www.wikidata.de-de.nina.az

Satz von Kakutani Yamabe Yujobô Der ist ein mathematischer Lehrsatz über die Topologie der Einheitssphäre im euklidische

Satz von Kakutani-Yamabe-Yujobô

Der Satz von Kakutani-Yamabe-Yujobô ist ein mathematischer Lehrsatz über die Topologie der Einheitssphäre im euklidischen Raum, welcher auf die Mathematiker Shizuo Kakutani, Hidehiko Yamabe und Zuiman Yujobô zurückgeht und der mit dem Satz von Borsuk-Ulam verwandt ist. Kakutani hat den Satz in seiner ursprünglichen Fassung für die Einheitssphäre im dreidimensionalen euklidischen Raum gezeigt und konnte damit eine offene Vermutung von Hans Rademacher (1892–1969) über den Einschluss kompakter konvexer Körper durch Würfel bestätigen. Der Satz wurde später von Yamabe und Yujobô auf den mehrdimensionalen Fall ausgedehnt.

Der Satz von Kakutani-Yamabe-Yujobô ist auch eng verwandt mit einem Resultat von Freeman Dyson und Chung-Tao Yang. Wie Yang im Jahre 1954 zeigte, lassen sich all diese Sätze mittels einheitlicher homologietheoretischer Methoden beweisen.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Der Beweis des Satzes lässt sich im Rahmen der Homologietheorie nach Eduard Čech und Paul A. Smith führen.

Für den Fall lässt sich dieses Resultat auch so beschreiben:

Folgerung: Die Vermutung von Hans Rademacher Bearbeiten

Die Richtigkeit der „Vermutung von Hans Rademacher“ ergibt sich aus folgendem Korollar zum „Satz von Kakutani-Yamabe-Yujobô“:

Daraus folgt für die Dimensionszahl der von Rademacher vermutete Satz:

Herleitung der Folgerung (Beweisskizze) Bearbeiten

Man betrachtet als fest vorgegeben und dann zu jedem Punkt alle Hyperebenen, die orthogonal zu dem zugehörigen Radiusvektor verlaufen.

Unter ihnen findet man zwei parallel zueinander liegende Hyperebenen und , die jeweils berühren und dabei den Rand eines abgeschlossenen Raumsegments, bilden, welches so umfasst, dass der euklidische Abstand beider Hyperebenen der kleinstmögliche (unter allen möglichen Abständen zweier so beschaffener Hyperebenen) ist.

Dieser Abstand ist ein nicht-negativer reeller Wert und ist zu verstehen als Breite des von und berandeten Raumsegments, damit also als Breite von in Richtung . Wird dieser Wert mit bezeichnet, so ist dadurch eine stetige reelle Funktion auf der gegeben.

Für diese stetige Funktion wendet man nun den „Satz von Kakutani-Yamabe-Yujobô“ an. Er besagt in der gegebenen Situation, dass abgeschlossenen Raumsegmente identischer Breite existieren, welche alle umfassen und deren zugehörige Radiusvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen. Dies aber bedeutet, dass die Schnittmenge dieser Raumsegmente einen -dimensionalen Würfel bildet. Da alle diese Raumsegmente umfassen, ist dies der gesuchte Würfel.

Verwandtes Resultat: Satz von Dyson-Yang Bearbeiten

Der „Satz von Dyson-Yang“ macht folgende Aussage:

Setzt man hier die Dimensionszahl , so führt dies zum ursprünglichen „Satz von Dyson“:

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten

  • F. J. Dyson: Continuous functions defined on spheres. In: Ann. Math. Band 54, 1942, S. 534–536, JSTOR:1969487 (MR0044620).
  • Shizuo Kakutani: A proof that there exists a circumscribing cube around any bounded closed convex set in R3. In: Ann. Math. Band 43, 1942, S. 739–741, JSTOR:1968964 (MR0007267).
  • Hidehiko Yamabe and Zuiman Yujobô: On the continuous function defined on a sphere. In: Osaka Math. J. Band 2, 1950, S. 19–22 (projecteuclid.org [PDF; 465 kB]). MR0037006
  • Chung-Tao Yang: On theorems of Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobô and Dyson, I. In: Ann. Math. Band 60, 1954, S. 262–282, JSTOR:1969632 (MR0065910).

Monographien

  • Max K. Agoston: Algebraic Topology: A First Course (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 32). Marcel Dekker, New York [u. a.] 1976, ISBN 0-8247-6351-3 (MR0445485).
  • Arlo W. Schurle: Topics in Topology (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 32). North Holland, New York-Oxford 1979, ISBN 0-444-00285-5 (MR0542116).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Yang: Ann. Math. Band 60, S. 262 ff.
  2. ↑ Agoston: S. 245.
  3. Yang: Ann. Math. Band 60, S. 262.
  4. Yang: Ann. Math. Band 60, S. 263 ff.
  5. Vgl. Schurle: S. 164 ff.; gemäß Schurle ist dies der „Satz von Kakutani“
  6. Agoston: S. 246.
  7. Im englischsprachigen Raum wird auch dieses Resultat manchmal als „Satz von Kakutani“ angegeben, wie etwa hier.
  8. Die Voraussetzung der Konvexität erweist sich als nicht notwendig.
  9. Im Fall der euklidischen Ebene sind die Hyperebenen die Geraden und ein abgeschlossenes Raumsegment der beschriebenen Art ist ein unendlicher ebener Streifen.
  10. Dyson: Ann. Math. Band 54, S. 534 ff.
  11. Yang: Ann. Math. Band 60, S. 282.
  12. Ein Diameter ist demnach die Verbindungsstrecke zweier gegenüberliegender Sphärenpunkte. Man bezeichnet die beiden Punkte auch als Antipoden. Für eine Kreislinie in der euklidischen Ebene ist ein Diameter also eine Sehne maximaler Länge.
  13. Dyson: Ann. Math. Band 54, S. 534 ff.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Kakutani Yamabe Yujobo ist ein mathematischer Lehrsatz uber die Topologie der Einheitssphare im euklidischen Raum welcher auf die Mathematiker Shizuo Kakutani Hidehiko Yamabe und Zuiman Yujobo zuruckgeht und der mit dem Satz von Borsuk Ulam verwandt ist Kakutani hat den Satz in seiner ursprunglichen Fassung fur die Einheitssphare im dreidimensionalen euklidischen Raum gezeigt und konnte damit eine offene Vermutung von Hans Rademacher 1892 1969 uber den Einschluss kompakter konvexer Korper durch Wurfel bestatigen Der Satz wurde spater von Yamabe und Yujobo auf den mehrdimensionalen Fall ausgedehnt Der Satz von Kakutani Yamabe Yujobo ist auch eng verwandt mit einem Resultat von Freeman Dyson und Chung Tao Yang Wie Yang im Jahre 1954 zeigte lassen sich all diese Satze mittels einheitlicher homologietheoretischer Methoden beweisen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Folgerung Die Vermutung von Hans Rademacher 2 1 Herleitung der Folgerung Beweisskizze 3 Verwandtes Resultat Satz von Dyson Yang 4 Literatur 5 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich formulieren wie folgt 2 3 Gegeben seien eine beliebige Dimensionszahl N N displaystyle N in mathbb N nbsp und eine stetige Funktion f S N 1 R displaystyle f colon S N 1 to mathbb R nbsp welche jedem Punkt P displaystyle P nbsp der N 1 displaystyle N 1 nbsp Sphare S N 1 R N displaystyle S N 1 subset mathbb R N nbsp eine reelle Zahl f P displaystyle f P nbsp zuordne Dann gibt es stets N displaystyle N nbsp Punkte P 1 P N S N 1 displaystyle P 1 dots P N in S N 1 nbsp mit gleichem f displaystyle f nbsp Wert f P 1 f P N displaystyle f P 1 dots f P N nbsp derart dass die zugehorigen Radiusvektoren O P 1 O P N displaystyle overrightarrow O P 1 dots overrightarrow O P N nbsp paarweise im rechten Winkel zueinander stehen Der Beweis des Satzes lasst sich im Rahmen der Homologietheorie nach Eduard Cech und Paul A Smith fuhren 4 Fur den Fall N 3 displaystyle N 3 nbsp lasst sich dieses Resultat auch so beschreiben 5 Ist im dreidimensionalen euklidischen Raum auf der Kugeloberflache der Einheitskugel eine stetige reelle Funktion gegeben so enthalt die Kugeloberflache stets ein gleichseitiges Kugeldreieck der Seitenlange p 2 displaystyle pi 2 nbsp dessen Ecken alle denselben Funktionswert haben Folgerung Die Vermutung von Hans Rademacher BearbeitenDie Richtigkeit der Vermutung von Hans Rademacher ergibt sich aus folgendem Korollar zum Satz von Kakutani Yamabe Yujobo 6 Eine nicht leere kompakte Menge K displaystyle mathcal K nbsp im N displaystyle N nbsp dimensionalen euklidischen Raum ist stets in einem N dimensionalen Wurfel W displaystyle mathcal W nbsp so enthalten dass jede N 1 displaystyle N 1 nbsp dimensionale Seite von W displaystyle mathcal W nbsp mindestens einen Beruhrpunkt mit K displaystyle mathcal K nbsp gemeinsam hat Daraus folgt fur die Dimensionszahl N 3 displaystyle N 3 nbsp der von Rademacher vermutete Satz 7 Jede nicht leere kompakte konvexe Teilmenge des dreidimensionalen euklidischen Raums lasst sich von einem Wurfel derart einschliessen dass sie mit jeder Wurfelflache einen gemeinsamen Beruhrpunkt hat 8 Herleitung der Folgerung Beweisskizze Bearbeiten Man betrachtet K displaystyle mathcal K neq emptyset nbsp als fest vorgegeben und dann zu jedem Punkt P S N 1 displaystyle P in S N 1 nbsp alle Hyperebenen die orthogonal zu dem zugehorigen Radiusvektor O P displaystyle overrightarrow O P nbsp verlaufen Unter ihnen findet man zwei parallel zueinander liegende Hyperebenen H 1 displaystyle mathcal H 1 nbsp und H 2 displaystyle mathcal H 2 nbsp die K displaystyle mathcal K nbsp jeweils beruhren und dabei den Rand eines abgeschlossenen Raumsegments 9 bilden welches K displaystyle mathcal K nbsp so umfasst dass der euklidische Abstand beider Hyperebenen der kleinstmogliche unter allen moglichen Abstanden zweier so beschaffener Hyperebenen ist Dieser Abstand ist ein nicht negativer reeller Wert und ist zu verstehen als Breite des von H 1 displaystyle mathcal H 1 nbsp und H 2 displaystyle mathcal H 2 nbsp berandeten Raumsegments damit also als Breite von K displaystyle mathcal K nbsp in Richtung O P displaystyle overrightarrow O P nbsp Wird dieser Wert mit d P displaystyle d P nbsp bezeichnet so ist dadurch eine stetige reelle Funktion P d P displaystyle P mapsto d P nbsp auf der S N 1 displaystyle S N 1 nbsp gegeben Fur diese stetige Funktion wendet man nun den Satz von Kakutani Yamabe Yujobo an Er besagt in der gegebenen Situation dass N displaystyle N nbsp abgeschlossenen Raumsegmente identischer Breite existieren welche alle K displaystyle mathcal K nbsp umfassen und deren zugehorige Radiusvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen Dies aber bedeutet dass die Schnittmenge dieser N displaystyle N nbsp Raumsegmente einen N displaystyle N nbsp dimensionalen Wurfel bildet Da alle diese Raumsegmente K displaystyle mathcal K nbsp umfassen ist dies der gesuchte Wurfel Verwandtes Resultat Satz von Dyson Yang BearbeitenDer Satz von Dyson Yang macht folgende Aussage 2 10 11 Zu einer stetigen reellen Funktion auf der n displaystyle n nbsp Sphare S n R n 1 displaystyle S n subset mathbb R n 1 nbsp n N displaystyle n in mathbb N nbsp existieren stets n displaystyle n nbsp Diameter 12 welche paarweise im rechten Winkel zueinander stehen und deren 2 n displaystyle 2n nbsp Endpunkte alle denselben Funktionswert annehmen Setzt man hier die Dimensionszahl n 2 displaystyle n 2 nbsp so fuhrt dies zum ursprunglichen Satz von Dyson 13 Ist im dreidimensionalen euklidischen Raum auf einer 2 Sphare eine stetige reelle Funktion gegeben so enthalt die 2 Sphare stets vier Punkte welche ein Quadrat auf einem Grosskreis dieser 2 Sphare bilden und welche alle denselben Funktionswert annehmen Literatur BearbeitenOriginalarbeiten F J Dyson Continuous functions defined on spheres In Ann Math Band 54 1942 S 534 536 JSTOR 1969487 MR0044620 Shizuo Kakutani A proof that there exists a circumscribing cube around any bounded closed convex set in R3 In Ann Math Band 43 1942 S 739 741 JSTOR 1968964 MR0007267 Hidehiko Yamabe and Zuiman Yujobo On the continuous function defined on a sphere In Osaka Math J Band 2 1950 S 19 22 projecteuclid org PDF 465 kB MR0037006 Chung Tao Yang On theorems of Borsuk Ulam Kakutani Yamabe Yujobo and Dyson I In Ann Math Band 60 1954 S 262 282 JSTOR 1969632 MR0065910 Monographien Max K Agoston Algebraic Topology A First Course Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics Band 32 Marcel Dekker New York u a 1976 ISBN 0 8247 6351 3 MR0445485 Arlo W Schurle Topics in Topology Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics Band 32 North Holland New York Oxford 1979 ISBN 0 444 00285 5 MR0542116 Einzelnachweise Bearbeiten Yang Ann Math Band 60 S 262 ff a b Agoston S 245 Yang Ann Math Band 60 S 262 Yang Ann Math Band 60 S 263 ff Vgl Schurle S 164 ff gemass Schurle ist dies der Satz von Kakutani Agoston S 246 Im englischsprachigen Raum wird auch dieses Resultat manchmal als Satz von Kakutani angegeben wie etwa hier Die Voraussetzung der Konvexitat erweist sich als nicht notwendig Im Fall der euklidischen Ebene sind die Hyperebenen die Geraden und ein abgeschlossenes Raumsegment der beschriebenen Art ist ein unendlicher ebener Streifen Dyson Ann Math Band 54 S 534 ff Yang Ann Math Band 60 S 282 Ein Diameter ist demnach die Verbindungsstrecke zweier gegenuberliegender Spharenpunkte Man bezeichnet die beiden Punkte auch als Antipoden Fur eine Kreislinie in der euklidischen Ebene ist ein Diameter also eine Sehne maximaler Lange Dyson Ann Math Band 54 S 534 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Kakutani Yamabe Yujobo amp oldid 199855651