Der Einschnürungssatz, Einschließungssatz, Dreifolgensatz oder Sandwichsatz (u. a.: Schachtelungssatz, Quetschlemma resp. Satz von den zwei Polizisten, Sandwichlemma; englisch sandwich theorem) ist in der Analysis ein Satz über den Grenzwert einer Funktion. Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebende Funktionen „eingezwängt“ wird, auch gegen diesen Wert.
Der Einschnürungssatz wird typischerweise dazu verwendet, einen Grenzwert einer Funktion nachzuweisen, indem man die Funktion mit zwei anderen vergleicht, deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind. Er wurde geometrisch schon von den Mathematikern Archimedes und Eudoxos verwendet, um die Kreiszahl π zu berechnen. Die moderne Formulierung des Satzes stammt ursprünglich von Carl Friedrich Gauß.
Der Satz gilt insbesondere auch für Grenzwerte von Folgen: eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebende Folgen beschränkt wird, konvergiert ebenfalls gegen diesen Wert.
Einschließungsregel für Folgen Bearbeiten
Seien und zwei reelle Folgen mit , und für fast alle (alle bis auf endlich viele) . Ist eine weitere Folge mit für fast alle , so konvergiert , und zwar ebenfalls gegen .
Beispiel Bearbeiten
Sei
eine Folge. Da für ist der Nenner immer größer als . Daher gilt
Da sowohl als auch gegen konvergieren, folgt aus der Einschließungsregel, dass ebenfalls gegen konvergiert.
Einschnürungssatz für Funktionen Bearbeiten
Es sei ein Intervall, das einen Wert enthält. Es seien , und auf definierte Funktionen. Wenn für jedes aus gilt
sowie
dann ist .
muss nicht inmitten von liegen. Ist Randpunkt von , so handelt es sich bei obigen Grenzwerten um links- bzw. rechtsseitige. Ähnliches gilt auch für unendliche Intervalle: Ist beispielsweise , so gilt der Satz auch für die Grenzwertuntersuchung .
Zum Beweis folgt aus den Annahmen direkt
so dass die Ungleichungen tatsächlich Gleichungen sind und daher auch gegen strebt.
Beispiele und Anwendungen Bearbeiten
Die folgenden Beispiele zeigen, wie der Satz praktisch angewendet wird.
Beispiel 1 Bearbeiten
Man betrachte , das auf ganz außer für definiert ist. Den Grenzwert für auf konventionelle Art zu berechnen fällt schwer: Eine direkte Substitution schlägt fehl, weil die Funktion bei nicht definiert ist (geschweige denn stetig), und die Regel von de L’Hospital kann auch nicht angewendet werden, da überall oszilliert und keinen Grenzwert hat. Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lässt sich jedoch der Einschnürungssatz anwenden.
Da die Sinusfunktion betragsmäßig durch 1 begrenzt ist, ist betragsmäßig eine passende Schranke für . In anderen Worten gilt mit und :
und sind Polynomfunktionen und deshalb stetig, daher gilt
Aus dem Einschnürungssatz folgt nun
Beispiel 2 Bearbeiten
Das obige Beispiel ist eine spezielle Anwendung eines häufig auftretenden allgemeinen Falles. Angenommen, wir wollen zeigen, dass gilt:
Es ist dann ausreichend, eine Funktion zu finden, die auf einem enthaltenden Intervall definiert ist (außer möglicherweise bei ), für die gilt
und außerdem für alle aus gilt
In Worten gesprochen heißt das, dass der Fehler zwischen und beliebig klein gemacht werden kann, wählt man nahe genug an . Diese Bedingungen sind ausreichend, da die Betragsfunktion überall nicht negativ ist, so dass wir
wählen können und den Einschnürungssatz anwenden können. Da nun
gilt auch und damit
Beispiel 3 Bearbeiten
Durch elementargeometrische Überlegungen am Einheitskreis (siehe Zeichnung rechts) lässt sich zeigen, dass
Wegen
folgt mit dem Einschnürungssatz
Dieser Grenzwert ist bei der Bestimmung der Ableitungsfunktion des Sinus behilflich.
Beweis Bearbeiten
Die Hauptidee dieses Beweises ist es, die relativen Unterschiede der Funktionen , und zu betrachten. Dies hat den Effekt, dass die untere Schrankenfunktion konstant null ist, was den Beweis im Detail deutlich einfacher macht. Der allgemeine Fall wird dann auf algebraischem Wege bewiesen. Im Spezialfall und gilt
Sei ein fester Wert. Gemäß der Definition des Grenzwerts einer Funktion existiert nun ein , sodass
Für alle aus gilt gemäß Annahme
also gilt
Daraus schließt man, dass
Damit ist bewiesen, dass
Für beliebige und gilt nun für jedes aus
Nun subtrahiert man von jedem Ausdruck:
Da für sowohl als auch gegen streben gilt
Mit dem oben bewiesenen Spezialfall folgt
und daraus dann
Verallgemeinerungen Bearbeiten
Eine maßtheoretische Verallgemeinerung ist der Satz von Pratt, bei dem durch die Einschnürung mittels lokal nach Maß konvergenten Funktionenfolgen auf die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und Integration der eingeschnürten Funktionenfolge sowie auf die Integrierbarkeit der Grenzfunktion geschlossen werden kann.
Literatur Bearbeiten
- Wolfgang Walter: Analysis 1. Springer, 5-te Auflage, 2013, ISBN 9783662056981, S. 63, 119
Weblinks Bearbeiten
- C. Sean Bohun: The Squeeze Theorem. 9. Februar 2013, abgerufen am 6. April 2013 (englisch, PDF).
- Joseph M. Ling: (PDF; 96 kB) 2. Oktober 2001, archiviert vom 20. September 2008; abgerufen am 9. Februar 2013 (englisch). am
Einzelnachweise Bearbeiten
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Mathematische Leitfäden. 17. Auflage. Teil 1. Vieweg+Teubner (Springer), Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 152 (Auszug).
- Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, ISBN 9783322986283, S. 80-81. Siehe auch Salman Khan : Proof: limit of (sin x)/x at x=0 (Video, Khan Academy (englisch))