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Satz von der majorisierten Konvergenz Der auch Satz von der majorisierenden Konvergenz Satz von der dominierten Konverge

Satz von der majorisierten Konvergenz

Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz, Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.

Der Satz liefert ein Entscheidungskriterium für die Vertauschbarkeit von Integral- und Grenzwertbildung.

Die formale Aussage des Satzes Bearbeiten

Sei ein Maßraum und sei eine Folge von -messbaren Funktionen .

Die Folge konvergiere -fast überall gegen eine -messbare Funktion . Ferner werde die Folge von einer -integrierbaren Funktion auf majorisiert, sprich für alle gelte -fast überall. Beachte, dass bei der hier verwendeten Definition von Integrierbarkeit der Wert ausgeschlossen ist, das heißt .

Dann sind und alle -integrierbar und es gilt:

Dies impliziert auch, dass

gilt.

Bemerkung zu den Voraussetzungen Bearbeiten

  • Auf die Voraussetzung der Majorisierbarkeit kann nicht verzichtet werden. Als Beispiel dient die Folge , definiert durch , wobei die Indikatorfunktion auf bezeichne. Es gilt überall, aber dennoch ist
  • Auf die Voraussetzung, dass die Funktion messbar ist, kann man verzichten, wenn stattdessen bekannt ist, dass ein vollständiger Maßraum ist, weil dann die Funktion automatisch messbar ist. Ebenso folgt die Messbarkeit von , falls bekannt ist, dass die Folge überall, und nicht nur fast überall gegen konvergiert.

Majorisierte Konvergenz in Lp-Räumen (Folgerung) Bearbeiten

Sei ein Maßraum, und sei eine Folge von -messbaren Funktionen .

Weiter konvergiere die Folge -fast überall gegen eine -messbare Funktion , und die Folge werde von einer Funktion majorisiert, d. h., für alle gilt -fast überall.

Dann gilt für alle und auch sowie: Die Folge konvergiert im p-ten Mittel gegen , d. h.

Beweisskizze: Anwendung des Originalsatzes auf die Funktionenfolge mit der Majorante .

Majorisierte Konvergenz für Zufallsvariablen Bearbeiten

Da Zufallsvariablen auch nichts anderes als messbare Funktionen auf besonderen Maßräumen, nämlich den Wahrscheinlichkeitsräumen sind, lässt sich der Satz über die majorisierte Konvergenz auch auf Zufallsvariable anwenden. Hier lassen sich sogar die Voraussetzungen an die Folge abschwächen: Es genügt, dass die Folge in Wahrscheinlichkeit konvergiert anstelle der stärkeren Forderung der punktweisen Konvergenz fast überall:

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, eine reelle Zahl und sei eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen.

Weiter konvergiere die Folge in Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable und die Folge werde von einer Zufallsvariablen majorisiert, d. h. für alle gilt -fast überall.

Dann sind alle und auch in und es gilt: Die Folge konvergiert gegen im Sinne von und .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Satz von Pratt Bearbeiten

Aus dem Satz von Pratt lässt sich eine Verallgemeinerung des Satzes von der majorisierten Konvergenz herleiten, die auf der Basis der Konvergenz lokal nach Maß aufbaut. Der Satz von Pratt ist eine maßtheoretische Variante des Einschnürungssatzes, setzt man alle einschnürenden Funktionen als eine integrierbare Majorante, so erhält man die angesprochene Verallgemeinerung.

Konvergenzsatz von Vitali Bearbeiten

Der Konvergenzsatz von Vitali liefert eine Äquivalenz zwischen der Konvergenz lokal nach Maß, der gleichgradigen Integrierbarkeit und der Konvergenz im p-ten Mittel. Da aber jede punktweise fast überall konvergente Funktionenfolge auch lokal nach Maß konvergent ist, und die Existenz einer integrierbaren Majorante ein hinreichendes Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit einer Funktionenfolge liefert, ist der Satz der majorisierten Konvergenz sehr ähnlich. Ein Unterschied ist jedoch, dass die Integrierbarkeit der Funktionenfolge gefordert wird.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence, RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von der majorisierten Konvergenz auch Satz von der majorisierenden Konvergenz Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Mass und Integrationstheorie und geht auf den franzosischen Mathematiker Henri Leon Lebesgue zuruck Der Satz liefert ein Entscheidungskriterium fur die Vertauschbarkeit von Integral und Grenzwertbildung Inhaltsverzeichnis 1 Die formale Aussage des Satzes 2 Bemerkung zu den Voraussetzungen 3 Majorisierte Konvergenz in Lp Raumen Folgerung 4 Majorisierte Konvergenz fur Zufallsvariablen 5 Verallgemeinerungen 5 1 Satz von Pratt 5 2 Konvergenzsatz von Vitali 6 Siehe auch 7 LiteraturDie formale Aussage des Satzes BearbeitenSei W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp ein Massraum und sei f n displaystyle left f n right nbsp eine Folge von A displaystyle mathcal A nbsp messbaren Funktionen f n W R displaystyle f n colon Omega to mathbb R cup infty nbsp Die Folge f n displaystyle left f n right nbsp konvergiere m displaystyle mu nbsp fast uberall gegen eine A displaystyle mathcal A nbsp messbare Funktion f displaystyle f nbsp Ferner werde die Folge f n displaystyle left f n right nbsp von einer m displaystyle mu nbsp integrierbaren Funktion g displaystyle g nbsp auf W displaystyle Omega nbsp majorisiert sprich fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gelte f n g displaystyle f n leq g nbsp m displaystyle mu nbsp fast uberall Beachte dass bei der hier verwendeten Definition von Integrierbarkeit der Wert displaystyle infty nbsp ausgeschlossen ist das heisst W g d m lt displaystyle textstyle int Omega g d mu lt infty nbsp Dann sind f displaystyle f nbsp und alle f n m displaystyle f n mu nbsp integrierbar und es gilt lim n W f n f d m 0 displaystyle lim n rightarrow infty int Omega f n f d mu 0 nbsp Dies impliziert auch dass lim n W f n d m W f d m displaystyle lim n rightarrow infty int Omega f n d mu int Omega f d mu nbsp gilt Bemerkung zu den Voraussetzungen BearbeitenAuf die Voraussetzung der Majorisierbarkeit f n g displaystyle f n leq g nbsp kann nicht verzichtet werden Als Beispiel dient die Folge q n n N displaystyle q n n in mathbb N nbsp definiert durch q n R R q n n x 0 1 n displaystyle q n colon mathbb R rightarrow mathbb R q n n chi 0 tfrac 1 n nbsp wobei x 0 1 n displaystyle chi 0 tfrac 1 n nbsp die Indikatorfunktion auf 0 1 n displaystyle 0 tfrac 1 n nbsp bezeichne Es gilt lim n q n 0 displaystyle textstyle lim n to infty q n 0 nbsp uberall aber dennoch istlim n R q n d l lim n 1 1 0 R 0 d l R lim n q n d l displaystyle lim n to infty int mathbb R q n d lambda lim n to infty 1 1 neq 0 int mathbb R 0 d lambda int mathbb R lim n to infty q n d lambda nbsp dd Auf die Voraussetzung dass die Funktion f displaystyle f nbsp messbar ist kann man verzichten wenn stattdessen bekannt ist dass W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp ein vollstandiger Massraum ist weil dann die Funktion f displaystyle f nbsp automatisch messbar ist Ebenso folgt die Messbarkeit von f displaystyle f nbsp falls bekannt ist dass die Folge uberall und nicht nur fast uberall gegen f displaystyle f nbsp konvergiert Majorisierte Konvergenz in Lp Raumen Folgerung BearbeitenSei W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp ein Massraum 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp und sei f n displaystyle left f n right nbsp eine Folge von A displaystyle mathcal A nbsp messbaren Funktionen f n W R displaystyle f n Omega to mathbb R cup infty nbsp Weiter konvergiere die Folge f n displaystyle left f n right nbsp m displaystyle mu nbsp fast uberall gegen eine A displaystyle mathcal A nbsp messbare Funktion f displaystyle f nbsp und die Folge f n displaystyle left f n right nbsp werde von einer Funktion g L p W A m displaystyle g in L p Omega mathcal A mu nbsp majorisiert d h fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt f n g displaystyle f n leq g nbsp m displaystyle mu nbsp fast uberall Dann gilt f n L p W A m displaystyle f n in L p Omega mathcal A mu nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp und auch f L p W A m displaystyle f in L p Omega mathcal A mu nbsp sowie Die Folge f n displaystyle left f n right nbsp konvergiert im p ten Mittel gegen f displaystyle f nbsp d h lim n f n f p lim n W f n f p d m 1 p 0 displaystyle lim n rightarrow infty f n f p lim n rightarrow infty left int Omega f n f p d mu right 1 p 0 nbsp Beweisskizze Anwendung des Originalsatzes auf die Funktionenfolge h n f n f p displaystyle h n f n f p nbsp mit der Majorante 2 g p displaystyle 2g p nbsp Majorisierte Konvergenz fur Zufallsvariablen BearbeitenDa Zufallsvariablen auch nichts anderes als messbare Funktionen auf besonderen Massraumen namlich den Wahrscheinlichkeitsraumen sind lasst sich der Satz uber die majorisierte Konvergenz auch auf Zufallsvariable anwenden Hier lassen sich sogar die Voraussetzungen an die Folge abschwachen Es genugt dass die Folge in Wahrscheinlichkeit konvergiert anstelle der starkeren Forderung der punktweisen Konvergenz fast uberall Sei W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum p 1 displaystyle p geq 1 nbsp eine reelle Zahl und sei X n displaystyle left X n right nbsp eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen Weiter konvergiere die Folge X n displaystyle left X n right nbsp in Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable X displaystyle X nbsp und die Folge X n displaystyle left X n right nbsp werde von einer Zufallsvariablen Y L p displaystyle Y in L p nbsp majorisiert d h fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt X n Y displaystyle X n leq Y nbsp P displaystyle P nbsp fast uberall Dann sind alle X n displaystyle X n nbsp und auch X displaystyle X nbsp in L p displaystyle L p nbsp und es gilt Die Folge X n displaystyle left X n right nbsp konvergiert gegen X displaystyle X nbsp im Sinne von L p displaystyle L p nbsp und lim n E X n E X displaystyle lim n rightarrow infty operatorname E left X n right operatorname E left X right nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenSatz von Pratt Bearbeiten Aus dem Satz von Pratt lasst sich eine Verallgemeinerung des Satzes von der majorisierten Konvergenz herleiten die auf der Basis der Konvergenz lokal nach Mass aufbaut Der Satz von Pratt ist eine masstheoretische Variante des Einschnurungssatzes setzt man alle einschnurenden Funktionen als eine integrierbare Majorante so erhalt man die angesprochene Verallgemeinerung Konvergenzsatz von Vitali Bearbeiten Der Konvergenzsatz von Vitali liefert eine Aquivalenz zwischen der Konvergenz lokal nach Mass der gleichgradigen Integrierbarkeit und der Konvergenz im p ten Mittel Da aber jede punktweise fast uberall konvergente Funktionenfolge auch lokal nach Mass konvergent ist und die Existenz einer integrierbaren Majorante ein hinreichendes Kriterium fur die gleichgradige Integrierbarkeit einer Funktionenfolge liefert ist der Satz der majorisierten Konvergenz sehr ahnlich Ein Unterschied ist jedoch dass die Integrierbarkeit der Funktionenfolge gefordert wird Siehe auch BearbeitenSatz von der monotonen Konvergenz Lemma von FatouLiteratur BearbeitenElliott H Lieb Michael Loss Analysis Graduate Studies in Mathematics Bd 14 2nd Edition American Mathematical Society Providence RI 2001 ISBN 0 8218 2783 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von der majorisierten Konvergenz amp oldid 207483804