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Hermann Mauguin Symbolik Die nach den Kristallographen Carl Hermann und Charles Victor Mauguin wird zur Beschreibung von

Hermann-Mauguin-Symbolik

Die Hermann-Mauguin-Symbolik (nach den Kristallographen Carl Hermann und Charles-Victor Mauguin) wird zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Beschreibung der 32 kristallographischen Punktgruppen und der 230 kristallographischen Raumgruppen. Weiter wird sie zur Beschreibung zweidimensionaler ebener Gruppen, zwei- und dreidimensionaler subperiodischer Gruppen (Bandornament-, Stab- und Schichtgruppen) und nicht-kristallographischer Gruppen verwendet. Normiert ist sie in den International Tables for Crystallography.

Neben der Symbolik nach Hermann-Mauguin existiert eine Schreibweise nach Arthur Schoenflies, die Schoenflies-Symbolik. Sie wird jedoch kaum noch für die Beschreibung eines kristallinen Zustands genutzt, sondern zur Beschreibung der Symmetrie von Molekülen.

Symbole der Symmetrieelemente Bearbeiten

Drehachsen Bearbeiten

Eine Drehung um wird dargestellt durch (gesprochen „n-fache Drehung“).

Spezialfälle sind:

  • , eine Drehung um 360°, entsprechend der Identität
  • , eine Drehung um einen beliebig kleinen Winkel.

In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehungen vorkommen:

n (= Anzahl
symmetrieäquivalente Teilchen) 		Beschreibung Drehwinkel Bemerkung
Identität 0° = 360° Element jeder Gruppe;
entfällt meist im Kurzsymbol
zweizählige
Drehachse 		180°
dreizählige
Drehachse 		120°
vierzählige
Drehachse 		90°
sechszählige
Drehachse 		60°

Inversionszentrum Bearbeiten

  • : Inversionszentrum. Vervielfältigung eines Teilchens durch Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.

Gekoppelte Symmetrieoperationen (Drehinversionsachsen) Bearbeiten

Eine Drehung um und anschließende Punktspiegelung an einem Punkt auf der Drehachse wird dargestellt durch .

In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehinversionen vorkommen:

Beschreibung Drehwinkel Anzahl
symmetrieäquivalente Teilchen
Inversion / Punktspiegelung 0° = 360° 2

* 		zweizählige
Drehinversionsachse 		180° 2
dreizählige
Drehinversionsachse 		120° 6
vierzählige
Drehinversionsachse 		90° 4
sechszählige
Drehinversionsachse 		60° 6

*) Da diese Operation zum selben Ergebnis führt wie die Spiegelung an einer Ebene, wird das Symbol nicht verwendet, sondern immer als Spiegelebene angegeben.

Spiegelebene Bearbeiten

  • : Spiegelebene. Vervielfältigung eines Teilchens durch Spiegelung an einer Ebene. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.

Kombinierte Symmetrieoperationen (Drehachsen senkrecht zu Spiegelebenen) Bearbeiten

Eine Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene wird dargestellt durch oder (jeweils gesprochen „n über m“; beide Schreibweisen sind äquivalent, die erste ist in der älteren Literatur üblich).

Beschreibung Anzahl
symmetrieäquivalente Teilchen
zweizählige Drehachse
senkrecht zu einer Spiegelebene 		4

* 		dreizählige Drehachse
senkrecht zu einer Spiegelebene 		6
vierzählige Drehachse
senkrecht zu einer Spiegelebene 		8
sechszählige Drehachse
senkrecht zu einer Spiegelebene 		12

*) Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die sechszählige Drehinversionsachse führt, wird das Symbol bzw. nicht verwendet, sondern immer als sechszählige Drehinversionsachse angegeben.

Symbole der Punktgruppen Bearbeiten

Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 Punktgruppen (Kristallklassen) beschreiben, da deren Symmetrieoperationen anders als die Raumgruppen (s. u.) keine Translation beinhalten.

Für jedes Kristallsystem werden die Symmetrieoperationen bezüglich dreier vorgegebener kristallographischer Richtungen angegeben:

  • die Dreh- und Drehinversionsachsen parallel zu folgenden Richtungen
  • die Spiegelebenen senkrecht zu folgenden Richtungen:
Kristallsystem 1. Stelle 2. Stelle 3. Stelle
monoklin
orthorhombisch
tetragonal
trigonal,
hexagonale Aufstellung
hexagonal
trigonal,
rhomboedrische Aufstellung
kubisch

Im triklinen Kristallsystem gibt es die Punktgruppen

  • (Abwesenheit von Inversionszentren)
  • (Anwesenheit von Inversionszentren).

(Die farbig hinterlegten Richtungen werden in den Punktgruppensymbolen grundsätzlich nicht angegeben, da dort nie Symmetrieelemente außer oder liegen. Für die Raumgruppensymbole werden sie aber gelegentlich benötigt.)

Bei der gekürzten Schreibweise der Hermann-Mauguin-Symbole werden redundante Informationen weggelassen: so wird z. B. statt geschrieben.

Beispiel Bearbeiten

Als Beispiel lässt sich die kristallographische Punktgruppe bzw. Kristallklasse orthorhombisch-disphenoidisch (Kristallklasse Nr. 6) beschreiben mit dem Hermann-Mauguin-Symbol 222. (Die konkreten Symbole für die weiteren Kristallklassen finden sich hier: Punktgruppe #Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen).)

Dieses Symbol ist wie folgt zu deuten: es ist aus drei Einzelysmbolen zusammengesetzt, die sich jeweils auf eine vorgegebene (Blick-)Richtung beziehen. Die drei betrachteten Richtungen sind im orthorhombischen Kristallsystem:

  • Richtung der a-Achse (<100>): 1. Einzelysmbol
  • Richtung der b-Achse (<010>): 2. Einzelysmbol
  • Richtung der c-Achse (<001>): 3. Einzelysmbol.

In diesen drei Richtungen enthält die beschriebene Kristallklasse jeweils eine zweizählige Drehachse (Einzelsymbol 2), aber im Unterschied zu den anderen orthorhombischen Kristallklassen keine Drehinversionsachse.

Die drei o. g. Richtungen und damit auch die zweizähligen Drehachsen, die bei dieser Kristallklasse in ihnen liegen, stehen jeweils paarweise senkrecht aufeinander.

Da es bei dieser Kristallklasse keine Richtung ohne Symmetrieelement gibt, die man bei der Aufstellung des Symbols weglassen könnte, ist die Kurzform des Symbols identisch mit der Langform.

Symbole der Raumgruppen Bearbeiten

Die Bezeichnung für die Raumgruppen funktioniert im Prinzip wie die der Punktgruppen.

Zusätzlich wird das Bravais-Gitter vorangestellt:

Außerdem treten zusätzliche Symbole auf:

  • : -zählige Schraubenachse mit Translation um Teile eines Gittervektors
  • , oder : Gleitspiegelebene mit Translation entlang eines halben Gittervektors
  • : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale
  • : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale
  • : zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren

Ein Beispiel für eine tetragonale Raumgruppe in gekürzter Schreibweise ist .

Literatur Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Hermann Mauguin Symbolik nach den Kristallographen Carl Hermann und Charles Victor Mauguin wird zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Beschreibung der 32 kristallographischen Punktgruppen und der 230 kristallographischen Raumgruppen Weiter wird sie zur Beschreibung zweidimensionaler ebener Gruppen zwei und dreidimensionaler subperiodischer Gruppen Bandornament Stab und Schichtgruppen und nicht kristallographischer Gruppen verwendet Normiert ist sie in den International Tables for Crystallography Neben der Symbolik nach Hermann Mauguin existiert eine Schreibweise nach Arthur Schoenflies die Schoenflies Symbolik Sie wird jedoch kaum noch fur die Beschreibung eines kristallinen Zustands genutzt sondern zur Beschreibung der Symmetrie von Molekulen Inhaltsverzeichnis 1 Symbole der Symmetrieelemente 1 1 Drehachsen 1 2 Inversionszentrum 1 3 Gekoppelte Symmetrieoperationen Drehinversionsachsen 1 4 Spiegelebene 1 5 Kombinierte Symmetrieoperationen Drehachsen senkrecht zu Spiegelebenen 2 Symbole der Punktgruppen 2 1 Beispiel 3 Symbole der Raumgruppen 4 LiteraturSymbole der Symmetrieelemente BearbeitenDrehachsen Bearbeiten Eine Drehung um 360 n displaystyle frac 360 circ n nbsp wird dargestellt durch n displaystyle n nbsp gesprochen n fache Drehung Spezialfalle sind 1 displaystyle 1 nbsp eine Drehung um 360 entsprechend der Identitat displaystyle infty nbsp eine Drehung um einen beliebig kleinen Winkel In kristallographischen Raum und Punktgruppen konnen folgende Drehungen vorkommen n Anzahlsymmetrieaquivalente Teilchen Beschreibung Drehwinkel Bemerkung1 displaystyle 1 nbsp Identitat 0 360 Element jeder Gruppe entfallt meist im Kurzsymbol2 displaystyle 2 nbsp zweizahligeDrehachse 180 3 displaystyle 3 nbsp dreizahligeDrehachse 120 4 displaystyle 4 nbsp vierzahligeDrehachse 90 6 displaystyle 6 nbsp sechszahligeDrehachse 60 Inversionszentrum Bearbeiten 1 displaystyle bar 1 nbsp Inversionszentrum Vervielfaltigung eines Teilchens durch Punktspiegelung Es entstehen insgesamt zwei symmetrieaquivalente Teilchen Gekoppelte Symmetrieoperationen Drehinversionsachsen Bearbeiten Hauptartikel Drehspiegelgruppe Beispiele Eine Drehung um 360 n displaystyle frac 360 circ n nbsp und anschliessende Punktspiegelung an einem Punkt auf der Drehachse wird dargestellt durch n displaystyle overline n nbsp In kristallographischen Raum und Punktgruppen konnen folgende Drehinversionen vorkommen n displaystyle overline n nbsp Beschreibung Drehwinkel Anzahlsymmetrieaquivalente Teilchen1 displaystyle overline 1 nbsp Inversion Punktspiegelung 0 360 2m displaystyle mathrm m nbsp 2 displaystyle overline 2 nbsp zweizahligeDrehinversionsachse 180 23 displaystyle overline 3 nbsp dreizahligeDrehinversionsachse 120 64 displaystyle overline 4 nbsp vierzahligeDrehinversionsachse 90 46 displaystyle overline 6 nbsp sechszahligeDrehinversionsachse 60 6 displaystyle Da diese Operation zum selben Ergebnis fuhrt wie die Spiegelung an einer Ebene wird das Symbol 2 displaystyle overline 2 nbsp nicht verwendet sondern immer als Spiegelebene m displaystyle m nbsp angegeben Spiegelebene Bearbeiten m displaystyle m nbsp Spiegelebene Vervielfaltigung eines Teilchens durch Spiegelung an einer Ebene Es entstehen insgesamt zwei symmetrieaquivalente Teilchen Kombinierte Symmetrieoperationen Drehachsen senkrecht zu Spiegelebenen Bearbeiten Eine Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene m displaystyle m nbsp wird dargestellt durch n m displaystyle frac n m nbsp oder n m displaystyle n m nbsp jeweils gesprochen n uber m beide Schreibweisen sind aquivalent die erste ist in der alteren Literatur ublich n m n m displaystyle frac n m n m nbsp Beschreibung Anzahlsymmetrieaquivalente Teilchen2 m 2 m displaystyle frac 2 m 2 m nbsp zweizahlige Drehachsesenkrecht zu einer Spiegelebene 46 displaystyle overline 6 nbsp 3 m 3 m displaystyle frac 3 m 3 m nbsp dreizahlige Drehachsesenkrecht zu einer Spiegelebene 64 m 4 m displaystyle frac 4 m 4 m nbsp vierzahlige Drehachsesenkrecht zu einer Spiegelebene 86 m 6 m displaystyle frac 6 m 6 m nbsp sechszahlige Drehachsesenkrecht zu einer Spiegelebene 12 displaystyle Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die sechszahlige Drehinversionsachse fuhrt wird das Symbol 3 m displaystyle frac 3 m nbsp bzw 3 m displaystyle 3 m nbsp nicht verwendet sondern immer als sechszahlige Drehinversionsachse 6 displaystyle bar 6 nbsp angegeben Symbole der Punktgruppen BearbeitenMit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 Punktgruppen Kristallklassen beschreiben da deren Symmetrieoperationen anders als die Raumgruppen s u keine Translation beinhalten Fur jedes Kristallsystem werden die Symmetrieoperationen bezuglich dreier vorgegebener kristallographischer Richtungen angegeben die Dreh und Drehinversionsachsen parallel zu folgenden Richtungen die Spiegelebenen senkrecht zu folgenden Richtungen Kristallsystem 1 Stelle 2 Stelle 3 Stellemonoklin 100 displaystyle 100 nbsp 010 displaystyle 010 nbsp 001 displaystyle 001 nbsp orthorhombisch 100 displaystyle 100 nbsp 010 displaystyle 010 nbsp 001 displaystyle 001 nbsp tetragonal 001 displaystyle 001 nbsp 100 displaystyle langle 100 rangle nbsp 110 displaystyle langle 110 rangle nbsp trigonal hexagonale Aufstellung 00 1 displaystyle 00 1 nbsp 10 0 displaystyle langle 10 0 rangle nbsp 12 0 displaystyle langle 12 0 rangle nbsp hexagonal 00 1 displaystyle 00 1 nbsp 10 0 displaystyle langle 10 0 rangle nbsp 12 0 displaystyle langle 12 0 rangle nbsp trigonal rhomboedrische Aufstellung 111 displaystyle 111 nbsp 1 1 0 displaystyle langle 1 bar 1 0 rangle nbsp kubisch 100 displaystyle langle 100 rangle nbsp 111 displaystyle langle 111 rangle nbsp 110 displaystyle langle 110 rangle nbsp Im triklinen Kristallsystem gibt es die Punktgruppen 1 displaystyle 1 nbsp Abwesenheit von Inversionszentren 1 displaystyle bar 1 nbsp Anwesenheit von Inversionszentren Die farbig hinterlegten Richtungen werden in den Punktgruppensymbolen grundsatzlich nicht angegeben da dort nie Symmetrieelemente ausser 1 displaystyle 1 nbsp oder 1 displaystyle bar 1 nbsp liegen Fur die Raumgruppensymbole werden sie aber gelegentlich benotigt Bei der gekurzten Schreibweise der Hermann Mauguin Symbole werden redundante Informationen weggelassen so wird z B 4 m m m displaystyle 4 m m m nbsp statt 4 m 2 m 2 m displaystyle 4 m 2 m 2 m nbsp geschrieben Beispiel Bearbeiten Als Beispiel lasst sich die kristallographische Punktgruppe bzw Kristallklasse orthorhombisch disphenoidisch Kristallklasse Nr 6 beschreiben mit dem Hermann Mauguin Symbol 222 Die konkreten Symbole fur die weiteren Kristallklassen finden sich hier Punktgruppe Die 32 kristallographischen Punktgruppen Kristallklassen Dieses Symbol ist wie folgt zu deuten es ist aus drei Einzelysmbolen zusammengesetzt die sich jeweils auf eine vorgegebene Blick Richtung beziehen Die drei betrachteten Richtungen sind im orthorhombischen Kristallsystem Richtung der a Achse lt 100 gt 1 Einzelysmbol Richtung der b Achse lt 010 gt 2 Einzelysmbol Richtung der c Achse lt 001 gt 3 Einzelysmbol In diesen drei Richtungen enthalt die beschriebene Kristallklasse jeweils eine zweizahlige Drehachse Einzelsymbol 2 aber im Unterschied zu den anderen orthorhombischen Kristallklassen keine Drehinversionsachse Die drei o g Richtungen und damit auch die zweizahligen Drehachsen die bei dieser Kristallklasse in ihnen liegen stehen jeweils paarweise senkrecht aufeinander Da es bei dieser Kristallklasse keine Richtung ohne Symmetrieelement gibt die man bei der Aufstellung des Symbols weglassen konnte ist die Kurzform des Symbols identisch mit der Langform Symbole der Raumgruppen BearbeitenDie Bezeichnung fur die Raumgruppen funktioniert im Prinzip wie die der Punktgruppen Zusatzlich wird das Bravais Gitter vorangestellt P primitiv A B oder C flachenzentriert F allseitig flachenzentriert I innen oder auch raumzentriert R hexagonales Gitter mit rhomboedrischer ZentrierungAusserdem treten zusatzliche Symbole auf n m displaystyle n m nbsp n displaystyle n nbsp zahlige Schraubenachse mit Translation um m n displaystyle frac m n nbsp Teile eines Gittervektors a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp oder c displaystyle c nbsp Gleitspiegelebene mit Translation entlang eines halben Gittervektors n displaystyle n nbsp Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flachendiagonale d displaystyle d nbsp Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flachendiagonale e displaystyle e nbsp zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier verschiedener halber GittervektorenEin Beispiel fur eine tetragonale Raumgruppe in gekurzter Schreibweise ist I 4 1 a m d displaystyle I 4 1 a m d nbsp Literatur BearbeitenHahn Theo Hrsg International Tables for Crystallography Vol A D Reidel publishing Company Dordrecht 1983 ISBN 90 277 1445 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hermann Mauguin Symbolik amp oldid 223842369