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Schraubung Unter einer versteht man in der Geometrie des dreidimensionalen Raumes V eine Abbildung die aus einer Hintere

Schraubung

Unter einer Schraubung versteht man in der Geometrie des dreidimensionalen Raumes V eine Abbildung, die aus einer Hintereinanderausführung einer Parallelverschiebung mit Verschiebevektor und einer Drehung um eine Gerade besteht, bei der parallel zu ist. Die Reihenfolge, d. h. ob zuerst die Drehung oder die Verschiebung ausgeführt wird, spielt für das Ergebnis keine Rolle.

Anschaulich gesehen dreht eine Schraubung ein Objekt um einen festen Winkel um eine Drehachse und verschiebt das Resultat parallel zur Drehachse.

In der Kristallographie sind Schraubenachsen mögliche Symmetrieelemente einer Raumgruppe.

Eine Schraubung stellt eine Isometrie auf V dar, da sie eine Verknüpfung zweier Isometrien ist.

Schraubungen spielen besonders in der diskreten Geometrie eine Rolle, etwa bei der Klassifizierung der Isometrien in Dimension 3. Isometrien in dreidimensionalen Vektorräumen lassen sich nach geometrischen Gesichtspunkten in 7 Typen unterteilen, neben der Schraubung findet man:

Schraubenachsen als Element einer Raumgruppe Bearbeiten

Spiralförmige Kette aus Telluratomen entlang der 31-Schraubenachse (blau hervorgehoben). Jedes dritte Atom ist deckungsgleich (dunkel-, mittel- und hellblau). Der Abstand zwischen den dunkel-, mittel- und hellblauen Atomen beträgt jeweils eine Gitterkonstante.

In einer Raumgruppe können nur Schraubenachsen vorkommen, die mit dem Translationsgitter der Gruppe verträglich sind. Daher kann es in einer Raumgruppe nur n-zählige Drehachsen geben, mit n = 2, 3, 4 oder 6.

Da diese nach n-maliger Wiederholung wieder die Identität ergeben, können sie nur mit einem Translationsvektor verknüpft sein, der nach n-facher Wiederholung einem Vektor des Gitters entspricht. Das ist nur der Fall, wenn dessen Länge in Richtung der Drehachse ein m-faches des n-ten Bruchteils der Gittertranslation beträgt, mit .

Das Hermann-Mauguin-Symbol für diese Schraubenachsen ist ein tiefgestelltes m hinter dem Symbol für die Drehachse n: nm.

41bedeutet also eine 4-zählige Schraubenachse, bei der bei jeder Drehung um 360°/4 = 90° eine Translation in Richtung der Drehachse von Gitterkonstanten hinzukommt.

Im Folgenden sind alle in den 230 Raumgruppen vorkommenden Schraubenachsen aufgeführt:

  • 21
  • (31 32)
  • (41 43) 42
  • (61 65) (62 64) 63.

In Klammern zusammengefasst sind dabei Paare enantiomorpher Schraubenachsen, die sich nur durch den Drehsinn unterscheiden:

  • die erstgenannte Schraube ist eine Rechtsschraube
  • die zweite Schraube ist die entsprechende Linksschraube.

Diese beiden Symmetrieelemente sind besonders schwer voneinander zu unterscheiden.

Schraubung von Starrkörpern Bearbeiten

Der florentiner Mathematiker Giulio Mozzi (1730–1813) erkannte als erster, dass jede Bewegung eines Starrkörpers als Schraubung dargestellt werden kann, d. h. als Translation eines Bezugspunkts und Drehung um den Bezugspunkt mit einer Drehachse, die durch die (Richtung der) Geschwindigkeit des Bezugspunkts gegeben ist.

Der Bezugspunkt ermittelt sich wie folgt aus der Bewegung des Starrkörpers, die sich immer darstellen lässt als Translation eines Punkts und die Winkelgeschwindigkeit des Starrkörpers um diesen Punkt:

Darin ist

Dann ist auch

mit

und

und beliebigem . Das Rechenzeichen „·“ bildet das Skalarprodukt.

Beispiel Bearbeiten

Anstatt einen Partikel

  • vom Ursprung nach (2|2|0) zu verschieben und ihn um 180°= um die Drehachse mit der Richtung (1|0|0) zu drehen, die durch den neuen Punkt (2|2|0) verläuft,
  • kann man ihn auch vom Ursprung nach (2|0|0) verschieben und ihn dann um 180°= um die Drehachse mit der Richtung (1|0|0) drehen, die durch den Bezugspunkt verläuft; in diesem Fall stimmt die Richtung der Verschiebung mit der Richtung der Drehachse überein.

Das Ergebnis ist in beiden Fällen dasselbe: der betrachtete Partikel liegt am Ende an der neuen Position (2|2|0) und ist um 180°= gedreht.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • D. Schwarzenbach: Kristallographie. Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5.
  • Roberto Marcolongo: Theoretische Mechanik. Kinematik und Statik. 1. Band. B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1911, S. 122 (archive.org [abgerufen am 15. April 2020]).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Giulio Giuseppe Mozzi: Mathematischer Diskurs über die momentane Rotation von Körpern. Druckerei von Donato Campo, Neapel 1763 (italienisch, archive.org [abgerufen am 15. April 2020] Originaltitel: Discorso matematico sopra il rotamento mementaneo dei corpi. Zitiert nach Marcolongo (1911), S. 122.).

Kristallographische Schraubenachse

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Veröffentlichungsdatum:
Unter einer Schraubung versteht man in der Geometrie des dreidimensionalen Raumes V eine Abbildung die aus einer Hintereinanderausfuhrung einer Parallelverschiebung mit Verschiebevektor v displaystyle v und einer Drehung um eine Gerade g displaystyle g besteht bei der v displaystyle v parallel zu g displaystyle g ist Die Reihenfolge d h ob zuerst die Drehung oder die Verschiebung ausgefuhrt wird spielt fur das Ergebnis keine Rolle Anschaulich gesehen dreht eine Schraubung ein Objekt um einen festen Winkel um eine Drehachse und verschiebt das Resultat parallel zur Drehachse In der Kristallographie sind Schraubenachsen mogliche Symmetrieelemente einer Raumgruppe Eine Schraubung stellt eine Isometrie auf V dar da sie eine Verknupfung zweier Isometrien ist Schraubungen spielen besonders in der diskreten Geometrie eine Rolle etwa bei der Klassifizierung der Isometrien in Dimension 3 Isometrien in dreidimensionalen Vektorraumen lassen sich nach geometrischen Gesichtspunkten in 7 Typen unterteilen neben der Schraubung findet man Identitat Translation Drehung Spiegelung Gleitspiegelung Drehspiegelung Inhaltsverzeichnis 1 Schraubenachsen als Element einer Raumgruppe 2 Schraubung von Starrkorpern 2 1 Beispiel 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseSchraubenachsen als Element einer Raumgruppe Bearbeiten nbsp Spiralformige Kette aus Telluratomen entlang der 31 Schraubenachse blau hervorgehoben Jedes dritte Atom ist deckungsgleich dunkel mittel und hellblau Der Abstand zwischen den dunkel mittel und hellblauen Atomen betragt jeweils eine Gitterkonstante In einer Raumgruppe konnen nur Schraubenachsen vorkommen die mit dem Translationsgitter der Gruppe vertraglich sind Daher kann es in einer Raumgruppe nur n zahlige Drehachsen geben mit n 2 3 4 oder 6 Da diese nach n maliger Wiederholung wieder die Identitat ergeben konnen sie nur mit einem Translationsvektor verknupft sein der nach n facher Wiederholung einem Vektor des Gitters entspricht Das ist nur der Fall wenn dessen Lange in Richtung der Drehachse ein m faches des n ten Bruchteils der Gittertranslation betragt mit 0 lt m lt n displaystyle 0 lt m lt n nbsp Das Hermann Mauguin Symbol fur diese Schraubenachsen ist ein tiefgestelltes m hinter dem Symbol fur die Drehachse n nm 41bedeutet also eine 4 zahlige Schraubenachse bei der bei jeder Drehung um 360 4 90 eine Translation in Richtung der Drehachse von m n 1 4 displaystyle tfrac m n tfrac 1 4 nbsp Gitterkonstanten hinzukommt Im Folgenden sind alle in den 230 Raumgruppen vorkommenden Schraubenachsen aufgefuhrt 21 31 32 41 43 42 61 65 62 64 63 In Klammern zusammengefasst sind dabei Paare enantiomorpher Schraubenachsen die sich nur durch den Drehsinn unterscheiden die erstgenannte Schraube ist eine Rechtsschraube die zweite Schraube ist die entsprechende Linksschraube Diese beiden Symmetrieelemente sind besonders schwer voneinander zu unterscheiden Schraubung von Starrkorpern BearbeitenDer florentiner Mathematiker Giulio Mozzi 1730 1813 erkannte als erster 1 dass jede Bewegung eines Starrkorpers als Schraubung dargestellt werden kann d h als Translation eines Bezugspunkts und Drehung um den Bezugspunkt mit einer Drehachse die durch die Richtung der Geschwindigkeit des Bezugspunkts gegeben ist Der Bezugspunkt r displaystyle vec r nbsp ermittelt sich wie folgt aus der Bewegung des Starrkorpers die sich immer darstellen lasst als Translation b displaystyle dot vec b nbsp eines Punkts b displaystyle vec b nbsp und die Winkelgeschwindigkeit w displaystyle vec omega nbsp des Starrkorpers um diesen Punkt v p t b w p b displaystyle vec v vec p t dot vec b vec omega times vec p vec b nbsp Darin ist v p t displaystyle vec v vec p t nbsp die Geschwindigkeit des Partikels am Ort p displaystyle vec p nbsp zur Zeit t der Uberpunkt eine Zeitableitung das Kreuzprodukt Dann ist auch v p t r w p r displaystyle vec v vec p t dot vec r vec omega times vec p vec r nbsp mit r b w b w w r w displaystyle vec r vec b frac vec omega times dot vec b vec omega cdot vec omega rho vec omega nbsp dd und r b w r b b w w b w w r w b w w b w w r w w 0 b w b w w w b w w w b w w w displaystyle begin aligned dot vec r amp dot vec b vec omega times vec r vec b amp dot vec b vec omega times left frac vec omega times dot vec b vec omega cdot vec omega rho vec omega right amp dot vec b vec omega times frac vec omega times dot vec b vec omega cdot vec omega rho underbrace vec omega times vec omega 0 amp dot vec b frac vec omega cdot dot vec b vec omega vec omega cdot vec omega dot vec b vec omega cdot vec omega amp frac vec omega cdot dot vec b vec omega cdot vec omega vec omega end aligned nbsp dd und beliebigem r R displaystyle rho in mathbb R nbsp Das Rechenzeichen bildet das Skalarprodukt Beispiel Bearbeiten Anstatt einen Partikel vom Ursprung nach 2 2 0 zu verschieben und ihn um 180 p displaystyle pi nbsp um die Drehachse mit der Richtung 1 0 0 zu drehen die durch den neuen Punkt 2 2 0 verlauft kann man ihn auch vom Ursprung nach 2 0 0 verschieben und ihn dann um 180 p displaystyle pi nbsp um die Drehachse mit der Richtung 1 0 0 drehen die durch den Bezugspunkt r 0 1 0 displaystyle vec r 0 1 0 nbsp verlauft in diesem Fall stimmt die Richtung der Verschiebung mit der Richtung der Drehachse uberein Das Ergebnis ist in beiden Fallen dasselbe der betrachtete Partikel liegt am Ende an der neuen Position 2 2 0 und ist um 180 p displaystyle pi nbsp gedreht Siehe auch BearbeitenSystematische AusloschungLiteratur BearbeitenD Schwarzenbach Kristallographie Springer Verlag Berlin 2001 ISBN 3 540 67114 5 Roberto Marcolongo Theoretische Mechanik Kinematik und Statik 1 Band B G Teubner Leipzig und Berlin 1911 S 122 archive org abgerufen am 15 April 2020 Weblinks BearbeitenGeometrieskript von Eschenburg S 56 PDF 970 kB Einzelnachweise Bearbeiten Giulio Giuseppe Mozzi Mathematischer Diskurs uber die momentane Rotation von Korpern Druckerei von Donato Campo Neapel 1763 italienisch archive org abgerufen am 15 April 2020 Originaltitel Discorso matematico sopra il rotamento mementaneo dei corpi Zitiert nach Marcolongo 1911 S 122 Kristallographische Schraubenachse Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schraubung amp oldid 223000898