a b c in X 3 a not b a not c b not c right nbsp wirkt Klassifikation von Elementen BearbeitenEin nichttriviales Element g displaystyle gamma nbsp einer auf einem kompakten metrischen Raum wirkenden Konvergenzgruppe G displaystyle Gamma nbsp ist von genau einem der drei folgenden Typen elliptisch g displaystyle gamma nbsp hat endliche Ordnung parabolisch g displaystyle gamma nbsp hat unendliche Ordnung und genau einen Fixpunkt loxodromisch g displaystyle gamma nbsp hat unendliche Ordnung und genau zwei Fixpunkte Fur k 0 displaystyle k not 0 nbsp haben g displaystyle gamma nbsp und g k displaystyle gamma k nbsp denselben Typ Wenn g displaystyle gamma nbsp parabolisch mit Fixpunkt a displaystyle a nbsp ist dann gilt lim n g n x a displaystyle lim n to pm infty gamma n x a nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp Wenn g displaystyle gamma nbsp loxodromisch mit Fixpunkten a displaystyle a pm nbsp ist dann gilt lim n g n x a displaystyle lim n to infty gamma n x a nbsp fur alle x a displaystyle x not a nbsp und lim n g n x a displaystyle lim n to infty gamma n x a nbsp fur alle x a displaystyle x not a nbsp und diese Konvergenz ist gleichmassig auf kompakten Teilmengen von X a a displaystyle X setminus left a a right nbsp Limesmenge BearbeitenDie Limesmenge von G displaystyle Gamma nbsp ist eine minimale nichtleere abgeschlossene G displaystyle Gamma nbsp invariante Teilmenge L G X displaystyle Lambda Gamma subset X nbsp Die Konvergenzgruppe heisst nichtelementar wenn L G displaystyle Lambda Gamma nbsp aus mehr als zwei Punkten besteht In diesem Fall ist L G displaystyle Lambda Gamma nbsp eine perfekte Menge und insbesondere unendlich Die Konvergenzwirkung heisst minimal wenn L G X displaystyle Lambda Gamma X nbsp Ein konischer Grenzpunkt ist ein Punkt x X displaystyle x in X nbsp zu dem es eine Folge unterschiedlicher Elemente g n G displaystyle gamma n in Gamma nbsp und Punkte a X displaystyle a pm in X nbsp gibt mit lim n g n x a displaystyle lim n to infty gamma n x a nbsp und g n X x displaystyle gamma n mid X setminus left x right nbsp konvergiert gleichmassig auf Kompakta gegen die Abbildung die konstant a displaystyle a nbsp ist Zum Beispiel sind Fixpunkte einer loxodromischen Abbildung konische Grenzpunkt Hyperbolische Gruppen Gleichmassige Konvergenzgruppen BearbeitenEine Konvergenzgruppe heisst gleichmassige Konvergenzgruppe oder uniforme Konvergenzgruppe wenn die Wirkung auf T X displaystyle TX nbsp zusatzlich kokompakt ist Eine aquivalente Bedingung ist dass jeder Limespunkt ein konischer Limespunkt ist Satz Bowditch Eine auf einem perfekten kompakten metrischen Raum wirkende Gruppe G displaystyle Gamma nbsp ist genau dann eine gleichmassige Konvergenzgruppe wenn G displaystyle Gamma nbsp eine hyperbolische Gruppe und die Konvergenzwirkung mittels eines G displaystyle Gamma nbsp aquivarianten Homoomorphismus zur Wirkung von G displaystyle Gamma nbsp auf dem Gromov Rand G displaystyle partial infty Gamma nbsp konjugiert ist Anwendungen BearbeitenDie Konvergenzeigenschaft wurde ursprunglich im Kontext Kleinscher Gruppen von Gehring Martin eingefuhrt um die Eigenschaften der Wirkung einer Kleinschen Gruppe auf ihrer Limesmenge zu axiomatisieren Die Konvergenzwirkung einer hyperbolischen Gruppe auf ihrem Rand im Unendlichen ermoglicht es viele algebraische Aussagen uber hyperbolische Gruppen ohne Verwendung hyperbolischer Geometrie zu beweisen 1 zum Beispiel beim Beweis der JSJ Zerlegung oder der lokalen Zusammenhangseigenschaften des Randes im Unendlichen Konvergenzwirkungen spielten eine wichtige Rolle beim Beweis der Seifert Faserraum Vermutung diese liess sich darauf zuruckfuhren dass auf dem Kreis wirkende Konvergenzgruppen virtuell Fuchssch sein mussen d h eine Fuchssche Gruppe als Untergruppe von endlichem Index enthalten Letztere von Casson Jungreis und Gabai bewiesene Eigenschaft ermoglicht auch einen alternativen Beweis fur das ursprunglich von Kerckhoff bewiesene Nielsensche Realisierungsproblem Literatur BearbeitenFrederick W Gehring Gaven J Martin Discrete convergence groups In Carlos A Berenstein Hrsg Complex analysis Proceedings of the Special Year held at the University of Maryland College Park 1985 86 Lecture Notes in Mathematics Bd 1275 Band 1 Springer Berlin u a 1987 ISBN 3 540 18356 6 S 158 167 doi 10 1007 BFb0078350 David Gabai Convergence groups are Fuchsian groups In Annals of Mathematics Bd 136 Nr 3 Nov 1992 S 447 510 JSTOR 2946597 Andrew Casson Douglas Jungreis Convergence groups and Seifert fibered 3 manifolds Invent Math 118 1994 no 3 441 456 doi 10 1007 BF01231540 Pekka Tukia Convergence groups and Gromov s metric hyperbolic spaces In New Zealand Journal of Mathematics Bd 23 Nr 2 1994 ISSN 1171 6096 S 157 187 Link zu Digitalisat Eric M Freden Negatively curved groups have the convergence property I In Annales Academiae Scientiarum Fennicae Series A 1 Mathematica Bd 20 Nr 2 1995 ISSN 0066 1953 S 333 348 Digitalisat PDF 137 81 kB Brian H Bowditch Convergence groups and configuration spaces In John Cossey Charles F Miller Walter D Neumann Michael Shapiro Hrsg Geometric group theory down under Proceedings of a special year in geometric group theory Canberra Australia 1996 de Gruyter Berlin u a 1999 ISBN 3 11 016366 7 S 23 54 online Pekka Tukia Conical limit points and uniform convergence groups In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Heft 501 1998 S 71 98 doi 10 1515 crll 1998 081 Brian H Bowditch A topological characterisation of hyperbolic groups In Journal of the American Mathematical Society Bd 11 Nr 3 1998 S 643 667 doi 10 1090 S0894 0347 98 00264 1 Einzelnachweise Bearbeiten Ilya Kapovich Nadia Benakli Boundaries of hyperbolic groups In Sean Cleary Robert Gilman Alexei G Myasnikov Vladimir Shpilrain Hrsg Combinatorial and geometric group theory AMS Special Session Combinatorial Group Theory November 4 5 2000 New York New York AMS Special Session Computational Group Theory April 28 29 2001 Hoboken New Jersey Contemporary Mathematics Bd 296 American Mathematical Society Providence RI 2002 ISBN 0 8218 2822 3 S 39 93 Digitalisat PDF 488 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konvergenzgruppe amp oldid 233220012