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Selbstmeidender Pfad In der mathematischen Theorie der Irrfahrten sind selbstmeidende Pfade Wege auf einem Gitter die ni

Selbstmeidender Pfad

In der mathematischen Theorie der Irrfahrten sind selbstmeidende Pfade Wege auf einem Gitter, die nie zu einem bereits zuvor besuchten Punkt zurückkehren.

Dieser Pfad kehrt nie zu einem bereits besuchten Punkt zurück.

Selbstmeidende Pfade sind das einfachste mathematische Modell für die Anordnung langer Polymerketten.

Die Berechnung selbstmeidender Pfade ist ein zentrales Thema der Perkolationstheorie. Es gibt zahlreiche durch empirische Untersuchungen und Heuristiken gestützte Vermutungen über das Verhalten selbstmeidender Pfade. Mathematisch bewiesen ist von diesen Vermutungen aber nur wenig, gerade auch in den für Anwendungen interessanten niedrigen Dimensionen .

Definition Bearbeiten

Quadratgitter
Hexagonalgitter

Es sei ein Gitter im -dimensionalen Raum, zum Beispiel oder das Hexagonalgitter in der Ebene.

Ein selbstmeidender Pfad im Gitter ist ein Pfad (Weg), der jeden Gitterpunkt höchstens einmal besucht.

Anzahl selbstmeidender Pfade Bearbeiten

Zu einem gegebenen Gitter sei die Anzahl selbstmeidender Pfade der Länge . Die Folge ist subadditiv und demzufolge existiert der Grenzwert

Er wird als die Zusammenhangskonstante (englisch: connective constant) des Gitters bezeichnet.

Das einzige Gitter, für das die Zusammenhangskonstante explizit bekannt ist, ist das Hexagonalgitter. Für dieses haben Duminil-Copin und Smirnow bewiesen, dass

ist.

Für das Gitter gilt die Ungleichung

Für , also für das Quadratgitter , kann man numerisch berechnen.

Numerische Experimente stützen die Vermutung, dass für alle Gitter asymptotisch gilt, was bedeuten würde, dass im Gegensatz zum exponentiellen Faktor der subexponentielle Faktor für alle Gitter derselbe wäre.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • N. Madras, G. Slade: The Self-Avoiding Walk. Birkhäuser, 1996, ISBN 0-8176-3891-1.
  • G. F. Lawler: Intersections of Random Walks. Birkhäuser, 1991, ISBN 0-8176-3892-X.
  • N. Madras, A. D. Sokal: The pivot algorithm – A highly efficient Monte-Carlo method for the self-avoiding walk. In: Journal of Statistical Physics. Band 50, 1988, S. 109–186. doi:10.1007/bf01022990.
  • M. E. Fisher: Shape of a self-avoiding walk or polymer chain. In: Journal of Chemical Physics. Band 44, Nr. 2, 1966, S. 616. bibcode:1966JChPh..44..616F. doi:10.1063/1.1726734.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hugo Duminil-Copin, Stanislav Smirnov: The connective constant of the honeycomb lattice equals . In: Ann. of Math. Band 175, Nr. 3, 2012, S. 1653–1665.
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Veröffentlichungsdatum:
In der mathematischen Theorie der Irrfahrten sind selbstmeidende Pfade Wege auf einem Gitter die nie zu einem bereits zuvor besuchten Punkt zuruckkehren Dieser Pfad kehrt nie zu einem bereits besuchten Punkt zuruck Selbstmeidende Pfade sind das einfachste mathematische Modell fur die Anordnung langer Polymerketten Die Berechnung selbstmeidender Pfade ist ein zentrales Thema der Perkolationstheorie Es gibt zahlreiche durch empirische Untersuchungen und Heuristiken gestutzte Vermutungen uber das Verhalten selbstmeidender Pfade Mathematisch bewiesen ist von diesen Vermutungen aber nur wenig gerade auch in den fur Anwendungen interessanten niedrigen Dimensionen 2 d 4 displaystyle 2 leq d leq 4 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anzahl selbstmeidender Pfade 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Quadratgitter Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp nbsp HexagonalgitterEs sei L R d displaystyle Lambda subset mathbb R d nbsp ein Gitter im d displaystyle d nbsp dimensionalen Raum zum Beispiel Z d R d displaystyle mathbb Z d subset mathbb R d nbsp oder das Hexagonalgitter in der Ebene Ein selbstmeidender Pfad im Gitter L displaystyle Lambda nbsp ist ein Pfad Weg der jeden Gitterpunkt hochstens einmal besucht Anzahl selbstmeidender Pfade BearbeitenZu einem gegebenen Gitter L displaystyle Lambda nbsp sei c n displaystyle c n nbsp die Anzahl selbstmeidender Pfade der Lange n displaystyle n nbsp Die Folge c n displaystyle c n nbsp ist subadditiv und demzufolge existiert der Grenzwert m lim n c n 1 n displaystyle mu lim n to infty c n frac 1 n nbsp Er wird als die Zusammenhangskonstante englisch connective constant des Gitters bezeichnet Das einzige Gitter fur das die Zusammenhangskonstante explizit bekannt ist ist das Hexagonalgitter Fur dieses haben Duminil Copin und Smirnow bewiesen dass m 2 cos p 8 2 2 displaystyle mu 2 cos left frac pi 8 right sqrt 2 sqrt 2 nbsp ist 1 Fur das Gitter Z d R d displaystyle mathbb Z d subset mathbb R d nbsp gilt die Ungleichung d m 2 d 1 displaystyle d leq mu leq 2d 1 nbsp Fur d 2 displaystyle d 2 nbsp also fur das Quadratgitter Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp kann man numerisch m 2 638 15853 displaystyle mu 2 63815853 ldots nbsp berechnen Numerische Experimente stutzen die Vermutung dass fur alle Gitter asymptotisch c n n 11 32 m n displaystyle c n sim n frac 11 32 mu n nbsp gilt was bedeuten wurde dass im Gegensatz zum exponentiellen Faktor m n displaystyle mu n nbsp der subexponentielle Faktor n 11 32 displaystyle n frac 11 32 nbsp fur alle Gitter derselbe ware Siehe auch BearbeitenSpringerproblem Hamiltonkreisproblem SnakeLiteratur BearbeitenN Madras G Slade The Self Avoiding Walk Birkhauser 1996 ISBN 0 8176 3891 1 G F Lawler Intersections of Random Walks Birkhauser 1991 ISBN 0 8176 3892 X N Madras A D Sokal The pivot algorithm A highly efficient Monte Carlo method for the self avoiding walk In Journal of Statistical Physics Band 50 1988 S 109 186 doi 10 1007 bf01022990 M E Fisher Shape of a self avoiding walk or polymer chain In Journal of Chemical Physics Band 44 Nr 2 1966 S 616 bibcode 1966JChPh 44 616F doi 10 1063 1 1726734 Weblinks BearbeitenSelf Avoiding Walk MathWorld Gordon Slade Self avoiding walk A brief survey PDF 470 kB Einzelnachweise Bearbeiten Hugo Duminil Copin Stanislav Smirnov The connective constant of the honeycomb lattice equals 2 2 displaystyle sqrt 2 sqrt 2 nbsp In Ann of Math Band 175 Nr 3 2012 S 1653 1665 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Selbstmeidender Pfad amp oldid 236711829