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Schramm Löwner Evolution Die SLE auch stochastische Löwner Evolution wobei im Englischen meist Loewner geschrieben wird

Schramm-Löwner-Evolution

Die Schramm-Löwner-Evolution (SLE, auch stochastische Löwner-Evolution, wobei im Englischen meist Loewner geschrieben wird) aus dem Gebiet der stochastischen Geometrie bezeichnet eine einparametrige Familie von ebenen Kurven, die mit einem Zufallsgesetz gebildet werden. Sie sind konform invariant, was Verbindungen zur komplexen Analysis schafft, und ermöglichten Fortschritte in der strengen Behandlung vieler Modelle der statistischen Mechanik und ihres Verhaltens am kritischen Punkt (Ising-Modell, Perkolationstheorie, Selbstmeidende Pfade, verschiedene Random-Walk-Varianten wie Loop Erased Random Walk, LERW), dem sogenannten Skalierungsgrenzfall, der einen Phasenübergang beschreibt, in dem das Modell skaleninvariant und damit konform invariant wird. Die Kurven sind Beispiele für Fraktale.

Eingeführt wurde die SLE 2000 von Oded Schramm, wobei sich das Loewner auf einen dabei verwendeten Beitrag aus der Funktionentheorie von Charles Loewner von 1923 bezog.

Die SLE war ab den 2000er Jahren eines der aktivsten Forschungsgebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie mit zwei Fields-Medaillen für Forschung auf diesem Gebiet (Wendelin Werner, Stanislaw Smirnow).

Geschichte und Motivation Bearbeiten

Systeme der statistischen Mechanik am kritischen Punkt (Phasenübergang) wurden seit Ende der 1960er Jahre mit großem Erfolg durch die von Kenneth Wilson entwickelte Methode der Renormierungsgruppe beschrieben, die Methoden benutzte, die ursprünglich aus der Quantenfeldtheorie der Elementarteilchenphysik stammte (nur in euklidischen Räumen statt im Minkowskiraum). Ein weiterer wichtiger Schritt war die Anwendung konformer Feldtheorien auf zweidimensionale Systeme der statistischen Mechanik. Die SLE entstand aus dem Bemühen von Mathematikern, den dabei von Physikern erzielten Ergebnisse und Vermutungen eine mathematisch exakte Grundlage zu geben. Insbesondere suchte man strenge Beweise für Vermutungen wie der von John Cardy, dass bei kritischer Perkolation Cluster die Randpunkte einfach zusammenhängender Gebiete verbinden sollten, in denen das Perkolationsmodell betrachtet wird, und wollte die genaue mathematische Bedeutung der Erfolge der Verwendung konformer Feldtheorien in der statistischen Physik besser verstehen. Dazu untersuchte man die „zeitliche“ Entwicklung (Evolution) einer stetigen Kurve , die vom Rand eines einfach zusammenhängenden Gebiets in der Ebene startet. Diese kann etwa als Modell für die Randkurve eines Clusters in der Perkolationstheorie dienen (die als diskretes Modell auf einem Gitter definiert sind, man kann aber den Kontinuumsgrenzfall verschwindender Gitterabstände betrachten).

Löwner hatte ein ähnliches Modell bei der konformen Abbildung untersucht. Er betrachtete eine Kurve , die von einem Randpunkt eines einfach zusammenhängenden Gebiets der komplexen Ebene startet, wobei die Evolution durch eine reelle stetige Funktion vorgegeben ist. Die Kurve soll sich nicht selbst schneiden. Loewner betrachtete das Verhalten der Kurve nicht direkt, sondern über ihr Komplement , das einfach zusammenhängend war und daher konform in eines der vom Riemannschen Abbildungssatz vorgegebenen Standardgebiete (Inneres der Einheitskreisscheibe, obere Halbebene, Riemannsche Zahlenkugel) abgebildet werden konnte. Löwner zeigte, dass diese Abbildung durch die reelle Funktion (die „treibende Funktion“) bestimmt wird und leitete für die Evolution der Kurve mit seiner Konstruktion eine nach ihm benannte Differentialgleichung ab (einer Evolutionsgleichung mit als unabhängiger Variabler).

Insbesondere konnte die treibende Funktion auch einen Zufallsprozess bei einer Zufallskurve beschreiben. Schramm fand, dass für konforme Invarianz des zugehörigen Wahrscheinlichkeitsmaßes auf der Kurve der Zufallsprozess der Evolution von eine eindimensionale Brownsche Bewegung sein musste, mit einem Parameter in der Art einer Diffusionskonstante.

S in SLE stand bei Schramm für stochastisch, später machte man in Anerkennung von Schramm daraus Schramm-Loewner-Evolution.

Die Theorie sollte nach ihren Voraussetzungen auf alle Modelle der statistischen Mechanik anwendbar sein, in denen ein Kreuzungsverbot für die entsprechenden Kurven existiert und die im Kontinuumsgrenzfall konform invariant sind. Der Kontinuumsgrenzfall entspricht bei Gittermodellen dem Fall, dass die Gitterabstände gegen Null gehen. Konforme Invarianz liegt am kritischen Punkt (Phasenübergang) vor, in der das System über alle Längenskalen ähnlich aussieht. Schramm, Wendelin Werner und Gregory Lawler zeigten in einer Reihe von Arbeiten, dass eine ganze Reihe von Eigenschaften am kritischen Punkt (wie verschiedene kritische Exponenten, die Hausdorff-Dimension verschiedener Begrenzungskurven) mit SLE mathematisch streng abgeleitet werden konnten (falls die erwähnten Voraussetzungen erfüllt waren). Als dann Stanislaw Smirnow konforme Invarianz im Kontinuums-Grenzfall von Perkolation auf dem Dreiecksgitter nachweisen konnte, waren damit die kritischen Exponenten im Fall zweidimensionaler Perkolation mathematisch streng abgeleitet. Es wird vermutet, dass konforme Invarianz im Kontinuumsgrenzfall auch bei anderen wichtigen Gittermodellen der statistischen Mechanik wie den Modellen, dem Isingmodell, dem XY-Modell, dem Potts-Modell vorliegt. Jedes dieser Modelle entspricht einer bestimmten Wahl des Parameters , die zugehörige SLE wird mit bezeichnet.

Definition Bearbeiten

Die SLE wird als komplexwertige Lösung der Löwner-Differentialgleichung mit einer treibenden reellen Funktion definiert, die einer eindimensionalen Brownschen Bewegung entspricht. Durch die Konstruktion wird eine Zufallskurve erzeugt, die aber zugleich konform invariant ist. Sie hat einen Parameter . Es wird unterschieden zwischen radialer SLE, chordaler SLE und SLE in der ganzen komplexen Ebene.

Betrachtet wird ein einfach zusammenhängendes offenes Gebiet und eine Kurve () in . Die Endpunkte sind und . Bei chordalen SLE verbindet die Kurve zwei Randpunkte aus , bei der radialen SLE einen Randpunkt mit einem inneren Punkt von , bei der SLE in der gesamten komplexen Ebene zwei Punkte in . Häufig wird für die chordale SLE eine Abbildung der oberen Halbebene genommen (wobei die Randpunkte auf der reellen Achse und im Unendlichen liegen) und für die radiale SLE das Innere des Einheitskreises (wobei die SLE Kurve einen Randpunkt mit dem Ursprung verbindet).

sei zum Beispiel im Fall der chordalen SLE die obere Halbebene (einschließlich des Punkts im Unendlichen) , wobei einen Anfangswert für auf der reellen Achse hat, dann bildet man mit einer analytischen, eineindeutigen Funktion konform auf ab (die unabhängige Variable t erscheint hier als tiefgestellter Index). heißt SLE-Kurve oder auch Spur der SLE. sei die Umkehrfunktion. Für die Evolution der Kurve gilt nach geeigneter Normierung die Löwner-Differentialgleichung

jeweils für die Funktionen .

Wählt man für das Innere des Einheitskreises (radiale SLE) hat man

Dabei besteht durch analytische Fortsetzung der auf definierten Abbildung bzw. ihrer Umkehrabbildung zwischen und :

Für wird die eindimensionale Brownsche Bewegung genommen mit einer Diffusionskonstante . Die damit gebildete Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert heißt .

Spezielle Werte der Diffusionskonstante und Ergebnisse Bearbeiten

  • Loop Erased Random Walk (eingeführt durch Greg Lawler), diesen Fall behandelte Schramm 2000 in seiner ursprünglichen Arbeit mit dem Beweis durch Lawler, Schramm und Werner 2004. Eng mit ihm verbunden ist der Uniform Spanning Tree (UST) (ein Zufallsbaum, dessen Umrisskurve ist mit verbunden).
  • Randkurven der Cluster bei Brownscher Bewegung und vermutlich Skalierungsgrenzwert des Self Avoiding Random Walk
  • Randkurven der Cluster im Isingmodell
  • die Kurve ist einfach (sie schneidet sich nicht selbst)
  • Harmonic Explorer
  • die Kurve schneidet sich selbst, jeder Punkt wird von der Kurve umschlossen, aber sie ist nicht raumfüllend.
  • für ist die Kurve raumfüllend (mit Wahrscheinlichkeit 1)
  • kritische Perkolation auf dem Dreiecksgitter (Smirnov 2001) und vermutlich auch auf anderen Gittern. Dies ermöglichte die strenge Ableitung kritischer Exponenten bei ebener Perkolation (mit älteren Arbeiten von Harry Kesten).

Die SLE entsprechenden konformen Feldtheorien, haben zentrale Ladung c mit

Für entspricht das zwei Werten von : ein Wert liegt in , der andere ist dazu „dual“ und größer als vier.

Nach Vincent Beffara ist die Hausdorff-Dimension der SLE-Kurven gleich dem Minimum von und (mit Wahrscheinlichkeit 1). Mit anderen Worten die fraktale Dimension wächst vom Wert einer ebenen Kurve im Fall (keine stochastische Bewegung) bis zum Wert ab , dem maximal möglichen Wert in einer Ebene (Dimension 2, raumfüllende Kurve). Mit zeigten Lawler, Schramm und Werner 2001, dass die fraktale Dimension des Randes ebener Brownscher Bewegung ist.

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten:

  • Oded Schramm: Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees, Israel Journal of Mathematics, Band 118, 2000, S. 221–288, Arxiv
  • Oded Schramm: Conformally invariant scaling limits: an overview and a collection of problems, ICM 2006
  • Gregory Lawler, Oded Schramm, Wendelin Werner: Values of Brownian intersection exponents, Teil 1–3, Acta Math., Band 187, 2001, S. 237–273, 275–308, Ann. Inst. Henri Poincaré (Statistique), Band 38, 2002, S. 109–123, Teil 1, Arxiv, Teil 2, Arxiv, Teil 3, Arxiv
  • Lawler, Schramm, Werner: Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees, Annals of Probability, Band 32, 2004, S. 939–995, Arxiv
  • Schramm, Lawler, Werner: Conformal restriction: the chordal case, J. Am. Math. Soc., Band 16, 2003, S. 917–955, Arxiv
  • Steffen Rohde, Oded Schramm: Basic properties of SLE, Annals of Mathematics, Band 161, 2005, S. 879–920, Arxiv
  • Stanislav Smirnov: Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy’s formula, scaling limits, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. Math. Band 333, 2001, S. 239–244.
  • Stanislav Smirnov: Conformal Invariance of 2D lattice models, ICM 2006, Arxiv

Übersichtsartikel und Bücher:

  • Gregory Lawler: Conformally invariant processes in the plane, Mathematical Surveys and Monographs 114, AMS, 2005
  • Gregory Lawler: Schramm-Loewner evolution, Park City Lectures 2007, Arxiv
  • Wendelin Werner: Random planar curves and Schramm-Loewner evolutions, in: Lectures on probability theory and statistics, Lecture Notes in Mathematics 1840, Springer 2004, S. 107–19, Arxiv
  • John Cardy: SLE for theoretical physicists, Annals of Physics, Band 318, 2005, S. 81–118, Arxiv
  • Wouter Kager, Bernard Nienhuis: A guide to stochastic Loewner evolution and its applications, J. Stat. Phys., Band 115, 2004, S. 1149–1229, Arxiv
  • Vincent Beffara, Hugo Duminil-Copin, Planar percolation with a glimpse at Schramm-Loewner, La Pietra week in probability 2011, Arxiv

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Schramm, Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees", Israel Journal of Mathematics, Band 118, 2000, S. 221–288
  2. Im Perkolationsmodell bei Überschreiten eines kritischen Wertes, mit der Gitterpunkte besetzt werden
  3. Löwner, Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises, I, Mathematische Annalen, Band 89, 1923, S. 103–121, Digitalisat
  4. John Cardy, Annals of Physics, Band 318, 2005
  5. Lawler, Schramm, Werner, Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees, Annals of Probability, Band 32, 2004, S. 939–995
  6. Lawler, Schramm, Werner, On the scaling limit of planar self-avoiding walk, in: Fractal geometry and applications: a jubilee of Benoit Mandelbrot, Symp. Pure Math. 72, Part 2, AMS, 2004, Arxiv
  7. Smirnov, Hugo Duminil-Copin, Hongler, Kemppainen, Chelkak, Convergence of Ising interfaces to Schramm's SLE curves, Arxiv 2013
  8. Schramm, Scott Sheffield, The harmonic explorer and its convergence to SLE(4), Annals of Probability, Band 33, 2005, 2127-2148, Arxiv
  9. Rohde, Schramm, Basic properties of SLE, Ann. of Math., Band 161, 2005, S. 879
  10. Smirnov, Werner: Critical exponents for two-dimensional percolation, Math. Res. Lett., Band 8, 2001, S. 729–744, Arxiv
  11. Kesten, Scaling relations for 2D-percolation, Comm. Math. Phys., Band 109, 1987, S. 109–156
  12. Michel Bauer, Denis Bernard, growth processes and conformal field theories, Phys. Lett. B, Band 543, 2002, S. 135–138, Arxiv
  13. Bauer, Bernard, Conformal field theories of Stochastic Loewner Evolutions, Comm. Math. Phys., Band 239, 2003, S. 493–521, Arxiv
  14. Beffara, The dimension of the SLE curves, Annals of Probability, Band 36, 2008, S. 1421–1452, Arxiv
  15. Lawler, Schramm, Werner, The dimension of the planar Brownian frontier is 4/3, Mathematical Research Letters, Band 8, 2001, S. 401–411
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Veröffentlichungsdatum:
Die Schramm Lowner Evolution SLE auch stochastische Lowner Evolution wobei im Englischen meist Loewner geschrieben wird aus dem Gebiet der stochastischen Geometrie bezeichnet eine einparametrige Familie von ebenen Kurven die mit einem Zufallsgesetz gebildet werden Sie sind konform invariant was Verbindungen zur komplexen Analysis schafft und ermoglichten Fortschritte in der strengen Behandlung vieler Modelle der statistischen Mechanik und ihres Verhaltens am kritischen Punkt Ising Modell Perkolationstheorie Selbstmeidende Pfade verschiedene Random Walk Varianten wie Loop Erased Random Walk LERW dem sogenannten Skalierungsgrenzfall der einen Phasenubergang beschreibt in dem das Modell skaleninvariant und damit konform invariant wird Die Kurven sind Beispiele fur Fraktale Eingefuhrt wurde die SLE 2000 von Oded Schramm 1 wobei sich das Loewner auf einen dabei verwendeten Beitrag aus der Funktionentheorie von Charles Loewner von 1923 bezog Die SLE war ab den 2000er Jahren eines der aktivsten Forschungsgebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie mit zwei Fields Medaillen fur Forschung auf diesem Gebiet Wendelin Werner Stanislaw Smirnow Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte und Motivation 2 Definition 3 Spezielle Werte der Diffusionskonstante und Ergebnisse 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseGeschichte und Motivation BearbeitenSysteme der statistischen Mechanik am kritischen Punkt Phasenubergang wurden seit Ende der 1960er Jahre mit grossem Erfolg durch die von Kenneth Wilson entwickelte Methode der Renormierungsgruppe beschrieben die Methoden benutzte die ursprunglich aus der Quantenfeldtheorie der Elementarteilchenphysik stammte nur in euklidischen Raumen statt im Minkowskiraum Ein weiterer wichtiger Schritt war die Anwendung konformer Feldtheorien auf zweidimensionale Systeme der statistischen Mechanik Die SLE entstand aus dem Bemuhen von Mathematikern den dabei von Physikern erzielten Ergebnisse und Vermutungen eine mathematisch exakte Grundlage zu geben Insbesondere suchte man strenge Beweise fur Vermutungen wie der von John Cardy dass bei kritischer Perkolation 2 Cluster die Randpunkte einfach zusammenhangender Gebiete D displaystyle D nbsp verbinden sollten in denen das Perkolationsmodell betrachtet wird und wollte die genaue mathematische Bedeutung der Erfolge der Verwendung konformer Feldtheorien in der statistischen Physik besser verstehen Dazu untersuchte man die zeitliche Entwicklung Evolution einer stetigen Kurve g t displaystyle gamma t nbsp die vom Rand eines einfach zusammenhangenden Gebiets D displaystyle D nbsp in der Ebene startet Diese kann etwa als Modell fur die Randkurve eines Clusters in der Perkolationstheorie dienen die als diskretes Modell auf einem Gitter definiert sind man kann aber den Kontinuumsgrenzfall verschwindender Gitterabstande betrachten Lowner 3 hatte ein ahnliches Modell bei der konformen Abbildung untersucht Er betrachtete eine Kurve g t displaystyle gamma t nbsp die von einem Randpunkt eines einfach zusammenhangenden Gebiets D displaystyle D nbsp der komplexen Ebene startet wobei die Evolution durch eine reelle stetige Funktion z t displaystyle zeta t nbsp vorgegeben ist Die Kurve soll sich nicht selbst schneiden Loewner betrachtete das Verhalten der Kurve nicht direkt sondern uber ihr Komplement D g displaystyle D backslash gamma nbsp das einfach zusammenhangend war und daher konform in eines der vom Riemannschen Abbildungssatz vorgegebenen Standardgebiete Inneres der Einheitskreisscheibe obere Halbebene Riemannsche Zahlenkugel abgebildet werden konnte Lowner zeigte dass diese Abbildung durch die reelle Funktion z t displaystyle zeta t nbsp die treibende Funktion bestimmt wird und leitete fur die Evolution der Kurve mit seiner Konstruktion eine nach ihm benannte Differentialgleichung ab einer Evolutionsgleichung mit t displaystyle t nbsp als unabhangiger Variabler Insbesondere konnte die treibende Funktion auch einen Zufallsprozess bei einer Zufallskurve g displaystyle gamma nbsp beschreiben Schramm fand dass fur konforme Invarianz des zugehorigen Wahrscheinlichkeitsmasses auf der Kurve der Zufallsprozess der Evolution von z t displaystyle zeta t nbsp eine eindimensionale Brownsche Bewegung sein musste mit einem Parameter k 0 displaystyle kappa geq 0 nbsp in der Art einer Diffusionskonstante S in SLE stand bei Schramm fur stochastisch spater machte man in Anerkennung von Schramm daraus Schramm Loewner Evolution Die Theorie sollte nach ihren Voraussetzungen auf alle Modelle der statistischen Mechanik anwendbar sein in denen ein Kreuzungsverbot fur die entsprechenden Kurven existiert und die im Kontinuumsgrenzfall konform invariant sind Der Kontinuumsgrenzfall entspricht bei Gittermodellen dem Fall dass die Gitterabstande gegen Null gehen Konforme Invarianz liegt am kritischen Punkt Phasenubergang vor in der das System uber alle Langenskalen ahnlich aussieht Schramm Wendelin Werner und Gregory Lawler zeigten in einer Reihe von Arbeiten dass eine ganze Reihe von Eigenschaften am kritischen Punkt wie verschiedene kritische Exponenten die Hausdorff Dimension verschiedener Begrenzungskurven mit SLE mathematisch streng abgeleitet werden konnten falls die erwahnten Voraussetzungen erfullt waren Als dann Stanislaw Smirnow konforme Invarianz im Kontinuums Grenzfall von Perkolation auf dem Dreiecksgitter nachweisen konnte waren damit die kritischen Exponenten im Fall zweidimensionaler Perkolation mathematisch streng abgeleitet Es wird vermutet dass konforme Invarianz im Kontinuumsgrenzfall auch bei anderen wichtigen Gittermodellen der statistischen Mechanik wie den O N displaystyle O N nbsp Modellen dem Isingmodell dem XY Modell dem Potts Modell vorliegt 4 Jedes dieser Modelle entspricht einer bestimmten Wahl des Parameters k displaystyle kappa nbsp die zugehorige SLE wird mit S L E k displaystyle SLE kappa nbsp bezeichnet Definition BearbeitenDie SLE wird als komplexwertige Losung der Lowner Differentialgleichung mit einer treibenden reellen Funktion z t displaystyle zeta t nbsp definiert die einer eindimensionalen Brownschen Bewegung entspricht Durch die Konstruktion wird eine Zufallskurve erzeugt die aber zugleich konform invariant ist Sie hat einen Parameter k gt 0 displaystyle kappa gt 0 nbsp Es wird unterschieden zwischen radialer SLE chordaler SLE und SLE in der ganzen komplexen Ebene Betrachtet wird ein einfach zusammenhangendes offenes Gebiet D C displaystyle D subseteq mathbb C nbsp und eine Kurve g t displaystyle gamma t nbsp t 0 displaystyle t geq 0 nbsp in D displaystyle D nbsp Die Endpunkte sind g 0 z displaystyle gamma 0 z nbsp und g t w displaystyle gamma t w nbsp Bei chordalen SLE verbindet die Kurve zwei Randpunkte aus D displaystyle partial D nbsp bei der radialen SLE einen Randpunkt mit einem inneren Punkt von D displaystyle D nbsp bei der SLE in der gesamten komplexen Ebene zwei Punkte in C displaystyle mathbb C nbsp Haufig wird fur die chordale SLE eine Abbildung der oberen Halbebene genommen wobei die Randpunkte auf der reellen Achse und im Unendlichen liegen und fur die radiale SLE das Innere des Einheitskreises wobei die SLE Kurve einen Randpunkt mit dem Ursprung verbindet D displaystyle D nbsp sei zum Beispiel im Fall der chordalen SLE die obere Halbebene einschliesslich des Punkts im Unendlichen H displaystyle mathbb H nbsp wobei g z t displaystyle gamma zeta t nbsp einen Anfangswert fur t 0 displaystyle t 0 nbsp auf der reellen Achse hat dann bildet man H g displaystyle mathbb H backslash gamma nbsp mit einer analytischen eineindeutigen Funktion f t displaystyle f t nbsp konform auf H displaystyle mathbb H nbsp ab die unabhangige Variable t erscheint hier als tiefgestellter Index g displaystyle gamma nbsp heisst SLE Kurve oder auch Spur der SLE g t displaystyle g t nbsp sei die Umkehrfunktion Fur die Evolution der Kurve gilt nach geeigneter Normierung die Lowner Differentialgleichung f t z t d f t z d z 2 z t z displaystyle frac partial f t z partial t frac df t z dz frac 2 zeta t z nbsp g t z t 2 g t z z t displaystyle frac partial g t z partial t frac 2 g t z zeta t nbsp jeweils fur die Funktionen f t g t displaystyle f t g t nbsp Wahlt man fur D displaystyle D nbsp das Innere des Einheitskreises radiale SLE hat man f t z t z d f t z d z z t z z t z displaystyle frac partial f t z partial t z frac df t z dz frac zeta t z zeta t z nbsp g t z t g t z z t g t z z t g t z displaystyle dfrac partial g t z partial t g t z dfrac zeta t g t z zeta t g t z nbsp Dabei besteht durch analytische Fortsetzung der auf D g displaystyle D backslash gamma nbsp definierten Abbildung f t displaystyle f t nbsp bzw ihrer Umkehrabbildung g t displaystyle g t nbsp zwischen z t displaystyle zeta t nbsp und g t displaystyle gamma t nbsp f t z t g t displaystyle f t zeta t gamma t nbsp g t g t z t displaystyle g t gamma t zeta t nbsp Fur z t k B t displaystyle zeta t sqrt kappa B t nbsp wird die eindimensionale Brownsche Bewegung genommen mit einer Diffusionskonstante k displaystyle kappa nbsp Die damit gebildete g t z displaystyle g t z nbsp Losung der Differentialgleichung mit Anfangswert g 0 z z displaystyle g 0 z z nbsp heisst S L E k displaystyle SLE kappa nbsp Spezielle Werte der Diffusionskonstante und Ergebnisse Bearbeitenk 2 displaystyle kappa 2 nbsp Loop Erased Random Walk eingefuhrt durch Greg Lawler diesen Fall behandelte Schramm 2000 in seiner ursprunglichen Arbeit mit dem Beweis durch Lawler Schramm und Werner 2004 5 Eng mit ihm verbunden ist der Uniform Spanning Tree UST ein Zufallsbaum dessen Umrisskurve ist mit S L E 8 displaystyle SLE 8 nbsp verbunden k 8 3 displaystyle kappa frac 8 3 nbsp Randkurven der Cluster bei Brownscher Bewegung und vermutlich Skalierungsgrenzwert des Self Avoiding Random Walk 6 k 3 displaystyle kappa 3 nbsp Randkurven der Cluster im Isingmodell 7 0 k 4 displaystyle 0 leq kappa leq 4 nbsp die Kurve ist einfach sie schneidet sich nicht selbst k 4 displaystyle kappa 4 nbsp Harmonic Explorer 8 4 lt k lt 8 displaystyle 4 lt kappa lt 8 nbsp die Kurve schneidet sich selbst jeder Punkt wird von der Kurve umschlossen aber sie ist nicht raumfullend 9 fur k 8 displaystyle kappa geq 8 nbsp ist die Kurve raumfullend mit Wahrscheinlichkeit 1 k 6 displaystyle kappa 6 nbsp kritische Perkolation auf dem Dreiecksgitter Smirnov 2001 und vermutlich auch auf anderen Gittern Dies ermoglichte die strenge Ableitung kritischer Exponenten bei ebener Perkolation 10 mit alteren Arbeiten von Harry Kesten 11 Die SLE entsprechenden konformen Feldtheorien 12 13 haben zentrale Ladung c mit c 8 3 k k 6 2 k displaystyle c frac 8 3 kappa kappa 6 2 kappa nbsp Fur c lt 1 displaystyle c lt 1 nbsp entspricht das zwei Werten von k displaystyle kappa nbsp ein Wert liegt in 0 k 4 displaystyle 0 leq kappa leq 4 nbsp der andere ist dazu dual 16 k displaystyle frac 16 kappa nbsp und grosser als vier Nach Vincent Beffara 14 ist die Hausdorff Dimension der SLE Kurven gleich dem Minimum von 2 displaystyle 2 nbsp und 1 k 8 displaystyle 1 frac kappa 8 nbsp mit Wahrscheinlichkeit 1 Mit anderen Worten die fraktale Dimension wachst vom Wert 1 displaystyle 1 nbsp einer ebenen Kurve im Fall k 0 displaystyle kappa 0 nbsp keine stochastische Bewegung bis zum Wert 2 displaystyle 2 nbsp ab k 8 displaystyle kappa 8 nbsp dem maximal moglichen Wert in einer Ebene Dimension 2 raumfullende Kurve Mit S L E 6 displaystyle SLE 6 nbsp zeigten Lawler Schramm und Werner 2001 dass die fraktale Dimension des Randes ebener Brownscher Bewegung 4 3 displaystyle frac 4 3 nbsp ist 15 Literatur BearbeitenOriginalarbeiten Oded Schramm Scaling limits of loop erased random walks and uniform spanning trees Israel Journal of Mathematics Band 118 2000 S 221 288 Arxiv Oded Schramm Conformally invariant scaling limits an overview and a collection of problems ICM 2006 Gregory Lawler Oded Schramm Wendelin Werner Values of Brownian intersection exponents Teil 1 3 Acta Math Band 187 2001 S 237 273 275 308 Ann Inst Henri Poincare Statistique Band 38 2002 S 109 123 Teil 1 Arxiv Teil 2 Arxiv Teil 3 Arxiv Lawler Schramm Werner Conformal invariance of planar loop erased random walks and uniform spanning trees Annals of Probability Band 32 2004 S 939 995 Arxiv Schramm Lawler Werner Conformal restriction the chordal case J Am Math Soc Band 16 2003 S 917 955 Arxiv Steffen Rohde Oded Schramm Basic properties of SLE Annals of Mathematics Band 161 2005 S 879 920 Arxiv Stanislav Smirnov Critical percolation in the plane conformal invariance Cardy s formula scaling limits C R Acad Sci Paris Ser Math Band 333 2001 S 239 244 Stanislav Smirnov Conformal Invariance of 2D lattice models ICM 2006 ArxivUbersichtsartikel und Bucher Gregory Lawler Conformally invariant processes in the plane Mathematical Surveys and Monographs 114 AMS 2005 Gregory Lawler Schramm Loewner evolution Park City Lectures 2007 Arxiv Wendelin Werner Random planar curves and Schramm Loewner evolutions in Lectures on probability theory and statistics Lecture Notes in Mathematics 1840 Springer 2004 S 107 19 Arxiv John Cardy SLE for theoretical physicists Annals of Physics Band 318 2005 S 81 118 Arxiv Wouter Kager Bernard Nienhuis A guide to stochastic Loewner evolution and its applications J Stat Phys Band 115 2004 S 1149 1229 Arxiv Vincent Beffara Hugo Duminil Copin Planar percolation with a glimpse at Schramm Loewner La Pietra week in probability 2011 ArxivWeblinks BearbeitenN Berestycki J Norris Lectures on Schramm Loewner Evolution pdf Vincent Beffara Schramm Loewner evolution and other conformally invariant objects Vincent Beffara Raconte moi le SLE Lawler An introduction to stochastic Loewner evolution pdfEinzelnachweise Bearbeiten Schramm Scaling limits of loop erased random walks and uniform spanning trees Israel Journal of Mathematics Band 118 2000 S 221 288 Im Perkolationsmodell bei Uberschreiten eines kritischen Wertes mit der Gitterpunkte besetzt werden Lowner Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises I Mathematische Annalen Band 89 1923 S 103 121 Digitalisat John Cardy Annals of Physics Band 318 2005 Lawler Schramm Werner Conformal invariance of planar loop erased random walks and uniform spanning trees Annals of Probability Band 32 2004 S 939 995 Lawler Schramm Werner On the scaling limit of planar self avoiding walk in Fractal geometry and applications a jubilee of Benoit Mandelbrot Symp Pure Math 72 Part 2 AMS 2004 Arxiv Smirnov Hugo Duminil Copin Hongler Kemppainen Chelkak Convergence of Ising interfaces to Schramm s SLE curves Arxiv 2013 Schramm Scott Sheffield The harmonic explorer and its convergence to SLE 4 Annals of Probability Band 33 2005 2127 2148 Arxiv Rohde Schramm Basic properties of SLE Ann of Math Band 161 2005 S 879 Smirnov Werner Critical exponents for two dimensional percolation Math Res Lett Band 8 2001 S 729 744 Arxiv Kesten Scaling relations for 2D percolation Comm Math Phys Band 109 1987 S 109 156 Michel Bauer Denis Bernard S L E k displaystyle SLE kappa nbsp growth processes and conformal field theories Phys Lett B Band 543 2002 S 135 138 Arxiv Bauer Bernard Conformal field theories of Stochastic Loewner Evolutions Comm Math Phys Band 239 2003 S 493 521 Arxiv Beffara The dimension of the SLE curves Annals of Probability Band 36 2008 S 1421 1452 Arxiv Lawler Schramm Werner The dimension of the planar Brownian frontier is 4 3 Mathematical Research Letters Band 8 2001 S 401 411 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schramm Lowner Evolution amp oldid 230836538